Funktionenscharen

Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt.

30px   Aufgabe Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte? $f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R}$

Funktionenscharen

Berechnung der Extrempunkte:
$\begin{matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix}$

$\begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 \\ 2x^3&=& 2dx \\ x^3 &=& dx \\ x^2&=& d \\ x_1&=& \sqrt d \\ x_2&=& - \sqrt d \end{matrix}$

→ d kann nicht negativ werden

Vorsicht - hier ist ein Fehler. Es gibt drei Lösungen, nicht nur eine! [Btm]

$\begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix}$

$f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d$
$f''(-\sqrt d)= 6 (-\sqrt d) ^2-2d=6d-2d=4d$ $d < 0 \rightarrow HP$

Vorsicht: Kann $d<0$ nun doch gelten? [Btm]

$d > 0 \rightarrow TP$

Ortskurven

Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:

Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte.

Bestimmen von Ortskurven

Die Koordinaten des Extrempunktes sind $E_1 ( 0 | 0 )$, $E_2 ( sqrt d | - 0,5 d^2)$, $E_3 ( -sqrt d | - 0,5 d^2)$

Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben:

$\begin{align} x&=sqrt d \\ y&= f( sqrt d ) = - 0,5 d^2 \end{align}$

x - Koordinate nach Parameter auflösen:

$d= x^2$

Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen:

$y= -0,5x^4$

Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte:

$y= -0,5 x^4$