Quelltext der Seite Rotationskörper

== Rotationsk&ouml;rper ==
Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> 
Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br />
Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. 

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<p></p>
Rotationskörper der Funktion <math>\sqrt{x}</math> an der x- und der y-Achse.

=== Wozu braucht man Rotationskörper ===
Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen.

=== Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse ===
Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br />  
Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br />
Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: 
:<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>.

=== Rotationskörper um die x - Achse ===
[[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse.png|thumb|Ein Bild einer Funktion |320x240px|rahmenlos|rechts|Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse]]
Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=1</math> von 0 bis 5 <br />
Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br />
<math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br />
Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=1</math> verwendet werden (siehe Abbildung).

==== Beispielrechnung ====
:<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math>
<p></p>
<p></p>
:<math>V = \pi \int_{0}^{5}1dx</math>
<p></p>
<p></p>
:<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math>
<p></p>
<p></p>
:<math>V = 5 \pi</math>
<p></p>
<p></p>
:<math>V \approx 15,708</math>

=== Rotationskörper um die y - Achse ===
[[Datei:Rotationskörper y y².png |thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x)=x² um die y-Achse]]
Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br />
<math>V=\pi\int_{a}^{b}(g(y))^2dy</math> bestimmen <br />
Hier wird die Funktion um die y-Achse rotiert.
Dabei fällt auf, dass für die Berechnung des Flächeninhaltes die Funktion <math>g(y)</math> benötigt wird <br />
während meist eine Funktion der Form f(x) bzw. g(x) vorliegt. Um nun die benötigte Funktion zu erhalten, muss die Umkehrfunktion <br />
der gegebenen Funktion gebildet werden. Hierzu wird diese nach <math>x</math> aufgelöst.
==== Beispielrechnung ====
Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>g(x)=x^2</math> im Intervall von 0 bis 5. <br />
Hierbei wird die gegebene Funktion um die y-Achse rotiert.<br/>
===== Bildung der Umkehrfunktion =====
<math>g(x)=y=x^2</math> <br />
<p></p>
<p></p>
<math>g(y)=x=\sqrt{y}</math>
<p></p>
<p></p>
===== Berechnung des Flächeninhalts =====
<math>V=\pi \int_{0}^{25}(\sqrt{y})^2dy</math>
<p></p>
<p></p>
<math>V=\pi \int_{0}^{25}(y)dy</math>
<p></p>
<p></p>
<math>V=\pi \Bigg[\frac{1}{2}y^2\Bigg]_{0}^{25}</math>
<p></p>
<p></p>
<math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math>
<p></p>
<p></p>
<math>V \approx 981,75</math>

==== Alternative ====
Möchte man sich das Bilden der Umkehrfunktion ersparen kann das Integral durch Substitution im die Form <br />
<math>V_y = \pi \int_{f-1(x_1)}^{f-1(x_2)} x^2 * f^'(x)dx</math> <br />
gebracht werden. Hier wird lediglich die Ableitung der Funktion <math>f</math> benötigt, wodurch das Integral <br />
deutlich einfacher zu lösen ist.

===== Beispielrechnung =====
<math>V=\pi \int_{0}^{5} (x^2 2x) dx</math>
<p></p>
<math>V=\pi \Bigg[\frac{x^4}{2}\Bigg]_{0}^{5}</math>
<p></p>
<math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math>
<p></p>
<p></p>
<math>V \approx 981,75</math>

==== Interaktive Volumensberechnung mit Rotationskörpern ====
In folgender Anwendung kann nach der Eingabe einer Funktion sowie der oberen und unteren Grenze, das Volumen
sowohl bei der Rotation um die X- als auch um die Y- Achse bestimmt werden. 
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