Kurvendiskussion

Kriterien für Extremstellen

Definition

Ein Hochpunkt hat den größten y-Wert in seiner Umgebung. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von positiv (+) nach negativ (-) .

Ein Tiefpunkt hat den kleinsten y-Wert in seiner Umgebung. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von negativ (-) nach positiv (+) .

Kriterien

1. notwendige Bedingung: $f'(x)=0$
   Begründung: Die Ableitung(Steigung) am Extrempunkt ist 0
2. hinreichende Bedingung:
   1. schwache Bedingung: $f''(x)\not=0$
      Begründung: Die zweite Ableitung darf nicht 0 sein, da sonst kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt vorliegt.
   2. starke Bedingung: Vorzeichenwechsel an f '(x) an der Stelle des eventuellen Extrempunktes.
      Begründung: Die erste Ableitung muss ein Vorzeichenwechsel haben, da sonst ein Sattelpunkt vorliegt.

vollständige Kurvendiskussion

Definitionsbereich

Mit dem Definitionsbereich, sind alle x-Werte gemeint, meist sind es die reellen Zahlen.
Für den Wertebereich gilt das Gleiche, da y von x abhängig ist.

Symmetrie

• Achsensymmetrie zur y-Achse: $f(-x)=f(x)$
• Punktsymmetrie zum Ursprung: $f(-x)=-f(x)$

Verschiebung

• um c in x-Richtung $y=f(x-c)$
• um d in y-Richtung $y=f(x)+d$

Streckung

• mit Faktor $\frac{1}{b}$ in x-Richtung: $y=f(b*x)$
• mit Faktor a in y-Richtung: $y=a*f(x)$

Schnittstellen mit den Achsen

Man setzt die Funktion mit Null gleich und löst die Gleichung nach x auf. Daraus erhält man die Schnittstellen mit der x-Achse (Nullstellen).
Um die Schnittpunkte mit der y-Achse auszurechnen, setzt man für x in der Funktion Null ein und rechnet die Gleichung aus.

Monotonie

   $f'(x)>0$ => f streng monoton wachsend
   $f'(x)<0$ => f streng monoton fallend

   $f'(x)\ge0$ => f monoton wachsend
   $f'(x)\le0$ => f monoton fallend

Globalverlauf

• Globalverlauf für gerade Exponenten:

    $x\to\infty$ => $y\to\infty$ Gesprochen: Für x gegen unendlich, läuft y gegen unendlich

    $x\to-\infty$ => $y\to\infty$ Gesprochen: Für x gegen minus unendlich, läuft y gegen unendlich

• Globalverlauf für ungerade Exponenten:

    $x\to\infty$ => $y\to\infty$ Gesprochen: Für x gegen unendlich, läuft y gegen unendlich

    $x\to-\infty$ => $y\to-\infty$ Gesprochen: Für x gegen minus unendlich, läuft y gegen minus unendlich

! Anmerkung: Eine negative Basis, bzw. ein negativer Exponent, spiegelt die Kurven an der x-Achse, wodurch auch die Globalverläufe "gespiegelt" werden.