Funktionenscharen

Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt.

30px   Aufgabe Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte? $f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R}$

Funktionenscharen

Berechnung der Extrempunkte:

$\begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 \\ 2x^3&=& 2dx \\ x^3 &=& dx \\ x^2&=& d \\ x&=& \sqrt d \end{matrix}$

-> d kann nicht negativ sein

$\begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix}$

$f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d$

$d < 0 \rightarrow HP$

$d > 0 \rightarrow TP$

Ortskurven

Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:

Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte.

Bestimmen von Ortskurven

Die Koordinaten des Extrempunktes sind E1 $( 0 / 0 )$ E2 $( sqrt d / - 0.5 d^2)$ E3 $( -sqrt d / - 0.5 d^2)$

Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben:

x = $sqrt d$

f $( sqrt d )$ = $0.5 d^2 - d^2$

x - Koordinate nach Parameter auflösen:

d = $x^2$

Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen:

$0.5 x^4 - x^4 = -0.5x^4$

Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte:

y = $-0.5 x^4$