Beschränktes Wachstum: Unterschied zwischen den Versionen

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Beim beschränkten Wachstum nähert sich der Graph einer Schranke an, ohne diese zu berühren oder zu schneiden. Dabei kann sich der Graph sowohl von unten (positives Wachstum) als auch von oben (negatives Wachstum) an die Schranke annähren.<br />  
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Beim beschränkten Wachstum ist die Änderungsrate proportional zum Sättigungsmanko.<br /><br />
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Der Graph der Funktion eines beschränkten Wachstums nähert sich einer Schranke an. Der Abstand zwischen Graph und Schranke wird Sättigungsmanko genannt.<br />
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Ist das Wachstum nach oben beschränkt, so nähert sich der Graph von unten an die Schranke an. Die Steigung des Graphen ist dabei positiv und wird umso geringer, je weiter sich der Graph der Schranke annähert.<br />
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Ist das Wachstum nach unten beschränkt, so nähert sich der Graph von oben an die Schranke an. Die Steigung des Graphen ist dabei negativ und wird umso größer, je weiter sich der Graph der Schranke annähert.<br />
  
 
==Funktionsterm==
 
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Um den Anfangsbestand zu berechnen, muss der restliche Funktionsterm auf <math>{a}</math> umgeformt werden.<br />
 
Um den Anfangsbestand zu berechnen, muss der restliche Funktionsterm auf <math>{a}</math> umgeformt werden.<br />
 
<math> \begin{align}
 
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y &= S-a \cdot e^{-k \cdot x} |-S \\
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y &= S-a \cdot e^{-k \cdot x} \quad |-S \\
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y-S &= -a \cdot e^{-k \cdot x} |: e^{-k \cdot S} \\
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y-S &= -a \cdot e^{-k \cdot x} \quad | \div e^{-k \cdot S} \\
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\frac{y-S}{e^{-k \cdot x}} &= -a | \cdot -1 \\
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\frac{y-S}{e^{-k \cdot x}} &= -a \quad | \cdot -1 \\
 
-\frac{y-S}{e^{-k \cdot x}} &= a \\
 
-\frac{y-S}{e^{-k \cdot x}} &= a \\
 
-(y-S) \cdot e^{k \cdot x} &= a
 
-(y-S) \cdot e^{k \cdot x} &= a
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<math>{100-a \cdot e^{-0,15 \cdot x}}</math><br />
 
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beschrieben werden.<br />
 
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a)Berechnen Sie den Anfangsbestand, wenn die Algenart nach 16 Jahren 91,2 km² des Sees bedeckt!
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a)Berechnen Sie den Anfangsbestand, wenn die Algenart nach 16 Jahren 91,2 km² des Sees bedeckt!<br />
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b)Wie hoch ist die Wachstumsgeschwindigkeit am Ende des 5. Jahres?
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a &=-(y-S) \cdot e^{k \cdot x} \\
 
a &=-(y-S) \cdot e^{k \cdot x} \\
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Der Anfangsbestand ist ungefähr 3.
 
Der Anfangsbestand ist ungefähr 3.
 
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b) Wie hoch ist die Wachstumsgeschwindigkeit am Ende des 5. Jahres?<br />
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f'(x) &= 0,15 \cdot 97 \cdot e^{-0,15 \cdot x} \\
 
f'(x) &= 0,15 \cdot 97 \cdot e^{-0,15 \cdot x} \\

Aktuelle Version vom 18. Dezember 2018, 17:45 Uhr

Beim beschränkten Wachstum ist die Änderungsrate proportional zum Sättigungsmanko.

Der Graph der Funktion eines beschränkten Wachstums nähert sich einer Schranke an. Der Abstand zwischen Graph und Schranke wird Sättigungsmanko genannt.
Ist das Wachstum nach oben beschränkt, so nähert sich der Graph von unten an die Schranke an. Die Steigung des Graphen ist dabei positiv und wird umso geringer, je weiter sich der Graph der Schranke annähert.
Ist das Wachstum nach unten beschränkt, so nähert sich der Graph von oben an die Schranke an. Die Steigung des Graphen ist dabei negativ und wird umso größer, je weiter sich der Graph der Schranke annähert.

Inhaltsverzeichnis

Funktionsterm

{f(x)=S-a \cdot e^{-k \cdot x}}

{S} steht für die Schranke, der sich der Graph annähert, die aber nicht überschritten werden kann.
{k} steht für die Wachstumskonstante.
{S-a} ergeben den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt {x=0} . Zudem bestimmt das Vorzeichen vor dem {a}, ob das Wachstum nach oben oder nach unten begrenzt ist.

BeWachstum1.png
Be Wachstum2.png

a berechnen

Um den Anfangsbestand zu berechnen, muss der restliche Funktionsterm auf {a} umgeformt werden.
\begin{align} y &= S-a \cdot e^{-k \cdot x} \quad |-S \\ y-S &= -a \cdot e^{-k \cdot x} \quad | \div e^{-k \cdot S} \\ \frac{y-S}{e^{-k \cdot x}} &= -a \quad | \cdot -1 \\ -\frac{y-S}{e^{-k \cdot x}} &= a \\ -(y-S) \cdot e^{k \cdot x} &= a \end{align}

Beispiel

Gegeben ist die Gleichung
{49,5=50-a \cdot e^{-0,75 \cdot 6}}

Um den Anfangsbestand zu berechnen müssen die Werte in die umgeformte Gleichung eingesetzt werden.
\begin{align} a &=-(49,5-50) \cdot e^{0,75 \cdot 6} \\ a & \approx 45 \end{align}

\begin{align} S-a &=y_0 \\ 50-45 &=5 \end{align}
Der Anfangsbestand ist also 5.

30px   Aufgabe

Gegeben ist die Gleichung
{52,15 = 60-a \cdot e^{-0,4 \cdot 5}}
Berechnen Sie {a}

Wachstumsgeschwindigkeit berechnen

Um die Wachstumsgeschwindigkeit zu berechnen, muss die Ableitung gebildet werden.
\begin{align} f(x) &= S-a \cdot e^{-k \cdot x} \\ f'(x) &= k(S-(S-a \cdot e^{-k \cdot x})) \\ f'(X) &= k \cdot a \cdot e^{-k \cdot x} \end{align}

Beispiel

Gegeben ist die Funktionsgleichung
{f(x)=100-99 \cdot e^{-1,2 \cdot x}}
Also lautet die Ableitungsfunktion
{f'(x)= 1,2 \cdot 99 \cdot e^{-1,2 \cdot x}}
Damit lässt sich die Wachststumsgeschwindigkeit der Ausgangsgleichung an jeder beliebigen Stelle berechnen.

30px   Aufgabe

Gegeben ist die Funktionsgleichung
{f(x)= 122-117 \cdot e^{-0,15 \cdot x}}
Geben Sie die Wachstumsgeschwindigkeit an der Stelle {x=9} an!

Übungsaufgabe

Auf dem Grund eines Sees mit einer Fläche von 100 km² breitet sich eine neue Algenart aus. Sie ist auf die Fläche des Sees begrenzt. Ihr Wachstum kann mit der Funktion
{100-a \cdot e^{-0,15 \cdot x}}
beschrieben werden.
a)Berechnen Sie den Anfangsbestand, wenn die Algenart nach 16 Jahren 91,2 km² des Sees bedeckt!
b)Wie hoch ist die Wachstumsgeschwindigkeit am Ende des 5. Jahres?

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