Beschränktes Wachstum: Unterschied zwischen den Versionen

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−
Beim beschränkten Wachstum nähert sich der Graph einer Schranke an, ohne diese zu berühren oder zu schneiden. Dabei kann sich der Graph sowohl von unten (positives Wachstum) als auch von oben (negatives Wachstum) an die Schranke annähren.<br />
+
Beim beschränkten Wachstum ist die Änderungsrate proportional zum Sättigungsmanko.<br /><br />
−
Wie das exponentielle Wachstum kann auch das beschränkte Wachstum mit und ohne <math>{e}</math> gebildet werden.
+
  
−
==Funktionsterm ohne e==
+
Der Graph der Funktion eines beschränkten Wachstums nähert sich einer Schranke an. Der Abstand zwischen Graph und Schranke wird Sättigungsmanko genannt.<br />
−
Der allgemeine Funktionsterm des beschränkten Wachstums ohne <math>{e}</math> lautet:<br />
+
Ist das Wachstum nach oben beschränkt, so nähert sich der Graph von unten an die Schranke an. Die Steigung des Graphen ist dabei positiv und wird umso geringer, je weiter sich der Graph der Schranke annähert.<br />
−
<math>{f(x)=S-a \cdot b{-x}}</math><br />
+
Ist das Wachstum nach unten beschränkt, so nähert sich der Graph von oben an die Schranke an. Die Steigung des Graphen ist dabei negativ und wird umso größer, je weiter sich der Graph der Schranke annähert.<br />
−
<math>{S}</math> steht für die Schranke, der sich der Graph annähert, die aber nicht überschritten werden kann.<br />
+
−
<math>{a}</math> ergibt addiert (nachunten begrenzt) beziehungsweise subtrahiert (nach oben begrenzt) mit <math>{S}</math> den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math> . Zudem bestimmt das Vorzeichen vor dem <math>{a}</math>, ob das Wachstum nach oben oder nach unten begrenzt ist.<br />
+
−
<math>{b}</math> ist der Wachstums- eziehungsweise Zerfallsfaktor um den der Bestand in einem bestimmten Zeitraum multipliziert wird.<br />
+
  
−
===Beispiel===
+
==Funktionsterm==
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Ein Heißgetränk hat eine Temperatur von 50 °C und kühlt auf die Umgebungstemperatur von 20 °C ab
+
−
 
+
−
==Funktionsterm mit e==
+
 
<math>{f(x)=S-a \cdot e^{-k \cdot x}}</math><br /><br />
 
<math>{f(x)=S-a \cdot e^{-k \cdot x}}</math><br /><br />
 
<math>{S}</math>  steht für die Schranke, der sich der Graph annähert, die aber nicht überschritten werden kann.<br />
 
<math>{S}</math>  steht für die Schranke, der sich der Graph annähert, die aber nicht überschritten werden kann.<br />
 
<math>{k}</math> steht für die Wachstumskonstante.<br >
 
<math>{k}</math> steht für die Wachstumskonstante.<br >
−
<math>{a}</math> steht für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math> . Zudem bestimmt das Vorzeichen vor dem <math>{a}</math>, ob das Wachstum nach oben oder nach unten begrenzt ist.<br />
+
<math>{S-a}</math> ergeben den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math> . Zudem bestimmt das Vorzeichen vor dem <math>{a}</math>, ob das Wachstum nach oben oder nach unten begrenzt ist.<br />
 
[[Datei:BeWachstum1.png|rahmenlos|links]]
 
[[Datei:BeWachstum1.png|rahmenlos|links]]
 
[[Datei:Be Wachstum2.png|rahmenlos|ohne]]<br />
 
[[Datei:Be Wachstum2.png|rahmenlos|ohne]]<br />
  
−
===Differenzialgleichung===
+
==a berechnen==
−
Als Differenzialgleichung geschrieben lautet der Funktionsterm des beschränkten Wachstums<br />
+
Um den Anfangsbestand zu berechnen, muss der restliche Funktionsterm auf <math>{a}</math> umgeformt werden.<br />
−
<math>{f'(x)=k \cdot (S-f(x))}</math>.<br /><br />
+
<math> \begin{align}
−
Erklärung:<br />
+
y &= S-a \cdot e^{-k \cdot x} \quad |-S \\
−
Die Ableitund des Funktionsterms lautet: <br />
+
y-S &= -a \cdot e^{-k \cdot x} \quad | \div e^{-k \cdot S} \\
−
<math>{f'(x)=k \cdot a \cdot e^{-k \cdot x}}</math><br />
+
\frac{y-S}{e^{-k \cdot x}} &= -a \quad | \cdot -1 \\
−
Um daraus eine Differenzialgleichung zu machen, muss neben <math>{f'(x)}</math> auch <math>{f(x)}</math> in der Funktion enthalten sein. Dafür muss diese zuerst umgeformt werden:<br />
+
-\frac{y-S}{e^{-k \cdot x}} &= a \\
−
<math>{f'(x)=k(a \cdot e^{-k \cdot x})}</math><br />
+
-(y-S) \cdot e^{k \cdot x} &= a
−
Jetzt fehlt nur noch die Schranke <math>{S}</math>:<br />
+
\end{align} </math>
−
<math>{f'(x)=k(S-({\color{red}S-a \cdot e^{-k \cdot x}}))}</math><br />
+
−
Der markierte Teil ist identisch mit <math>{f(x)}</math> und kann daher ersetzt werden:<br />
+
−
<math>{f'(x)=k(S-{\color{red}f(x)})}</math><br />
+
  
−
==Beispiel==
+
===Beispiel===
−
[[Datei:BeWachstum3.png|rahmenlos|rechts]]
+
Gegeben ist die Gleichung <br />
−
Nach dem Einpflanzen wächst ein Baum recht schnell, jedoch wächst er langsamer je größer er wird, sodass sich seine Höhe einer natürlichen Grenze annähert. Diese Höhe (in Metern) kann mit der Funktion<br />
+
<math>{49,5=50-a \cdot e^{-0,75 \cdot 6}}</math><br /><br />
−
<math>{15-15 \cdot e^{-0,5 \cdot x}}</math> <br />
+
Um den Anfangsbestand zu berechnen müssen die Werte in die umgeformte Gleichung eingesetzt werden.<br />
−
(x in Jahren) beschrieben werden.
+
<math> \begin{align}
−
<br /><br /><br />
+
a &=-(49,5-50) \cdot e^{0,75 \cdot 6} \\
 +
a & \approx 45
 +
\end{align} </math><br /><br />
 +
<math> \begin{align}
 +
S-a &=y_0 \\
 +
50-45 &=5
 +
\end{align}</math><br />
 +
Der Anfangsbestand ist also 5.<br /><br />
  
−
==Aufgaben==
+
{{Aufgabe|Gegeben ist die Gleichung <br />
−
{{Aufgabe|Bei Beobachtungsbeginn bedeckt eine Algenart 5 Quadratkilometer des Grundes eines Sees. Die Algen breiten sich innerhalb des 90 Quadratmeter großen Sees aus. Die von den Algen bedeckte Fläche kann mit der Funktion<br /><br />
+
<math>{52,15 = 60-a \cdot e^{-0,4 \cdot 5}}</math><br />
−
<math>{90-85 \cdot e^{-0,1 \cdot x}}</math><br /><br />
+
Berechnen Sie <math>{a}</math><br />
−
(x in Monaten) beschrieben werden.
+
−
1) Geben Sie den Funktionsterm als Differenzialsgleichung an!
+
 
<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
−
<math>{f'(x)=0,1(90-f(x))}</math>
+
<math> \begin{align}
 +
a &= -(52,15-60) \cdot e^{0,4 \cdot 5} \\
 +
a & \approx 58
 +
\end{align} </math>
 
</popup>
 
</popup>
−
2) Welche Fläche bedecken die Algen nach zweieinhalb Jahren?
+
}}
−
<popup name="Lösung">
+
 
−
<math>{f(30)=90-85 \cdot e^{-0,1 \cdot 30}}</math><br />
+
==Wachstumsgeschwindigkeit berechnen==
−
<math>{f(30) \approx 85,77}</math><br />
+
Um die Wachstumsgeschwindigkeit zu berechnen, muss die Ableitung gebildet werden.<br />
−
Nach zweieinhalb Jahren haben die Algen ungefähr 85,77 Quadratmeter des Seegrundes bedeckt.
+
<math> \begin{align}
−
</popup>
+
f(x) &= S-a \cdot e^{-k \cdot x} \\
−
3) Wann bedecken die Algen eine Fläche von 75 Quadratkilometern?
+
f'(x) &= k(S-(S-a \cdot e^{-k \cdot x})) \\
 +
f'(X) &= k \cdot a \cdot e^{-k \cdot x}
 +
\end{align} </math>
 +
 
 +
===Beispiel===
 +
Gegeben ist die Funktionsgleichung <br />
 +
<math>{f(x)=100-99 \cdot e^{-1,2 \cdot x}}</math> <br />
 +
Also lautet die Ableitungsfunktion<br />
 +
<math>{f'(x)= 1,2 \cdot 99 \cdot e^{-1,2 \cdot x}}</math><br />
 +
Damit lässt sich die Wachststumsgeschwindigkeit der Ausgangsgleichung an jeder beliebigen Stelle berechnen.<br /><br />
 +
 
 +
{{Aufgabe|Gegeben ist die Funktionsgleichung <br />
 +
<math>{f(x)= 122-117 \cdot e^{-0,15 \cdot x}}</math><br />
 +
Geben Sie die Wachstumsgeschwindigkeit an der Stelle <math>{x=9}</math> an!<br />
 
<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
 
<math> \begin{align}
 
<math> \begin{align}
−
75 &=90-85 \cdot e^{-0,1 \cdot x}|-90 \\
+
f'(x) &=0,15 \cdot 117 \cdot e^{-0,15 \cdot x} \\
−
-15 &=-85 \cdot e^{-01 \cdot x}|:-85 \\
+
f'(9) &=0,15 \cdot 117 \cdot e^{-0,15 \cdot 9} \\
−
\tfrac{15}{85} &=e^{-0,1 \cdot x}|ln \\
+
f'(9) & \approx 4,55
−
ln(\tfrac{15}{85}) &=-0,1 \cdot x| \cdot -10 \\
+
\end{align} </math>
−
-10 \cdot ln(\tfrac{15}{85}) &=x \\
+
−
17,35 & \approx x
+
−
\end{align} </math><br />
+
−
Nach ungefähr 17,35 Monaten bedecken die Algen 75 Quadratkilometer des Seegrundes.
+
 
</popup>
 
</popup>
 
}}
 
}}
 +
 +
==Übungsaufgabe==
 +
Auf dem Grund eines Sees mit einer Fläche von 100 km² breitet sich eine neue Algenart aus. Sie ist auf die Fläche des Sees begrenzt. Ihr Wachstum kann mit der Funktion<br />
 +
<math>{100-a \cdot e^{-0,15 \cdot x}}</math><br />
 +
beschrieben werden.<br />
 +
a)Berechnen Sie den Anfangsbestand, wenn die Algenart nach 16 Jahren 91,2 km² des Sees bedeckt!<br />
 +
b)Wie hoch ist die Wachstumsgeschwindigkeit am Ende des 5. Jahres?
 +
<popup name="Lösung a)">
 +
<math> \begin{align}
 +
a &=-(y-S) \cdot e^{k \cdot x} \\
 +
a &=-(91,2-100) \cdot e^{0,15 \cdot 16} \\
 +
a & \approx 97
 +
\end{align} </math><br /><br /><br />
 +
<math> \begin{align}
 +
S-a &= y_0 \\
 +
100-97 &= 3
 +
\end{align} </math><br /><br />
 +
Der Anfangsbestand ist ungefähr 3.
 +
</popup>
 +
<popup name="Lösung b)">
 +
<math> \begin{align}
 +
f'(x) &= 0,15 \cdot 97 \cdot e^{-0,15 \cdot x} \\
 +
f'(5) &= 0,15 \cdot 97 \cdot e^{-0,15 \cdot 5} \\
 +
f'(5) & \approx 6,873
 +
\end{align} </math><br /><br />
 +
Am Ende des 5. Jahres beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit ungefähr 6,873 km²/Jahr.
 +
</popup>

Aktuelle Version vom 18. Dezember 2018, 17:45 Uhr

Beim beschränkten Wachstum ist die Änderungsrate proportional zum Sättigungsmanko.

Der Graph der Funktion eines beschränkten Wachstums nähert sich einer Schranke an. Der Abstand zwischen Graph und Schranke wird Sättigungsmanko genannt.
Ist das Wachstum nach oben beschränkt, so nähert sich der Graph von unten an die Schranke an. Die Steigung des Graphen ist dabei positiv und wird umso geringer, je weiter sich der Graph der Schranke annähert.
Ist das Wachstum nach unten beschränkt, so nähert sich der Graph von oben an die Schranke an. Die Steigung des Graphen ist dabei negativ und wird umso größer, je weiter sich der Graph der Schranke annähert.

Inhaltsverzeichnis

Funktionsterm

{f(x)=S-a \cdot e^{-k \cdot x}}

{S} steht für die Schranke, der sich der Graph annähert, die aber nicht überschritten werden kann.
{k} steht für die Wachstumskonstante.
{S-a} ergeben den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt {x=0} . Zudem bestimmt das Vorzeichen vor dem {a}, ob das Wachstum nach oben oder nach unten begrenzt ist.

BeWachstum1.png
Be Wachstum2.png

a berechnen

Um den Anfangsbestand zu berechnen, muss der restliche Funktionsterm auf {a} umgeformt werden.
\begin{align} y &= S-a \cdot e^{-k \cdot x} \quad |-S \\ y-S &= -a \cdot e^{-k \cdot x} \quad | \div e^{-k \cdot S} \\ \frac{y-S}{e^{-k \cdot x}} &= -a \quad | \cdot -1 \\ -\frac{y-S}{e^{-k \cdot x}} &= a \\ -(y-S) \cdot e^{k \cdot x} &= a \end{align}

Beispiel

Gegeben ist die Gleichung
{49,5=50-a \cdot e^{-0,75 \cdot 6}}

Um den Anfangsbestand zu berechnen müssen die Werte in die umgeformte Gleichung eingesetzt werden.
\begin{align} a &=-(49,5-50) \cdot e^{0,75 \cdot 6} \\ a & \approx 45 \end{align}

\begin{align} S-a &=y_0 \\ 50-45 &=5 \end{align}
Der Anfangsbestand ist also 5.

30px   Aufgabe

Gegeben ist die Gleichung
{52,15 = 60-a \cdot e^{-0,4 \cdot 5}}
Berechnen Sie {a}

Wachstumsgeschwindigkeit berechnen

Um die Wachstumsgeschwindigkeit zu berechnen, muss die Ableitung gebildet werden.
\begin{align} f(x) &= S-a \cdot e^{-k \cdot x} \\ f'(x) &= k(S-(S-a \cdot e^{-k \cdot x})) \\ f'(X) &= k \cdot a \cdot e^{-k \cdot x} \end{align}

Beispiel

Gegeben ist die Funktionsgleichung
{f(x)=100-99 \cdot e^{-1,2 \cdot x}}
Also lautet die Ableitungsfunktion
{f'(x)= 1,2 \cdot 99 \cdot e^{-1,2 \cdot x}}
Damit lässt sich die Wachststumsgeschwindigkeit der Ausgangsgleichung an jeder beliebigen Stelle berechnen.

30px   Aufgabe

Gegeben ist die Funktionsgleichung
{f(x)= 122-117 \cdot e^{-0,15 \cdot x}}
Geben Sie die Wachstumsgeschwindigkeit an der Stelle {x=9} an!

Übungsaufgabe

Auf dem Grund eines Sees mit einer Fläche von 100 km² breitet sich eine neue Algenart aus. Sie ist auf die Fläche des Sees begrenzt. Ihr Wachstum kann mit der Funktion
{100-a \cdot e^{-0,15 \cdot x}}
beschrieben werden.
a)Berechnen Sie den Anfangsbestand, wenn die Algenart nach 16 Jahren 91,2 km² des Sees bedeckt!
b)Wie hoch ist die Wachstumsgeschwindigkeit am Ende des 5. Jahres?

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