Funktionenscharen

Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt.

30px   Aufgabe Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte? $f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R}$

Funktionenscharen

Berechnung der Extrempunkte:
$\begin{matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix}$

$\begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 & \\ 2x^3&=& 2dx &\\ x^3 &=& dx & x_1 = 0\\ x^2&=& d &\\ x_2&=& \sqrt d &\\ x_3&=& - \sqrt d & d \not< 0 \end{matrix}$

$\begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix}$

$f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d$
$f''(-\sqrt d)= 6 (-\sqrt d) ^2-2d=6d-2d=4d$
$4d > 0 \rightarrow TP$ für beide Extrempunkte
für $d = 0$ liegt kein Tiefpunkt vor!

$f''( 0) = -2d$
$-2d < 0 \rightarrow HP$ , für $d = 0$ liegt kein Hochpunkt vor!

Ortskurven

Allgemeine Herleitung einer Ortskurve

Hoch- bzw Tiefpunkt bestimmen

 -> Die 1. Ableitung 0 setzen
 -> Ergebnis in die 2. Ableitung einsetzen
 -> Ergebnis größer 0 -> Tiefpunkt;
    Ergebnis kleiner 0 -> Hochpunkt

Ortskurve bestimmen

 -> x-Koordinate in die Funktion einsetzen
 -> Ergebnis bildet die y-Koordinate
 -> x-Koordinate nach t auflösen
 -> t Auflösung in y einsetzen
 -> Lösung = Ortskurvenfunktion

Probe mit Hilfe des GTRs

 -> In "Y=" für y1,2,3 für t in der Funktion beliebige Zahlen einsetzen (z.B. 1,2 und 3)
 -> Ortskurvenfunktion in y4 einsetzen
 -> Im "Graph" überprüfen, ob die Ortskurve alle Funktionen an derselben Stelle durchläuft

Beispiel

$f_t(x)=x^2+tx$
$f'_t(x)=2x+t$
$f''_t(x)=2$

Hoch- bzw Tiefpunkt bestimmen:
$f'_t(x)= 2x+t=0$
$2x=t$
$x=-{t \over2}$

Kurvenverhalten:
$f''_t(x)=2$
größer als 0 -> Tiefpunkt

Ortskurve bestimmen:
$f_t \left({t \over2}\right)=\left(-{t \over2}\right)^2+t\cdot\left(-{t \over2}\right)$
$=\left(-{t \over2}\right)\cdot\left({t \over2}\right)+t\cdot\left({t \over2}\right)$
$={t^2 \over4}-{t^2 \over2}$
$-{t^2 \over4}$

$TP \left(-{t \over2} ; -{t^2 \over4}\right)$

x-Koordinate nach t auflösen:
$x=-{t \over2}$
$t=-2x$

t Auflösung in y einsetzen:
$y=-{t^2 \over4}$
$y=-{(-2x)^2 \over4}$
$=-{(-2x)\cdot(-2x) \over4}$
$=-{4x^2 \over4}$
$=-x^2$ --> Ortskurvenfunktion

Probe mit Hilfe des GTRs!

Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:

Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte.

Bestimmen von Ortskurven

Die Koordinaten des Extrempunktes sind $E_1 ( 0 | 0 )$, $E_2 ( \sqrt d | - 0,5 d^2)$, $E_3 ( -\sqrt d | - 0,5 d^2)$

Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben:

$\begin{align} x&=\sqrt d \\ y&= f( \sqrt d ) = - 0,5 d^2 \end{align}$

x - Koordinate nach Parameter auflösen:

$d= x^2$

Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen:

$y= -0,5x^4$

Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte:

$y= -0,5 x^4$