Funktionenscharen: Unterschied zwischen den Versionen

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   -> Im "Graph" überprüfen, ob die Ortskurve alle Funktionen an derselben Stelle durchläuft
 
   -> Im "Graph" überprüfen, ob die Ortskurve alle Funktionen an derselben Stelle durchläuft
  
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<math>f_t(x)=x^2+tx</math>
 
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'''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br />
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Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte.
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'''Bestimmen von Ortskurven'''
 
'''Bestimmen von Ortskurven'''

Version vom 11. Dezember 2015, 10:19 Uhr

Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt.

30px   Aufgabe

Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?
f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R}

Inhaltsverzeichnis

Funktionenscharen

Berechnung der Extrempunkte:
\begin{matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix}


\begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 & \\ 2x^3&=& 2dx &\\ x^3 &=& dx & x_1 = 0\\ x^2&=& d &\\ x_2&=& \sqrt d &\\ x_3&=& - \sqrt d & d \not< 0 \end{matrix}


\begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix}


f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d
f''(-\sqrt d)= 6 (-\sqrt d) ^2-2d=6d-2d=4d
4d > 0 \rightarrow TP für beide Extrempunkte
für d = 0 liegt kein Tiefpunkt vor!


f''( 0) = -2d
-2d < 0 \rightarrow HP , für d = 0 liegt kein Hochpunkt vor!

Ortskurven

Allgemeine Herleitung einer Ortskurve

Hoch- bzw Tiefpunkt bestimmen 

 -> Die 1. Ableitung 0 setzen
 -> Ergebnis in die 2. Ableitung einsetzen
 -> Ergebnis größer 0 -> Tiefpunkt;
    Ergebnis kleiner 0 -> Hochpunkt

Ortskurve bestimmen 

 -> x-Koordinate in die Funktion einsetzen
 -> Ergebnis bildet die y-Koordinate
 -> x-Koordinate nach t auflösen
 -> t Auflösung in y einsetzen
 -> Lösung = Ortskurvenfunktion

Probe mit Hilfe des GTRs 

 -> In "Y=" für y1,2,3 für t in der Funktion beliebige Zahlen einsetzen (z.B. 1,2 und 3)
 -> Ortskurvenfunktion in y4 einsetzen
 -> Im "Graph" überprüfen, ob die Ortskurve alle Funktionen an derselben Stelle durchläuft

Beispiel Nr. 1

f_t(x)=x^2+tx
f'_t(x)=2x+t
f''_t(x)=2

Hoch- bzw Tiefpunkt bestimmen:
f'_t(x)= 2x+t=0
2x=t
x=-{t \over2}

Kurvenverhalten:
f''_t(x)=2
größer als 0 -> Tiefpunkt

Ortskurve bestimmen:
f_t \left({t \over2}\right)=\left(-{t \over2}\right)^2+t\cdot\left(-{t \over2}\right)
=\left(-{t \over2}\right)\cdot\left({t \over2}\right)+t\cdot\left({t \over2}\right)
={t^2 \over4}-{t^2 \over2}
-{t^2 \over4}

TP \left(-{t \over2} ; -{t^2 \over4}\right)

x-Koordinate nach t auflösen:
x=-{t \over2}
t=-2x

t Auflösung in y einsetzen:
y=-{t^2 \over4}
y=-{(-2x)^2 \over4}
=-{(-2x)\cdot(-2x) \over4}
=-{4x^2 \over4}
=-x^2 --> Ortskurvenfunktion

Probe mit Hilfe des GTRs!


Beispiel Nr. 2

Bestimmen von Ortskurven

Die Koordinaten des Extrempunktes sind E_1 ( 0 | 0 ) , E_2 ( \sqrt d | - 0,5 d^2) , E_3 ( -\sqrt d | - 0,5 d^2)


Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben:

\begin{align} x&=\sqrt d \\ y&= f( \sqrt d ) = - 0,5 d^2 \end{align}


x - Koordinate nach Parameter auflösen:

d= x^2


Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen:

y= -0,5x^4


Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte:

y= -0,5 x^4


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