Quelltext der Seite Die Stammfunktion

=== Definition der Stammfunktion ===
Die Funktion <math>F(x)</math> der Ausgangsfunktion <math>f(x)</math> heißt Stammfunktion. <math>F(x)</math> ist die differenzierbare Funktion der reellen Funktion <math>f(x)</math> im Intervall <math>\left[a;b\right]</math>, sodass gilt:<br \>
<math>F'(x)</math><math>=</math><math>f(x)</math><br \>
Jede Funktion <math>f(x)</math> hat unendlich viele Stammfunktionen. <br \>
Auf die Stammfunktion kommt man, indem man die Ausgangsfunktion integriert, also:<br \>
<math>F(x)</math><math>=</math><math>\int_{a}^{b} f (x)\,dx </math>


=== Stammfunktionen zu einfachen Funktionen ===

{| class="wikitable sortable" 
!<math>f(x)</math>!!<math>F(x)</math>
|- 
| <math>0</math> || <math>c</math>
|- 
| <math>1</math> || <math>x+c</math>
|- 
| <math>x</math> || <math>{1 \over2}x^2+c</math>
|- 
| <math>x^2</math> || <math>{1 \over3}x^3+c</math>
|- 
| <math>\sqrt{x} </math><math>=</math><math>x^{1 \over2}</math> || <math>{2 \over3}x^{3 \over2}+c</math>
|- 
| <math>\sin (x) </math> || <math>-\cos (x)+c </math>
|- 
| <math>\cos (x) </math> || <math>\sin (x)+c </math>
|- 
|}


=== Integrationsregeln zum Berechnen der Stammfunktion ===

Um an die Stammfunktion zu kommen muss man die Funktion <math>f(x)</math> integrieren. Dabei muss man bestimmte Regeln beachten von denen die meisten den bereits bekannten Ableitungsregeln sehr ähnlich sind.


==== Potenzregel ====

Möchte man eine Potenzfunktion wie zum Beispiel <math>f(x)</math><math>=</math><math>x^2</math> integrieren um an die Stammfunktion zu kommen, so gilt:<br \>
<math>F(x)</math><math>=</math><math>\int_{a}^{b} x^n\,dx </math><math>=</math><math>{1 \over{n+1}}x^{n+1}+c</math><br \>
<br \>
Beispiel: <math>f(x)=x^2</math><br \>
<br \>
<math>F(x)=\int_{a}^{b} x^2\,dx ={1 \over{2+1}}x^{2+1}+C</math><math>=</math><math>{1 \over3}x^3+c</math><br \>


==== Summenregel ====

Möchte man eine Summe von zwei Funktionen integrieren so gilt die selbe Regel, wie beim Ableiten:<br \>
Summenregel beim Ableiten:<br \>
<math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \>
<math>f'(x)=u'(x) + v'(x)</math><br \>
Genau wie beim Ableiten werden beim Integrieren die Summanden einzeln integriert und dann stehen gelassen oder vereinfacht.<br \>
<math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \>
<br \>
<math>F(x)=\int_{a}^{b} u (x)\,dx +\int_{a}^{b} v (x)\,dx </math>