Funktionenscharen: Unterschied zwischen den Versionen

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'''Berechnung der Extrempunkte:''' <br />
 
'''Berechnung der Extrempunkte:''' <br />
 
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\begin {matrix}
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\begin{matrix}
 
f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\
 
f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\
  
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\begin{matrix}
 
\begin{matrix}
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2x^3-2dx&=& 0 \\
+
2x^3-2dx&=& 0 & \\
−
2x^3&=& 2dx \\
+
2x^3&=& 2dx &\\
−
x^3 &=& dx \\
+
x^3 &=& dx & x_1 = 0\\
−
x^2&=& d \\
+
x^2&=& d &\\
−
x_1&=& \sqrt d \\
+
x_2&=& \sqrt d &\\
−
x_2&=& - \sqrt d
+
x_3&=& - \sqrt d & d \not< 0
 
\end{matrix}
 
\end{matrix}
 
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</math>
−
 
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&rarr; d kann nicht negativ werden
 
−
 
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<span style="color: red">''Vorsicht - hier ist ein Fehler. Es gibt drei Lösungen, nicht nur eine! [Btm]''</span>
 
  
 
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<math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math><br />
 
<math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math><br />
−
<math>f''(-\sqrt d)= 6 (-\sqrt d) ^2-2d=6d-2d=4d</math>
+
<math>f''(-\sqrt d)= 6 (-\sqrt d) ^2-2d=6d-2d=4d</math> <br />
−
<math> d < 0  \rightarrow HP </math>
+
<math> 4d > 0  \rightarrow TP </math> für beide Extrempunkte <br />
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für <math> d = 0 </math> liegt kein Tiefpunkt vor!
  
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<span style="color: red">''Vorsicht: Kann <math>d<0</math> nun doch gelten? [Btm]''</span><br />
 
  
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<math>f''( 0) = -2d</math><br />
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<math> -2d < 0  \rightarrow HP </math> , für <math> d = 0 </math> liegt kein Hochpunkt vor!
  
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= Ortskurven =
  
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<math> d > 0 \rightarrow TP </math>
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=== Allgemeine Herleitung einer Ortskurve ===
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==== Hoch- bzw Tiefpunkt bestimmen ====
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  -> Die 1. Ableitung 0 setzen
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  -> Ergebnis in die 2. Ableitung einsetzen
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  -> Ergebnis größer 0 -> Tiefpunkt;
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    Ergebnis kleiner 0 -> Hochpunkt
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==== Ortskurve bestimmen ====
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  -> x-Koordinate in die Funktion einsetzen
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  -> Ergebnis bildet die y-Koordinate
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  -> x-Koordinate nach t auflösen
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  -> t Auflösung in y einsetzen
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  -> Lösung = Ortskurvenfunktion
 +
 
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==== Probe mit Hilfe des GTRs ====
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  -> In "Y=" für y<sub>1,2,3</sub> für t in der Funktion beliebige Zahlen einsetzen (z.B. 1,2 und 3)
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  -> Ortskurvenfunktion in y<sub>4</sub> einsetzen
 +
  -> Im "Graph" überprüfen, ob die Ortskurve alle Funktionen an derselben Stelle durchläuft
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==== Beispiel Nr. 1 ====
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<math>f_t(x)=x^2+tx</math>
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<math>f'_t(x)=2x+t</math>
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<math>f''_t(x)=2</math>
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Hoch- bzw Tiefpunkt bestimmen:
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<math>f'_t(x)= 2x+t=0</math>
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<math>2x=t</math>
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<math>x=-{t \over2}</math>
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Kurvenverhalten:
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<math>f''_t(x)=2</math>
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größer als 0 -> Tiefpunkt
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Ortskurve bestimmen:
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<math>f_t \left({t \over2}\right)=\left(-{t \over2}\right)^2+t\cdot\left(-{t \over2}\right)</math>
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<math>=\left(-{t \over2}\right)\cdot\left({t \over2}\right)+t\cdot\left({t \over2}\right)</math>
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<math>={t^2 \over4}-{t^2 \over2}</math>
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<math>-{t^2 \over4}</math>
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<math>TP \left(-{t \over2} ; -{t^2 \over4}\right)</math>
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x-Koordinate nach t auflösen:
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<math>x=-{t \over2}</math>
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<br />
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<math>t=-2x</math>
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t Auflösung in y einsetzen:
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<math>y=-{t^2 \over4}</math>
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<math>y=-{(-2x)^2 \over4}</math>
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<br />
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<math>=-{(-2x)\cdot(-2x) \over4}</math>
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<math>=-{4x^2 \over4}</math>
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<br />
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<math>=-x^2</math>  --> Ortskurvenfunktion
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Probe mit Hilfe des GTRs!
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<br />
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[[Datei:Ortskurven Beispiel 1.jpg|thumb|locus curve]]
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<br />
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[[Benutzer:MeJvzm-fsg|MeJvzm-fsg]] ([[Benutzer Diskussion:MeJvzm-fsg|Diskussion]]) 10:21, 11. Dez. 2015 (CET) M.Entenmann
  
−
== Ortskurven ==
 
−
'''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br />
 
  
−
Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte.
+
'''Beispiel Nr. 2'''
  
 
'''Bestimmen von Ortskurven'''
 
'''Bestimmen von Ortskurven'''
  
−
Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -sqrt d | - 0,5 d^2) </math>
+
Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( \sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -\sqrt d | - 0,5 d^2) </math>
  
  
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<math>
 
<math>
 
\begin{align}
 
\begin{align}
−
  x&=sqrt d \\
+
  x&=\sqrt d \\
−
y&= f( sqrt d )  = - 0,5 d^2
+
y&= f( \sqrt d )  = - 0,5 d^2
 
\end{align}
 
\end{align}
 
</math>
 
</math>
  
−
<span style="color: red">''Vorsicht - hier ist ein Fehler in der y-Koordinate, der sich bis unten durchzieht. Auch wenn das Ergebnis stimmt, ist die Rechnung falsch! [Btm]''</span>
 
  
 
x - Koordinate nach Parameter auflösen:  
 
x - Koordinate nach Parameter auflösen:  
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Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen:  
 
Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen:  
  
−
<math>y= 0,5 x^4 - x^4 = -0,5x^4 </math>
+
<math>y= -0,5x^4 </math>
  
  

Aktuelle Version vom 11. Dezember 2015, 10:46 Uhr

Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt.

30px   Aufgabe

Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?
f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R}

Inhaltsverzeichnis

Funktionenscharen

Berechnung der Extrempunkte:
\begin{matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix}


\begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 & \\ 2x^3&=& 2dx &\\ x^3 &=& dx & x_1 = 0\\ x^2&=& d &\\ x_2&=& \sqrt d &\\ x_3&=& - \sqrt d & d \not< 0 \end{matrix}


\begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix}


f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d
f''(-\sqrt d)= 6 (-\sqrt d) ^2-2d=6d-2d=4d
4d > 0 \rightarrow TP für beide Extrempunkte
für d = 0 liegt kein Tiefpunkt vor!


f''( 0) = -2d
-2d < 0 \rightarrow HP , für d = 0 liegt kein Hochpunkt vor!

Ortskurven

Allgemeine Herleitung einer Ortskurve

Hoch- bzw Tiefpunkt bestimmen 

 -> Die 1. Ableitung 0 setzen
 -> Ergebnis in die 2. Ableitung einsetzen
 -> Ergebnis größer 0 -> Tiefpunkt;
    Ergebnis kleiner 0 -> Hochpunkt

Ortskurve bestimmen 

 -> x-Koordinate in die Funktion einsetzen
 -> Ergebnis bildet die y-Koordinate
 -> x-Koordinate nach t auflösen
 -> t Auflösung in y einsetzen
 -> Lösung = Ortskurvenfunktion

Probe mit Hilfe des GTRs 

 -> In "Y=" für y1,2,3 für t in der Funktion beliebige Zahlen einsetzen (z.B. 1,2 und 3)
 -> Ortskurvenfunktion in y4 einsetzen
 -> Im "Graph" überprüfen, ob die Ortskurve alle Funktionen an derselben Stelle durchläuft

Beispiel Nr. 1

f_t(x)=x^2+tx
f'_t(x)=2x+t
f''_t(x)=2

Hoch- bzw Tiefpunkt bestimmen:
f'_t(x)= 2x+t=0
2x=t
x=-{t \over2}

Kurvenverhalten:
f''_t(x)=2
größer als 0 -> Tiefpunkt

Ortskurve bestimmen:
f_t \left({t \over2}\right)=\left(-{t \over2}\right)^2+t\cdot\left(-{t \over2}\right)
=\left(-{t \over2}\right)\cdot\left({t \over2}\right)+t\cdot\left({t \over2}\right)
={t^2 \over4}-{t^2 \over2}
-{t^2 \over4}

TP \left(-{t \over2} ; -{t^2 \over4}\right)

x-Koordinate nach t auflösen:
x=-{t \over2}
t=-2x

t Auflösung in y einsetzen:
y=-{t^2 \over4}
y=-{(-2x)^2 \over4}
=-{(-2x)\cdot(-2x) \over4}
=-{4x^2 \over4}
=-x^2 --> Ortskurvenfunktion

Probe mit Hilfe des GTRs!

locus curve


MeJvzm-fsg (Diskussion) 10:21, 11. Dez. 2015 (CET) M.Entenmann


Beispiel Nr. 2

Bestimmen von Ortskurven

Die Koordinaten des Extrempunktes sind E_1 ( 0 | 0 ) , E_2 ( \sqrt d | - 0,5 d^2) , E_3 ( -\sqrt d | - 0,5 d^2)


Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben:

\begin{align} x&=\sqrt d \\ y&= f( \sqrt d ) = - 0,5 d^2 \end{align}


x - Koordinate nach Parameter auflösen:

d= x^2


Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen:

y= -0,5x^4


Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte:

y= -0,5 x^4


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