Ableitungsregeln: Unterschied zwischen den Versionen

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=== Faktorregel ===
 
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Allgemeine Formel:<br />
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<math>f(x)=ax^n</math><br />
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<math>f'(x)=a \cdot n \cdot x^{n-1}</math><br />
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Bespiel:<br />
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<math>f(x)=2x^3+4x^2+5x</math><br />
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<math>f'(x)=6x^2+8x+5</math><br />
  
 
== Neue Ableitungsregeln ==
 
== Neue Ableitungsregeln ==

Version vom 7. März 2012, 15:31 Uhr


Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10

Potenzregel

Allgemeine Formel:

f(x)=x^n
f'(x)=n \cdot x^{n-1}

Beispiel:

f(x)=x^3+x^2-x
f'(x)=3x^2+2x-1

Summenregel

\begin{align} f(x)&=u(x)+v(x) \\ f'(x)&=u'(x) + v'(x) \end{align}

Faktorregel

Allgemeine Formel:

f(x)=ax^n
f'(x)=a \cdot n \cdot x^{n-1}

Bespiel:

f(x)=2x^3+4x^2+5x
f'(x)=6x^2+8x+5

Neue Ableitungsregeln

Produktregel

Vorsicht: Was ist die Ausgangsfunktion? [Btm]

Allgemeine Formel:

f(x)=u(x) \cdot v(x)

f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)

Kurzform: f'=u'v+uv'


Rechenbeispiel:
f(x)=(5x^2) \cdot x^{1 \over 2}
f'(x)=(10x) \cdot (x^{1 \over 2})+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}
f'(x)=10x \cdot sqrt{x}+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}

Kann man das noch weiter umschreiben? [Btm]

Quotientenregel

Vorsicht: typischer Formulierungsfehler! [Btm]

f(x)= {u(x)\over v(x)}= {{u'(x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v'(x)} \over {v^2}}

Kurzform: f'= {{u' \cdot v- u \cdot v' } \over {v^2}}

Kettenregel

Allgemeine Formel der Kettenregel:

f(x)=u(v(x))

f'(x)=u'(v) \cdot v'(x)

Die Ableitung einer verketteten Funktion ist die Ableitung
der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion.

Beispiel:
f(x)=(2x-x^2)^3

äußere Funktion: u=v^3
innere Funktion: v=2x-2x^2

f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)

f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)

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