Ableitungsregeln: Unterschied zwischen den Versionen

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<math>f'(x)=a \cdot n \cdot x^{n-1}</math><br />
 
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<math>f(x)=2x^3+4x^2+5x</math><br />
 
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Version vom 22. März 2012, 21:11 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10

Potenzregel

Allgemeine Formel:

f(x)=x^n
f'(x)=n \cdot x^{n-1}

Beispiel:

f(x)=x^3+x^2-x
f'(x)=3x^2+2x-1

Summenregel

Allgemeine Formel:

\begin{align} f(x)&=u(x)+v(x) \\ f'(x)&=u'(x) + v'(x) \end{align}

Faktorregel

Allgemeine Formel:

f(x)=ax^n
f'(x)=a \cdot n \cdot x^{n-1}

Beispiel:

f(x)=2x^3+4x^2+5x
f'(x)=6x^2+8x+5

Neue Ableitungsregeln

Produktregel

Allgemeine Formel:

f(x)=u(x) \cdot v(x)

f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)

Kurzform: f'=u'v+uv'


Rechenbeispiel:
f(x)=(5x^2) \cdot x^{1 \over 2}
f'(x)=(10x) \cdot (x^{1 \over 2})+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}
f'(x)=10x \cdot sqrt{x}+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}

Kann man das noch weiter umschreiben? [Btm]

Quotientenregel

f(x)= {u(x)\over v(x)}
f'(x)= {{u'(x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v'(x)} \over (v(x))^2}

Kurzform:
f'= {{u' \cdot v- u \cdot v' } \over {v^2}}

Anwendungsbeispiel: f(x)= {{5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2} \over {x^2}}

f'= {{(15 \cdot x^2 + 4 \cdot x)\cdot x^2 }-{( 5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2) \cdot 2 \cdot x } \over {x^4}}

Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): f'= {{(15 \cdot x^2 + 4 \cdot x^3 ) - {( 10 \cdot x^4 + 4 \cdot x^3)} \over { x^4}}


f'= {{ 5\cdot x^4} \over {x^4}}

Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): f'={{ 5 \cdot x^4} \cdot {1 \over {x^4}} = {5}


Quotienten lösen mit Hilfe der Produktregel: Trick: Quotienten in ein Produkt umschreiben und dann die Produktregel anwenden

f(x)= {{5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2} \over {x^2}}

als Produkt: f(x)= {{5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2} \cdot {x^-2}}

f'= {{(15 \cdot x^2 + 4 \cdot x) \cdot x^-2 + {( 5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2)} \cdot (-2 \cdot x^-3)}}

f'= {{x \cdot( 15 \cdot x +4 ) \over x^2} + {5 \cdot x + 2 \cdot (-2) \over x^2 } \cdot {x^2}} = {{15 \cdot x +4 \over x} - { 10 \cdot x - 4 \over x}} = {{ 5 \cdot x \over x }} = {5}

Kettenregel

Allgemeine Formel der Kettenregel:

f(x)=u(v(x))

f'(x)=u'(v) \cdot v'(x)

Die Ableitung einer verketteten Funktion ist die Ableitung
der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion.

Beispiel:

f(x)=(2x-x^2)^3

äußere Funktion: u=v^3
innere Funktion: v=2x-2x^2

f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)

f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)

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