Tangentenprobleme

Tangente - Definition und Tangentengleichung

Definition

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Gegeben ist ein Punkt $P(x_P|f(x_P))$ auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit $f'(x_P)$ als Steigung.

Allgemeine Tangentengleichungen:

$y=f'(u) \cdot (x-u)+f(u)$

P(x|y) ist ein Punkt der Tangente.

$P(x_0|y_0)$ ist ein Berührpunkt der Tangente mit dem Schaubild der Funktion von F.

Übung Gegeben ist eine Funktion f mit $f(x)=-\frac{x^2}{4} \cdot (x-6)$ und ein Punkt P(6;0), der nicht zu f gehört. Finde die Tangente von P an f, ohne den Berührpunkt zu kennen.

allgemeine Tangentengleichung:
$y=f'(u) \cdot (x-u)+f(u)$

$P(x|y), P(6|0)$ ---> Punkte der Tangente

$P_0(x_0|y_0)$ ---> unbekannter Berührpunkt der Tangente

$0=-\frac{2u}{4} \cdot (u-6)-\frac{u^2}{4} \cdot 1 \cdot (6-u)+\left( -\frac{u^2}{4} \cdot (u-6) \right)$
Gleichung in GTR eingeben und lösen:
Berührstellen:
$u_1=0$
$u_2=6$

Eingesetzt $u_1=0$ in die allgemeine Tangentengleichung:

$\Rightarrow y=(-\frac{2 \cdot 0}{4} \cdot (0-6)-\frac{0^2}{4} \cdot 1 \cdot (x-0)+0)$

Tangentengleichung: $y=0 \cdot x+0$

Eingesetzt $u_2=6$ in die allgemeine Tangentengleichung:

$\Rightarrow y=(-\frac{2 \cdot 6}{4} \cdot (6-6)-\frac{6^2}{4} \cdot 1 \cdot (x-6)+0)$

Tangentengleichung: $y=-9 \cdot x+54$

Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt

30px   Aufgabe Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion $f(x)={1 \over 9} x^3 -x$ an der Stelle $x_0=3$ angelegt werden kann.

$f(x)={1 \over 9} x^3 -x$

$f'(x)={1 \over 3} x^2 -1$

$f(3)=0$

$f'(3)=2$

Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt

30px   Aufgabe Gegeben ist die Funktion f mit $f(x)=2x^2-18x+9$. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung $-2$ an, die an das Schaubild von f gelegt werden können.

Lösung:

Wir setzen die Steigung $m=-2$ in die Ableitung der Funktion als $f'(x)$ ein.

$f'(x)=4x-18$

$-2=4x-18$

$\quad\quad x=4$

4 ist die Berührstelle. Um den Y-Wert des Berührpunkts herauszufinden, setzten wir 4 in die ursprüngliche Funktion $f(x)$ ein.

$f(x)=2\cdot4^2-18\cdot4+9$

Tangente an Schaubild, Berührpunkt unbekannt

30px   Aufgabe Vom Punkt $P(0|0)$ aus wird eine Tangente an das Schaubild $f(x)=-\frac{x^2}{4}*(x-6)$ gelegt. Berechne die Tangentengleichung und bestimme die Berührpunkte. Lösung anzeigen Lösung verstecken Vorgehen: $f(x)=-\frac{x^2}{4}(x-6)\quad\quad P(0|0)$ allgemeine Tangentengleichung: $y=f'(u)(x-u)+f(u)$ $P(x|y)$-Punkt der Tangente $B(u|f(u))$-Berührungspunkt $P(0|0)$ $f(x)=-\frac{x^2}{4}(x-6)$ $f'(x)=-\frac{3}{4}x^2+3x$ $\Rightarrow 0=(-\frac{3}{4}u^2+3u)+(0-u)-\frac{u^2}{4}(u-6)$ $0=(-\frac{3}{4}u^2+3u)+(-u)-\frac{u^2}{4}+\frac{6}{4}u^2$ $0=\frac{3}{4}u^3-3u^2-\frac{u^3}{4}+\frac{6}{4}u^2$ $0=\frac{1}{2}u^3-{3}{2}u^2$ →u berechnen(Berührstelle) $0=u^2(\frac{1}{2}u-\frac{3}{2})$ $u_1=0$ $u_2=3$ →Tangentengleichung aufstellen: $u_1=0:$ $y=f'(u)+(x-u)+f(u)$ $y=(-\frac{3}{4}*0^2+3*0)*(x-0)-\frac{0^2}{4}(0-6)$ $y_1=0$ $u_2=3:$ $y=(-\frac{3}{4}*3^2+3*3)*(x-3)-\frac{3^2}{4}(3-6)$ $y=(2,25)+(x-3)-2,25(-3)$ $y=2.25x-6,75+6,75$ $y_2=2,25x=\quad{9}{4}x$