Tangentenprobleme: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 15. November 2013, 12:24 Uhr

Tangente - Definition und Tangentengleichung

Definition

Gegeben ist ein Punkt $P(x_P|f(x_P))$ auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit $f'(x_P)$ als Steigung.

Allgemeine Tangentengleichungen:

$y=f'(x_0) \cdot (x-x_0)+f(x_0)$

P(x|y) ist ein Punkt der Tangente.

$P(x_0|y_0)$ ist ein Berührpunkt der Tangente mit dem Schaubild der Funktion von F.

Übung

Gegeben ist eine Funktion f mit $f(x)=-\frac{x^2}{4} \cdot (x-6)$ und ein Punkt P(6;0), der nicht zu f gehört.
Finde die Tangente von P an f, ohne den Berührpunkt zu kennen.

allgemeine Tangentengleichung:
$y=f'(x_0) \cdot (x-x_0)+f(x_0)$
$P(x|y), P(6|0)$ ---> Punkte der Tangente
$P_0(x_0|y_0)$ ---> unbekannter Berührpunkt der Tangente
$0=\frac{-2x}{4} \cdot (x-6)-\frac{x_0^2}{4} \cdot 1 \cdot (6-x_0)+\left( -\frac{x_0^2}{4} \cdot (x_0-6) \right)$
Gleichung in GTR eingeben:
Berührpunkte:
$x_1=0$
$x_2=0$
Einsetzt $x_2=0$ in die allgemeine Tangentengleichung:
---> $y=(-\frac{2 \cdot 0}{4} \cdot (0-6)-\frac{0^2}{4} \cdot 1 \cdot (x-0)+0)$
Tangentengleichung: $y=0 \cdot x+0$
Das Ergebnis für x=6: y=0

Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt

30px Aufgabe

Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion $f(x)={1 \over 9} x^3 -x$ an der Stelle $x_0=3$ angelegt werden kann.

Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt

30px Aufgabe

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x)=2x^2-18x+9$ . Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung $-2$ an, die an das Schaubild von f gelegt werden können.

Tangente an Schaubild, Berührpunkt unbekannt

30px Aufgabe

Vom Punkt $P(0|5)$ aus werden Tangenten an das Schaubild von $f(x)={1 \over 8}x^3 - {3 \over 4}x^2 +4$ gelegt. Bestimme die Gleichungen dieser Tangenten und die Koordinaten der Berührpunkte.

@@ Zeile 10: / Zeile 10: @@
 <br />Allgemeine Tangentengleichungen:<br />
-<math>y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)</math><br />
+<math>y=f'(x_0) \cdot (x-x_0)+f(x_0)</math><br />
 <br />
 P(x|y) ist ein Punkt der Tangente.<br /><br />
@@ Zeile 16: / Zeile 16: @@
 {{Übung|1=
-Gegeben ist eine Funktion f und ein Punkt P, der nicht zu f gehört.<br />
+Gegeben ist eine Funktion f mit <math>f(x)=-\frac{x^2}{4} \cdot (x-6)</math> und ein Punkt P(6;0), der nicht zu f gehört.<br />
-Finde die Tangente von P an f, ohne den Berührpunkt zu kennen.<br />
+Finde die Tangente von P an f, ohne den Berührpunkt zu kennen.
+}}
-<math>f(x)=-\frac{x^2}{4}(x-6)</math> ; P(6|0)
->}}
+<br />
 allgemeine Tangentengleichung:<br />
-<math>y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)</math><br />
+<math>y=f'(x_0) \cdot (x-x_0)+f(x_0)</math><br />
-<math>P(x|y) P(6|0)</math> ---> Punkte der Tangente<br />
+<math>P(x|y), P(6|0)</math> ---> Punkte der Tangente<br />
-<math>P_0(x_0|y_0)</math>= unbekannter Berühpunkt der Tangente<br />
+<math>P_0(x_0|y_0)</math> ---> unbekannter Berührpunkt der Tangente<br />
-<math>0=\frac{-2x}{4}(x-6)-\frac{x_0^2}{4}*1*(6-x_0)+(-\frac{x_0^2}{4} (x_0-6))</math><br />
+<math>0=\frac{-2x}{4} \cdot (x-6)-\frac{x_0^2}{4} \cdot 1 \cdot (6-x_0)+\left( -\frac{x_0^2}{4} \cdot (x_0-6) \right)</math><br />
 Gleichung in GTR eingeben:<br />
 Berührpunkte:<br />
@@ Zeile 32: / Zeile 31: @@
 <math>x_2=0</math><br />
 Einsetzt <math>x_2=0</math> in die allgemeine Tangentengleichung:<br />
----> <math>y=(-\frac{2*0}{4}(0-6)-\frac{0^2}{4}*1*(x-0)+0)</math><br />
+---> <math>y=(-\frac{2 \cdot 0}{4} \cdot (0-6)-\frac{0^2}{4} \cdot 1 \cdot (x-0)+0)</math><br />
-Tangentengleichung: <math>y=0*x+0</math><br />
+Tangentengleichung: <math>y=0 \cdot x+0</math><br />
 Das Ergebnis für x=6: y=0

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Tangente - Definition und Tangentengleichung

Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt

Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt

Tangente an Schaubild, Berührpunkt unbekannt

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