Kurvendiskussion

Kriterien für Extremstellen

Definition

Ein Hochpunkt hat den größten y-Wert in seiner Umgebung. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von positiv (+) nach negativ (-) .

Ein Tiefpunkt hat den kleinsten y-Wert in seiner Umgebung. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von negativ (-) nach positiv (+) .

Kriterien

1. notwendige Bedingung: $f'(x)=0$
   Begründung: Die Ableitung(Steigung) am Extrempunkt ist 0
2. hinreichende Bedingung:
   1. schwache Bedingung: $f''(x)\not=0$
      Begründung: Die zweite Ableitung darf nicht 0 sein, da sonst kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt vorliegt.
   2. starke Bedingung: Vorzeichenwechsel an f '(x) an der Stelle des eventuellen Extrempunktes.
      Begründung: Die erste Ableitung muss ein Vorzeichenwechsel haben, da sonst ein Sattelpunkt vorliegt.