Tangentenprobleme: Unterschied zwischen den Versionen

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== Tangente - Definition und Tangentengleichung ==
 
== Tangente - Definition und Tangentengleichung ==
  
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Eine Tangente berührt das Schaubild in nur einen Punkt. Leider ist diese Definition nicht vollständig. Besser ist:<br />
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{{Definition|1=
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Gegeben ist ein Punkt <math>P(x_P|f(x_P)</math> auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit <math>f'(x_P)</math> als Steigung.
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Gegeben ist ein Punkt <math>P(x_P|f(x_P))</math> auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit <math>f'(x_P)</math> als Steigung.
 
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== Tangente an Schaubild anlegen, Berührpunkt ist bekannt ==
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<br />Allgemeine Tangentengleichungen:<br /><br />
  
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== Tangente an Schaubild anlegen, Steigung ist bekannt ==
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<math>y=f'(u) \cdot (x-u)+f(u)</math><br />
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P(x|y) ist ein Punkt der Tangente.<br /><br />
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<math>P(x_0|y_0)</math> ist ein Berührpunkt der Tangente mit dem Schaubild der Funktion von F.<br />
  
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== Tangente an Schaubild anlegen, Berührpunkt unbekannt ==
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{{Übung|1=
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Gegeben ist eine Funktion f mit <math>f(x)=-\frac{x^2}{4} \cdot (x-6)</math> und ein Punkt P(6;0), der nicht zu f gehört.<br />
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Finde die Tangente von P an f, ohne den Berührpunkt zu kennen.
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allgemeine Tangentengleichung:<br />
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<math>y=f'(u) \cdot (x-u)+f(u)</math><br /><br />
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<math>P(x|y), P(6|0)</math> ---> Punkte der Tangente<br /><br />
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<math>P_0(x_0|y_0)</math> ---> unbekannter Berührpunkt der Tangente<br /><br />
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<math>0=-\frac{2u}{4} \cdot (u-6)-\frac{u^2}{4} \cdot 1 \cdot (6-u)+\left( -\frac{u^2}{4} \cdot (u-6) \right)</math><br />
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Gleichung in GTR eingeben und lösen:<br />
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Berührstellen:<br />
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<math>u_1=0</math><br />
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<math>u_2=6</math><br />
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Eingesetzt <math>u_1=0</math> in die allgemeine Tangentengleichung:<br /><br >
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<math>\Rightarrow y=(-\frac{2 \cdot 0}{4} \cdot (0-6)-\frac{0^2}{4} \cdot 1 \cdot (x-0)+0)</math><br />
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Tangentengleichung: <math>y=0 \cdot x+0</math><br />
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Eingesetzt <math>u_2=6</math> in die allgemeine Tangentengleichung:<br /><br />
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<math>\Rightarrow y=(-\frac{2 \cdot 6}{4} \cdot (6-6)-\frac{6^2}{4} \cdot 1 \cdot (x-6)+0)</math><br />
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Tangentengleichung: <math>y=-9 \cdot x+54</math><br />
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== Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt ==
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{{Aufgabe|1=
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Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> an der Stelle <math>x_0=3</math> angelegt werden kann.
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<math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math>
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<math>f'(x)={1 \over 3} x^2 -1</math>
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<math>f(3)=0</math>
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<math>f'(3)=2</math>
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== Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt ==
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{{Aufgabe| 1=
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Gegeben ist die Funktion f mit <math>f(x)=2x^2-18x+9</math>. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung <math>-2</math> an, die an das Schaubild von f gelegt werden können.
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Lösung:
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Wir setzen die Steigung <math>m=-2</math> in die Ableitung der Funktion als <math>f'(x)</math> ein.
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<math>f'(x)=4x-18</math>
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<math>-2=4x-18</math>
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<math>\quad\quad x=4</math>
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4 ist die Berührstelle. Um den Y-Wert des Berührpunkts herauszufinden, setzten wir 4 in die ursprüngliche Funktion <math>f(x)</math> ein.
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<math>f(x)=2\cdot4^2-18\cdot4+9</math>
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== Tangente an Schaubild, Berührpunkt unbekannt ==
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{{Aufgabe|1=
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Vom Punkt <math>P(0|0)</math> aus wird eine Tangente an das Schaubild <math>f(x)=-\frac{x^2}{4}*(x-6)</math> gelegt. Berechne die Tangentengleichung und bestimme die Berührpunkte.
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}}
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<popup name="Lösung">
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<u>Vorgehen:</u><br/><br/>
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<math>f(x)=-\frac{x^2}{4}(x-6)\quad\quad P(0|0)</math><br/><br/>
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allgemeine Tangentengleichung:<br/><br/>
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<math>y=f'(u)(x-u)+f(u)</math><br/><br/>
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:<math>P(x|y)</math>-Punkt der Tangente<br/>
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:<math>B(u|f(u))</math>-Berührungspunkt<br/><br/>
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<math>P(0|0)</math><br/>
 +
<math>f(x)=-\frac{x^2}{4}(x-6)</math><br/>
 +
<math>f'(x)=-\frac{3}{4}x^2+3x</math><br/><br/>
 +
<math>\Rightarrow 0=(-\frac{3}{4}u^2+3u)+(0-u)-\frac{u^2}{4}(u-6)</math><br/>
 +
:<math>0=(-\frac{3}{4}u^2+3u)+(-u)-\frac{u^2}{4}+\frac{6}{4}u^2</math><br/><br/>
 +
:<math>0=\frac{3}{4}u^3-3u^2-\frac{u^3}{4}+\frac{6}{4}u^2</math><br/>
 +
:<math>0=\frac{1}{2}u^3-{3}{2}u^2</math><br/><br/>
 +
→u berechnen(Berührstelle)<br/>
 +
<math>0=u^2(\frac{1}{2}u-\frac{3}{2})</math><br/>
 +
<math>u_1=0</math><br/>
 +
<math>u_2=3</math><br/><br/>
 +
→Tangentengleichung aufstellen:<br/><br/>
 +
<math>u_1=0:</math><br/>
 +
<math>y=f'(u)+(x-u)+f(u)</math><br/>
 +
:<math>y=(-\frac{3}{4}*0^2+3*0)*(x-0)-\frac{0^2}{4}(0-6)</math><br/>
 +
:<math>y_1=0</math><br/><br/>
 +
<math>u_2=3:</math><br/>
 +
:<math>y=(-\frac{3}{4}*3^2+3*3)*(x-3)-\frac{3^2}{4}(3-6)</math><br/>
 +
:<math>y=(2,25)+(x-3)-2,25(-3)</math><br/>
 +
:<math>y=2.25x-6,75+6,75</math><br/>
 +
:<math>y_2=2,25x=\quad{9}{4}x</math><br/>
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</popup>

Aktuelle Version vom 4. Dezember 2015, 10:45 Uhr


Tangente - Definition und Tangentengleichung


Definition

Gegeben ist ein Punkt P(x_P|f(x_P)) auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit f'(x_P) als Steigung.



Allgemeine Tangentengleichungen:

y=f'(u) \cdot (x-u)+f(u)

P(x|y) ist ein Punkt der Tangente.

P(x_0|y_0) ist ein Berührpunkt der Tangente mit dem Schaubild der Funktion von F.

Hand.gif   Übung

Gegeben ist eine Funktion f mit f(x)=-\frac{x^2}{4} \cdot (x-6) und ein Punkt P(6;0), der nicht zu f gehört.
Finde die Tangente von P an f, ohne den Berührpunkt zu kennen.


allgemeine Tangentengleichung:
y=f'(u) \cdot (x-u)+f(u)

P(x|y), P(6|0) ---> Punkte der Tangente

P_0(x_0|y_0) ---> unbekannter Berührpunkt der Tangente

0=-\frac{2u}{4} \cdot (u-6)-\frac{u^2}{4} \cdot 1 \cdot (6-u)+\left( -\frac{u^2}{4} \cdot (u-6) \right)
Gleichung in GTR eingeben und lösen:
Berührstellen:
u_1=0
u_2=6

Eingesetzt u_1=0 in die allgemeine Tangentengleichung:

\Rightarrow y=(-\frac{2 \cdot 0}{4} \cdot (0-6)-\frac{0^2}{4} \cdot 1 \cdot (x-0)+0)

Tangentengleichung: y=0 \cdot x+0


Eingesetzt u_2=6 in die allgemeine Tangentengleichung:

\Rightarrow y=(-\frac{2 \cdot 6}{4} \cdot (6-6)-\frac{6^2}{4} \cdot 1 \cdot (x-6)+0)

Tangentengleichung: y=-9 \cdot x+54

Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt

30px   Aufgabe

Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion f(x)={1 \over 9} x^3 -x an der Stelle x_0=3 angelegt werden kann.

f(x)={1 \over 9} x^3 -x

f'(x)={1 \over 3} x^2 -1

f(3)=0

f'(3)=2

Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt

30px   Aufgabe

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=2x^2-18x+9. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung -2 an, die an das Schaubild von f gelegt werden können.

Lösung:

Wir setzen die Steigung m=-2 in die Ableitung der Funktion als f'(x) ein.

f'(x)=4x-18

-2=4x-18

\quad\quad x=4

4 ist die Berührstelle. Um den Y-Wert des Berührpunkts herauszufinden, setzten wir 4 in die ursprüngliche Funktion f(x) ein.

f(x)=2\cdot4^2-18\cdot4+9

Tangente an Schaubild, Berührpunkt unbekannt

30px   Aufgabe

Vom Punkt P(0|0) aus wird eine Tangente an das Schaubild f(x)=-\frac{x^2}{4}*(x-6) gelegt. Berechne die Tangentengleichung und bestimme die Berührpunkte.

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