Funktionenscharen: Unterschied zwischen den Versionen

Aus Friedrich-Schiller-Gymnasium
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(→‎Beispiel Nr. 1)
 
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'''Berechnung der Extrempunkte:''' <br />
 
'''Berechnung der Extrempunkte:''' <br />
 
<math>
 
<math>
−
\begin {matrix}
+
\begin{matrix}
 
f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\
 
f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\
  
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<math>
 
<math>
 
\begin{matrix}
 
\begin{matrix}
−
2x^3-2dx&=& 0 \\
+
2x^3-2dx&=& 0 & \\
−
2x^3&=& 2dx \\
+
2x^3&=& 2dx &\\
−
x^3 &=& dx \\
+
x^3 &=& dx & x_1 = 0\\
−
x^2&=& d \\
+
x^2&=& d &\\
−
x&=& \sqrt d
+
x_2&=& \sqrt d &\\
 +
x_3&=& - \sqrt d & d \not< 0
 
\end{matrix}
 
\end{matrix}
 
</math>
 
</math>
−
 
−
<math> \rightarrow </math> d kann nicht negativ werden
 
  
 
<br />
 
<br />
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−
<math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math>
+
<math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math><br />
 +
<math>f''(-\sqrt d)= 6 (-\sqrt d) ^2-2d=6d-2d=4d</math> <br />
 +
<math> 4d > 0  \rightarrow TP </math> für beide Extrempunkte <br />
 +
für <math> d = 0 </math> liegt kein Tiefpunkt vor!
  
−
<math> d < 0  \rightarrow HP </math>
 
  
−
<math> d > 0 \rightarrow TP </math>
+
<math>f''( 0) = -2d</math><br />
 +
<math> -2d < 0 \rightarrow HP </math> , für <math> d = 0 </math> liegt kein Hochpunkt vor!
  
−
== Ortskurven ==
+
= Ortskurven =
−
<!-- Text bitte vor der Skizze einfügen -->
+
−
'''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br />
+
  
−
Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte.
+
=== Allgemeine Herleitung einer Ortskurve ===
 +
 
 +
==== Hoch- bzw Tiefpunkt bestimmen ====
 +
  -> Die 1. Ableitung 0 setzen
 +
  -> Ergebnis in die 2. Ableitung einsetzen
 +
  -> Ergebnis größer 0 -> Tiefpunkt;
 +
    Ergebnis kleiner 0 -> Hochpunkt
 +
==== Ortskurve bestimmen ====
 +
  -> x-Koordinate in die Funktion einsetzen
 +
  -> Ergebnis bildet die y-Koordinate
 +
  -> x-Koordinate nach t auflösen
 +
  -> t Auflösung in y einsetzen
 +
  -> Lösung = Ortskurvenfunktion
 +
 
 +
==== Probe mit Hilfe des GTRs ====
 +
  -> In "Y=" für y<sub>1,2,3</sub> für t in der Funktion beliebige Zahlen einsetzen (z.B. 1,2 und 3)
 +
  -> Ortskurvenfunktion in y<sub>4</sub> einsetzen
 +
  -> Im "Graph" überprüfen, ob die Ortskurve alle Funktionen an derselben Stelle durchläuft
 +
 
 +
==== Beispiel Nr. 1 ====
 +
<math>f_t(x)=x^2+tx</math>
 +
<br />
 +
<math>f'_t(x)=2x+t</math>
 +
<br />
 +
<math>f''_t(x)=2</math>
 +
<br /><br />
 +
 
 +
Hoch- bzw Tiefpunkt bestimmen:
 +
<br />
 +
<math>f'_t(x)= 2x+t=0</math>
 +
<br />
 +
<math>2x=t</math>
 +
<br />
 +
<math>x=-{t \over2}</math>
 +
<br /><br />
 +
 
 +
Kurvenverhalten:
 +
<br />
 +
<math>f''_t(x)=2</math>
 +
<br />
 +
größer als 0 -> Tiefpunkt
 +
<br /><br />
 +
 
 +
Ortskurve bestimmen:
 +
<br />
 +
<math>f_t \left({t \over2}\right)=\left(-{t \over2}\right)^2+t\cdot\left(-{t \over2}\right)</math>
 +
<br />
 +
<math>=\left(-{t \over2}\right)\cdot\left({t \over2}\right)+t\cdot\left({t \over2}\right)</math>
 +
<br />
 +
<math>={t^2 \over4}-{t^2 \over2}</math>
 +
<br />
 +
<math>-{t^2 \over4}</math>
 +
 
 +
<math>TP \left(-{t \over2} ; -{t^2 \over4}\right)</math>
 +
<br /><br />
 +
x-Koordinate nach t auflösen:
 +
<br />
 +
<math>x=-{t \over2}</math>
 +
<br />
 +
<math>t=-2x</math>
 +
<br /><br />
 +
t Auflösung in y einsetzen:
 +
<br />
 +
<math>y=-{t^2 \over4}</math>
 +
<br />
 +
<math>y=-{(-2x)^2 \over4}</math>
 +
<br />
 +
<math>=-{(-2x)\cdot(-2x) \over4}</math>
 +
<br />
 +
<math>=-{4x^2 \over4}</math>
 +
<br />
 +
<math>=-x^2</math>  --> Ortskurvenfunktion
 +
<br /><br />
 +
Probe mit Hilfe des GTRs!
 +
<br />
 +
[[Datei:Ortskurven Beispiel 1.jpg|thumb|locus curve]]
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<br />
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[[Benutzer:MeJvzm-fsg|MeJvzm-fsg]] ([[Benutzer Diskussion:MeJvzm-fsg|Diskussion]]) 10:21, 11. Dez. 2015 (CET) M.Entenmann
 +
 
 +
 
 +
'''Beispiel Nr. 2'''
  
 
'''Bestimmen von Ortskurven'''
 
'''Bestimmen von Ortskurven'''
  
−
Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -sqrt d | - 0,5 d^2) </math>
+
Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( \sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -\sqrt d | - 0,5 d^2) </math>
  
  
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<math>
 
<math>
 
\begin{align}
 
\begin{align}
−
  x&=sqrt d \\
+
  x&=\sqrt d \\
−
y&= f( sqrt d )  = 0,5 d^2 - d^2  
+
y&= f( \sqrt d )  = - 0,5 d^2
 
\end{align}
 
\end{align}
 
</math>
 
</math>
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Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen:  
 
Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen:  
  
−
<math>y= 0,5 x^4 - x^4 = -0,5x^4 </math>
+
<math>y= -0,5x^4 </math>
  
  
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<math>y= -0,5 x^4  </math>
 
<math>y= -0,5 x^4  </math>
 +
 +
 +
<!-- Bitte unbedingt stehen lassen und nicht verändern - das ist die Grafik!!! -->
 +
<ggb_applet width="754" height="631"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" />

Aktuelle Version vom 11. Dezember 2015, 10:46 Uhr

Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt.

30px   Aufgabe

Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?
f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R}

Inhaltsverzeichnis

Funktionenscharen

Berechnung der Extrempunkte:
\begin{matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix}


\begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 & \\ 2x^3&=& 2dx &\\ x^3 &=& dx & x_1 = 0\\ x^2&=& d &\\ x_2&=& \sqrt d &\\ x_3&=& - \sqrt d & d \not< 0 \end{matrix}


\begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix}


f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d
f''(-\sqrt d)= 6 (-\sqrt d) ^2-2d=6d-2d=4d
4d > 0 \rightarrow TP für beide Extrempunkte
für d = 0 liegt kein Tiefpunkt vor!


f''( 0) = -2d
-2d < 0 \rightarrow HP , für d = 0 liegt kein Hochpunkt vor!

Ortskurven

Allgemeine Herleitung einer Ortskurve

Hoch- bzw Tiefpunkt bestimmen 

 -> Die 1. Ableitung 0 setzen
 -> Ergebnis in die 2. Ableitung einsetzen
 -> Ergebnis größer 0 -> Tiefpunkt;
    Ergebnis kleiner 0 -> Hochpunkt

Ortskurve bestimmen 

 -> x-Koordinate in die Funktion einsetzen
 -> Ergebnis bildet die y-Koordinate
 -> x-Koordinate nach t auflösen
 -> t Auflösung in y einsetzen
 -> Lösung = Ortskurvenfunktion

Probe mit Hilfe des GTRs 

 -> In "Y=" für y1,2,3 für t in der Funktion beliebige Zahlen einsetzen (z.B. 1,2 und 3)
 -> Ortskurvenfunktion in y4 einsetzen
 -> Im "Graph" überprüfen, ob die Ortskurve alle Funktionen an derselben Stelle durchläuft

Beispiel Nr. 1

f_t(x)=x^2+tx
f'_t(x)=2x+t
f''_t(x)=2

Hoch- bzw Tiefpunkt bestimmen:
f'_t(x)= 2x+t=0
2x=t
x=-{t \over2}

Kurvenverhalten:
f''_t(x)=2
größer als 0 -> Tiefpunkt

Ortskurve bestimmen:
f_t \left({t \over2}\right)=\left(-{t \over2}\right)^2+t\cdot\left(-{t \over2}\right)
=\left(-{t \over2}\right)\cdot\left({t \over2}\right)+t\cdot\left({t \over2}\right)
={t^2 \over4}-{t^2 \over2}
-{t^2 \over4}

TP \left(-{t \over2} ; -{t^2 \over4}\right)

x-Koordinate nach t auflösen:
x=-{t \over2}
t=-2x

t Auflösung in y einsetzen:
y=-{t^2 \over4}
y=-{(-2x)^2 \over4}
=-{(-2x)\cdot(-2x) \over4}
=-{4x^2 \over4}
=-x^2 --> Ortskurvenfunktion

Probe mit Hilfe des GTRs!

locus curve


MeJvzm-fsg (Diskussion) 10:21, 11. Dez. 2015 (CET) M.Entenmann


Beispiel Nr. 2

Bestimmen von Ortskurven

Die Koordinaten des Extrempunktes sind E_1 ( 0 | 0 ) , E_2 ( \sqrt d | - 0,5 d^2) , E_3 ( -\sqrt d | - 0,5 d^2)


Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben:

\begin{align} x&=\sqrt d \\ y&= f( \sqrt d ) = - 0,5 d^2 \end{align}


x - Koordinate nach Parameter auflösen:

d= x^2


Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen:

y= -0,5x^4


Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte:

y= -0,5 x^4


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