Kurvendiskussion: Unterschied zwischen den Versionen
Aus Friedrich-Schiller-Gymnasium
(→Kriterien für Extremstellen) |
(→vollständige Kurvendiskussion) |
||
| Zeile 17: | Zeile 17: | ||
== vollständige Kurvendiskussion == | == vollständige Kurvendiskussion == | ||
| + | |||
| + | === Definitionsbereich === | ||
| + | Mit dem Definitionsbereich, sind alle x-Werte gemeint, meist sind es die reellen Zahlen.<br /> | ||
| + | Für den Wertebereich gilt das Gleiche, da ''y'' von ''x'' abhängig ist. | ||
| + | |||
| + | === Symmetrie === | ||
| + | |||
| + | * Achsensymmetrie zur y-Achse: <math>f(-x)=f(x)</math> | ||
| + | * Punktsymmetrie zum Ursprung: <math>f(-x)=-f(x)</math> | ||
| + | |||
| + | === Verschiebung === | ||
| + | * um ''c'' in x-Richtung <math>y=f(x-c)</math> | ||
| + | * um ''d'' in y-Richtung <math>y=f(x)+d</math> | ||
| + | |||
| + | === Streckung === | ||
| + | * mit Faktor ''<math>\frac{1}{b}</math>'' in x-Richtung: <math>y=f(b*x)</math> | ||
| + | * mit Faktor ''a'' in y-Richtung: <math>y=a*f(x)</math> | ||
| + | |||
| + | === Schnittstellen mit den Achsen === | ||
| + | Man setzt die Funktion mit Null gleich und löst die Gleichung nach ''x'' auf. Daraus erhält man die Schnittstellen mit der x-Achse (Nullstellen).<br /> | ||
| + | Um die Schnittpunkte mit der y-Achse auszurechnen, setzt man für ''x'' in der Funktion Null ein und rechnet die Gleichung aus. | ||
| + | |||
| + | === Monotonie === | ||
| + | <math>f'(x)>0</math> => f streng monoton wachsend | ||
| + | <math>f'(x)<0</math> => f streng monoton fallend | ||
| + | |||
| + | <math>f'(x)\ge0</math> => f monoton wachsend | ||
| + | <math>f'(x)\le0</math> => f monoton fallend | ||
| + | |||
| + | === Globalverlauf === | ||
| + | * Globalverlauf für gerade Exponenten: | ||
| + | <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> | ||
| + | <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich | ||
| + | * Globalverlauf für ungerade Exponenten: | ||
| + | <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> | ||
| + | <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to-\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen minus unendlich | ||
| + | '''! Anmerkung: Eine negative Basis, bzw. ein negativer Exponent, spiegelt die Kurven an der x-Achse, wodurch auch die Globalverläufe "gespiegelt" werden.''' | ||
Version vom 4. Dezember 2015, 10:52 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Kriterien für Extremstellen
Definition
Ein Hochpunkt hat den größten y-Wert in seiner Umgebung. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von positiv (+) nach negativ (-) .
Ein Tiefpunkt hat den kleinsten y-Wert in seiner Umgebung. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von negativ (-) nach positiv (+) .
Kriterien
- notwendige Bedingung:
Begründung: Die Ableitung(Steigung) am Extrempunkt ist 0 - hinreichende Bedingung:
- schwache Bedingung:
Begründung: Die zweite Ableitung darf nicht 0 sein, da sonst kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt vorliegt. - starke Bedingung: Vorzeichenwechsel an f '(x) an der Stelle des eventuellen Extrempunktes.
Begründung: Die erste Ableitung muss ein Vorzeichenwechsel haben, da sonst ein Sattelpunkt vorliegt.
- schwache Bedingung:
!in Bearbeitung!
Kriterien für Wendestellen
vollständige Kurvendiskussion
Definitionsbereich
Mit dem Definitionsbereich, sind alle x-Werte gemeint, meist sind es die reellen Zahlen.
Für den Wertebereich gilt das Gleiche, da y von x abhängig ist.
Symmetrie
- Achsensymmetrie zur y-Achse:
- Punktsymmetrie zum Ursprung:
Verschiebung
- um c in x-Richtung
- um d in y-Richtung
Streckung
- mit Faktor
in x-Richtung: 
- mit Faktor a in y-Richtung:
Schnittstellen mit den Achsen
Man setzt die Funktion mit Null gleich und löst die Gleichung nach x auf. Daraus erhält man die Schnittstellen mit der x-Achse (Nullstellen).
Um die Schnittpunkte mit der y-Achse auszurechnen, setzt man für x in der Funktion Null ein und rechnet die Gleichung aus.
Monotonie
=> f streng monoton wachsend
=> f streng monoton fallend
=> f monoton wachsend
=> f monoton fallend
Globalverlauf
- Globalverlauf für gerade Exponenten:
=>
Gesprochen: Für x gegen unendlich, läuft y gegen unendlich
=>
- Globalverlauf für ungerade Exponenten:
Gesprochen: Für x gegen minus unendlich, läuft y gegen minus unendlich
! Anmerkung: Eine negative Basis, bzw. ein negativer Exponent, spiegelt die Kurven an der x-Achse, wodurch auch die Globalverläufe "gespiegelt" werden.
