Ableitungsregeln

Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10

Potenzregel

Allgemeine Formel:

$f(x)=x^n$
$f'(x)=n \cdot x^{n-1}$

Beispiel:

$f(x)=x^3+x^2-x$
$f'(x)=3x^2+2x-1$

Summenregel

Allgemeine Formel:

$\begin{align} f(x)&=u(x)+v(x) \\ f'(x)&=u'(x) + v'(x) \end{align}$

Faktorregel

Allgemeine Formel:

$f(x)=ax^n$
$f'(x)=a \cdot n \cdot x^{n-1}$

Beispiel:

$f(x)=2x^3+4x^2+5x$
$f'(x)=6x^2+8x+5$

Neue Ableitungsregeln

Produktregel

Allgemeine Formel:

$f(x)=u(x) \cdot v(x)$

$f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$

Kurzform: $f'=u'v+uv'$


Rechenbeispiel:
$f(x)=(5x^2) \cdot x^{1 \over 2}$
$f'(x)=(10x) \cdot (x^{1 \over 2})+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}$
$f'(x)=10x \cdot sqrt{x}+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}$

Kann man das noch weiter umschreiben? [Btm]

Quotientenregel

$f(x)= {u(x)\over v(x)}$
$f'(x)= {{u'(x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v'(x)} \over (v(x))^2}$

Kurzform:
$f'= {{u' \cdot v- u \cdot v' } \over {v^2}}$

Anwendungsbeispiel:
$f(x)= {{5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2} \over {x^2}}$

$f'= {{(15 \cdot x^2 + 4 \cdot x)\cdot x^2 }-{( 5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2) \cdot 2 \cdot x } \over {x^4}}$

$f'= {{ 5\cdot x^4} \over {x^4}}$

Quotienten lösen mit Hilfe der Produktregel: Trick: Quotienten in ein Produkt umschreiben und dann die Produktregel anwenden

$f(x)= {{5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2} \over {x^2}}$

als Produkt: $f(x)= {{5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2} \cdot {x^-2}}$

$f'= {{(15 \cdot x^2 + 4 \cdot x) \cdot x^-2 + {( 5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2)} \cdot (-2 \cdot x^-3)}}$

$f'= {{x \cdot( 15 \cdot x +4 ) \over x^2} + {5 \cdot x + 2 \cdot (-2) \over x^2 } \cdot {x^2}} = {{15 \cdot x +4 \over x} - { 10 \cdot x - 4 \over x}} = {{ 5 \cdot x \over x }} = {5}$

Kettenregel

Allgemeine Formel der Kettenregel:

$f(x)=u(v(x))$

$f'(x)=u'(v) \cdot v'(x)$

Die Ableitung einer verketteten Funktion ist die Ableitung
der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion.

Beispiel:

$f(x)=(2x-x^2)^3$

äußere Funktion: $u=v^3$
innere Funktion: $v=2x-x^2$

$f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)$

$f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)$