Binomialverteilung: Unterschied zwischen den Versionen
KlarDk (Diskussion | Beiträge) |
KlarDk (Diskussion | Beiträge) |
||
| (3 dazwischenliegende Versionen von einem Benutzer werden nicht angezeigt) | |||
| Zeile 144: | Zeile 144: | ||
Anhand von konkreten Beispielen soll das Prinzip näher erläutert werden. <br/> | Anhand von konkreten Beispielen soll das Prinzip näher erläutert werden. <br/> | ||
| − | '''1. Fall: Parameter n ist gesucht''' | + | '''<h3> 1. Fall: Parameter n ist gesucht </h3>''' |
Etwa 9% der männlichen Bevölkerung in Deutschland hat eine Rot-Grün-Schwäche. <br/> | Etwa 9% der männlichen Bevölkerung in Deutschland hat eine Rot-Grün-Schwäche. <br/> | ||
| Zeile 176: | Zeile 176: | ||
'''Antwort: Es müssen mindestens 20 Männer ausgewählt werden.''' | '''Antwort: Es müssen mindestens 20 Männer ausgewählt werden.''' | ||
| − | 2. Mindestens fünf eine Rot-Grün-Schwäche haben: | + | '''2. Mindestens fünf eine Rot-Grün-Schwäche haben:''' |
[[File:CN1.png|Formel]] <br/> | [[File:CN1.png|Formel]] <br/> | ||
| Zeile 185: | Zeile 185: | ||
[[File:CN4.png|Formel]] <br/> | [[File:CN4.png|Formel]] <br/> | ||
| + | |||
| + | Mit dem WTR kann nun eine Tabelle erstellt werden, um die Mindestanzahl an Personen zu erhalten. <br/> | ||
| + | Gemäß der Tabelle liegt der Wert für P(X≤4) für n=80 unter 0,15. <br/> | ||
| + | |||
| + | '''Dementsprechend muss die Gruppe aus mindestens 80 Männern bestehen.''' | ||
| + | |||
| + | <h3> 2. Fall: Parameter k ist gesucht </h3> | ||
| + | |||
| + | Ein Hersteller von Schrauben behauptet, dass mindestens 98% der Schrauben normgerechte Längen haben. <br/> | ||
| + | Ein Händler kontrolliert eine Schraubenlieferung mit einer Stichprobe vom Umfang 200 und findet k Schrauben mit nicht normgerechter Länge. <br/> | ||
| + | Die Lieferung soll zurückgewiesen werden, wenn die Wahrscheinlichkeit für mindestens k nicht normgerechte Schrauben in der Stichprobe höchstens 5% beträgt. <br/> | ||
| + | |||
| + | <div style="text-indent:30px;">Ab welcher Anzahl k sollte er die Lieferung zurückweisen?</div> | ||
| + | |||
| + | Gegegeben: n=200, p=0,98 und q= 0,02: <br/> | ||
| + | Gleichung aufstellen:<br/> | ||
| + | |||
| + | [[File:PrK01.png|Formel]] <br/> | ||
| + | |||
| + | Hier bietet es sich an, eine Tabelle mit dem WTR zu erstellen. <br/> | ||
| + | Hierzu wird im WTR MENU-4-Kumul. Binom. Vert. aufgerufen. Anscchließend "1:Liste" klicken und Werte für k eingeben. <br/> | ||
| + | Um hier einen möglichst genauen Wert zu bekommen, ist die Berechnung des Erwartungswerts E hilfreich. <br/> | ||
| + | |||
| + | Mit der Formel '''''E(X)= n*p''''' kann man diesen berechnen. Werden die entsprechenden Werte für n und p eingesetzt (200*0,98), erhält man <br/> | ||
| + | einen Wert von 196. <br/> | ||
| + | |||
| + | Die Werte für k werden so gewählt, dass sie um diesen Wert liegen. Wir wählen als untere Grenze 190 und als obere Grenze 200. <br/> | ||
| + | |||
| + | Schaut man nun in die Tabelle, so kann man feststellen, dass der Wert für k≤192= 0,049 beträgt. für k≤193 wäre der Wert 0,1. <br/> | ||
| + | Da die Wahrscheinlichkeit, dass die Schrauben nicht normgerecht sind, aber höchstens 5% betragen darf, muss der Wert k≤192 gewählt werden. <br/> | ||
| + | |||
| + | '''Der Hersteller muss die Lieferung also ab 192 Schrauben zurückweisen.''' <br/> | ||
| + | |||
| + | <h3> 3. Fall: Parameter p ist gesucht </h3> | ||
| + | |||
| + | Eine Glühlampe, die zufällig der Produktion entnommen wird, leuchtet einwandfrei mit der unbekannten Wahrscheinlichkeit p. Jemand entnimmt zufällig 40 Glühlampen. <br/> | ||
| + | Mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% sollen mindestens 38 Glühlampen dieser Stichprobe einwandfrei sein. <br/> | ||
| + | Wie groß muss die Wahrscheinlichkeit p mindestens sein ? | ||
| + | |||
| + | Gegeben sind folgende Werte: <br/> | ||
| + | n= 40, k≥38 sowie die Wahrscheinlichkeit, von mind. 90% | ||
| + | |||
| + | Folgende Formel lässt sich anhand dieser Angaben aufstellen: | ||
| + | |||
| + | [[File:ParameterP01.png|Formel]] <br/> | ||
| + | |||
| + | Da man dies aber so im TR nicht berechnen kann, muss die Formel umgeschrieben werden: | ||
| + | |||
| + | [[File:ParameterP02.png|Formel]] <br/> | ||
| + | |||
| + | Im nächsten Schritt empfiehlt es sich, wieder eine Tabelle zu erstellen, um die entsprechenden Werte für p ablesen zu können. | ||
| + | |||
| + | <h2> Quellennachweise für Aufgaben </h2> | ||
| + | http://www.nibis.de/~lbs-gym/Aufgaben/Flugbuchungen.pdf <br/> | ||
| + | www.mathe-aufgaben.com/Erwartungswert einer Zufallsvariablen <br/> | ||
| + | Mathe-Buch: Lambacher-Schweizer/Kursstufe (S.270/Bsp.1) <br/> | ||
| + | www.mathe-aufgaben.com/Die 4 Grundaufgaben bei der Binomialverteilung <br/> | ||
Aktuelle Version vom 30. September 2018, 16:17 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Binomialverteilung
Ein Zufallsexperiment, bei dem es genau zwei mögliche Ergebnisse gibt, wird Bernoulli-Experiment genannt.
Eine Bernoulli-Kette liegt vor, wenn ein Bernoulli-Experiment n-mal unabhängig voneinander durchgeführt wird.
Lässt sich X als eine Größe beschreiben, die die Trefferanzahl bei einem Bernoulli-Experiment mit der Länge n und der Wahrscheinlichkeit p angibt, so liegt eine Binomialverteilung vor. Anhand der Formel von Bernoulli kann man die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer berechnen:
Kumulierte Binomialverteilung:
Wenn wir die Wahrscheinlichkeit benötigen, dass es mindestens oder höchstens k-Treffer geben soll, benutzt man die kumulierte Binomialverteilung.
Allgemein gilt:
| Aufgabe 1 a.) |
|---|
| Auf einer bestimmten Strecke verwendet eine Fluggesellschaft Flugzeuge mit 100 Plätzen. Die Belegungsstatistik weist aus, dass die Flüge auf dieser Strecke vorab stets ausgebucht sind. Allerdings werden dann im Mittel 10% der gebuchten Plätze kurzfristig storniert. Für die Fluggesellschaft ist die Anzahl der Passagiere von Interesse, die bei Schließung der Passagierliste den Flug tatsächlich antreten wollen. • Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau 84 Plätze genutzt werden. |
| Aufgabe 1 b.) |
|---|
|
• Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 90 Plätze tatsächlich genutzt werden. |
Zufallsvariable
Die Zufallsvariable ist eine zufällige Größe, die das Ergebnis eines Zufallsexperiments beschreibt.
Abgekürzt wird die Zufallsvariable mit X.
Erwartungswert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
Der Erwartungswert gibt Auskunft über den durchschnittlichen Wert, die die Zufallsvariable in einem Wahrscheinlichkeitsexperiment bei mehrfacher Durchführung annimmt, d.h. welches Ergebnis im Schnitt zu erwarten ist.
Der Erwartungswert (tatsächlicher Wert der Messung/des Ergebnisses), lässt sich wie folgt berechnen:
Eine einfachere und kürzere Möglichkeit, den Erwartungswert zu berechnen, ist folgende Formel:
n= Anzahl Durchführungen, p= Wahrscheinlichkeit
| Aufgabe |
|---|
|
In einem Zeitungsartikel wurde eine Statistik über die Anzahl von Fehlern in Zeitungsartikeln erstellt. Danach sind auf 17% der Seiten keine Druckfehler, auf 30% der Seiten ist ein Druckfehler, auf 27% der Seiten sind zwei, auf 16% der Seiten drei und auf dem Rest mindestens vier Druckfehler. • Wie viele Druckfehler sind durchschnittlich mindestens auf einer Zeitungsseite zu erwarten? |
Standardabweichung von X
Die Standardabweichung einer Zufallsvariable X gibt an, wie groß die Abweichung vom Erwartungswert μ oder E(X) ist. Sie kann keine negativen Werte annehmen, sondern entweder Null oder einen positiven Wert.
Formel zur Berechnung der Standardabweichung:
| Aufgabe |
|---|
|
Ein Bernoulli-Experiment, das 7mal durchgeführt wird, erzielt mit der Wahrscheinlichkeit p=0,6 einen Treffer. X gibt die Zufallsvariable an, die die Anzahl der Treffer beschreibt. |
Problemlösen mit der Binomialverteilung
Anhand von konkreten Beispielen soll das Prinzip näher erläutert werden.
1. Fall: Parameter n ist gesucht
Etwa 9% der männlichen Bevölkerung in Deutschland hat eine Rot-Grün-Schwäche.
Bestimmen Sie, wie groß eine Gruppe von zufällig ausgewählten Männern mind. sein muss, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 85% mindestens
1. Einer eine Rot-Grün-Schwäche hat:
Einsetzen in Bernoulli-Formel:
Es gilt: 
Da auch 
ebenfalls 1 ergibt, bleibt übrig:
Antwort: Es müssen mindestens 20 Männer ausgewählt werden.
2. Mindestens fünf eine Rot-Grün-Schwäche haben:
Mit dem WTR kann nun eine Tabelle erstellt werden, um die Mindestanzahl an Personen zu erhalten.
Gemäß der Tabelle liegt der Wert für P(X≤4) für n=80 unter 0,15.
Dementsprechend muss die Gruppe aus mindestens 80 Männern bestehen.
2. Fall: Parameter k ist gesucht
Ein Hersteller von Schrauben behauptet, dass mindestens 98% der Schrauben normgerechte Längen haben.
Ein Händler kontrolliert eine Schraubenlieferung mit einer Stichprobe vom Umfang 200 und findet k Schrauben mit nicht normgerechter Länge.
Die Lieferung soll zurückgewiesen werden, wenn die Wahrscheinlichkeit für mindestens k nicht normgerechte Schrauben in der Stichprobe höchstens 5% beträgt.
Gegegeben: n=200, p=0,98 und q= 0,02:
Gleichung aufstellen:
Hier bietet es sich an, eine Tabelle mit dem WTR zu erstellen.
Hierzu wird im WTR MENU-4-Kumul. Binom. Vert. aufgerufen. Anscchließend "1:Liste" klicken und Werte für k eingeben.
Um hier einen möglichst genauen Wert zu bekommen, ist die Berechnung des Erwartungswerts E hilfreich.
Mit der Formel E(X)= n*p kann man diesen berechnen. Werden die entsprechenden Werte für n und p eingesetzt (200*0,98), erhält man
einen Wert von 196.
Die Werte für k werden so gewählt, dass sie um diesen Wert liegen. Wir wählen als untere Grenze 190 und als obere Grenze 200.
Schaut man nun in die Tabelle, so kann man feststellen, dass der Wert für k≤192= 0,049 beträgt. für k≤193 wäre der Wert 0,1.
Da die Wahrscheinlichkeit, dass die Schrauben nicht normgerecht sind, aber höchstens 5% betragen darf, muss der Wert k≤192 gewählt werden.
Der Hersteller muss die Lieferung also ab 192 Schrauben zurückweisen.
3. Fall: Parameter p ist gesucht
Eine Glühlampe, die zufällig der Produktion entnommen wird, leuchtet einwandfrei mit der unbekannten Wahrscheinlichkeit p. Jemand entnimmt zufällig 40 Glühlampen.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% sollen mindestens 38 Glühlampen dieser Stichprobe einwandfrei sein.
Wie groß muss die Wahrscheinlichkeit p mindestens sein ?
Gegeben sind folgende Werte:
n= 40, k≥38 sowie die Wahrscheinlichkeit, von mind. 90%
Folgende Formel lässt sich anhand dieser Angaben aufstellen:
Da man dies aber so im TR nicht berechnen kann, muss die Formel umgeschrieben werden:
Im nächsten Schritt empfiehlt es sich, wieder eine Tabelle zu erstellen, um die entsprechenden Werte für p ablesen zu können.
Quellennachweise für Aufgaben
http://www.nibis.de/~lbs-gym/Aufgaben/Flugbuchungen.pdf
www.mathe-aufgaben.com/Erwartungswert einer Zufallsvariablen
Mathe-Buch: Lambacher-Schweizer/Kursstufe (S.270/Bsp.1)
www.mathe-aufgaben.com/Die 4 Grundaufgaben bei der Binomialverteilung
