Tangentenprobleme: Unterschied zwischen den Versionen

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P(x|y) ist ein Punkt der Tangente.<br /><br />
 
P(x|y) ist ein Punkt der Tangente.<br /><br />
 
<math>P(x_0|y_0)</math> ist ein Berührpunkt der Tangente mit dem Schaubild der Funktion von F.<br />
 
<math>P(x_0|y_0)</math> ist ein Berührpunkt der Tangente mit dem Schaubild der Funktion von F.<br />
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Beispiel:<br />
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Gegeben ist eine Funktion F und ein Punkt P, der nicht zu f gehört.<br />
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Gegeben ist eine Funktion f und ein Punkt P, der nicht zu f gehört.<br />
 
Finde die Tangente von P an f, ohne den Berührpunkt zu kennen.<br />
 
Finde die Tangente von P an f, ohne den Berührpunkt zu kennen.<br />
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<math>f(x)=\frac{-x^2}{4}(x-6)</math> P(6|0)<br />
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<math>f(x)=-\frac{x^2}{4}(x-6)</math> ; P(6|0)<br />
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allgemeine Tangentengleichung:<br />
 
allgemeine Tangentengleichung:<br />
 
<math>y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)</math><br />
 
<math>y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)</math><br />
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Einsetzt x_2 in die allgemeine Tangentengleichung:<br />
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Einsetzt <math>x_2=0</math> in die allgemeine Tangentengleichung:<br />
 
---> <math>y=(-\frac{2*0}{4}(0-6)-\frac{0^2}{4}*1*(x-0)+0)</math><br />
 
---> <math>y=(-\frac{2*0}{4}(0-6)-\frac{0^2}{4}*1*(x-0)+0)</math><br />
 
Tangentengleichung: <math>y=0*x+0</math><br />
 
Tangentengleichung: <math>y=0*x+0</math><br />

Version vom 15. November 2013, 12:13 Uhr


Tangente - Definition und Tangentengleichung


Definition

Gegeben ist ein Punkt P(x_P|f(x_P)) auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit f'(x_P) als Steigung.



Allgemeine Tangentengleichungen:

y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)

P(x|y) ist ein Punkt der Tangente.

P(x_0|y_0) ist ein Berührpunkt der Tangente mit dem Schaubild der Funktion von F.

Hand.gif   Übung

< Gegeben ist eine Funktion f und ein Punkt P, der nicht zu f gehört.
Finde die Tangente von P an f, ohne den Berührpunkt zu kennen.

f(x)=-\frac{x^2}{4}(x-6) ; P(6

allgemeine Tangentengleichung:
y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)
P(x|y) P(6|0) ---> Punkte der Tangente
P_0(x_0|y_0)= unbekannter Berühpunkt der Tangente
0=\frac{-2x}{4}(x-6)-\frac{x_0^2}{4}*1*(6-x_0)+(-\frac{x_0^2}{4} (x_0-6))
Gleichung in GTR eingeben:
Berührpunkte:
x_1=0
x_2=0
Einsetzt x_2=0 in die allgemeine Tangentengleichung:
---> y=(-\frac{2*0}{4}(0-6)-\frac{0^2}{4}*1*(x-0)+0)
Tangentengleichung: y=0*x+0
Das Ergebnis für x=6: y=0

Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt

30px   Aufgabe

Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion f(x)={1 \over 9} x^3 -x an der Stelle x_0=3 angelegt werden kann.

Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt

30px   Aufgabe

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=2x^2-18x+9. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung -2 an, die an das Schaubild von f gelegt werden können.

Tangente an Schaubild, Berührpunkt unbekannt

30px   Aufgabe

Vom Punkt P(0|5) aus werden Tangenten an das Schaubild von f(x)={1 \over 8}x^3 - {3 \over 4}x^2 +4 gelegt. Bestimme die Gleichungen dieser Tangenten und die Koordinaten der Berührpunkte.

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