Extremwertprobleme
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Extremwertprobleme
Extremwertprobleme sind Aufgaben, bei denen etwas (zum Beispiel eine Fläche) unter bestimmten Bedingungen minimiert oder maximiert werden soll, also den größten oder kleinsten Wert gefunden werden soll, bei dem dennoch alle Nebenbedingungen zutreffen.
Beispielaufgabe
Tim will einen möglichst großen, aber rechteckigen Hasenstall bauen. Dazu will er im Baumarkt eine Umzäunung der Länge 2m kaufen. Wie muss er den Stall aufbauen?
Anhand dieser Beispielaufgabe wird im Folgenden die Lösung von Extremwertproblemen behandelt.
Schritt 1
Zielfunktion finden und aufstellen.
Die Zielfunktion ist der mathematische Term, der das beschreibt, was man letztlich minimieren/maximieren will.
Um einen möglichst großen Stall zu erhalten, muss die Fläche A so groß wie möglich sein, also: A = a * b a ist dabei die eine Seite des Rechtecks, b die andere Seite.
Schritt 2
Alle weiteren Informationen herausarbeiten und in Nebenbedingungen formulieren.
Nebenbedingungen sind die Bedingungen, die in jedem Fall gelten müssen. Dazu gehören auch Wertebereiche, die zwar nicht unbedingt aufgeschrieben, aber trotzdem im
Hinterkopf behalten und später überprüft werden müssen.
In diesem Beispiel: da die gesamte Umzäunung 2m Länge hat, entspricht dies dem Umfang:
U = 2 = a + a + b + b = 2 * (a + b)
2 = 2 * (a + b)
Außerdem sollte klar sein, dass weder a noch b negativ oder 0 sein können, aber auch nicht länger als 2m sind: 0 < a < 2 und 0 < b < 2
Schritt 3
Umformen und Einsetzen.
2 = 2 * (a + b)
1 = a + b
a = 1 – b
Einsetzen in A: A = (1 – b) * b = b – b²
Da die Fläche A ist nun nur noch abhängig von b. Man kann also auch schreiben: A(b) = b – b²
Schritt 4
Gesuchtes Extremum finden.
Da in der Aufgabe nach einer möglichst großen Fläche gefragt ist, wird als das Maximum bestimmt.
A(b) = b – b²
Maximum mit der Ableitung A'(b) herausfinden.
-> Maximum bei b = 0.5
Schritt 5
Weitere Nebenbedingungen überprüfen, zweite Größe berechnen und Aufgabe sinnvoll beantworten.
2 = 2 * (a + b)
2 = 2 * (a + 0.5) |/2
1 = a + 0.5 |-0.5
0.5 = a
Sowohl a und b entsprechen dem Wertebereich von 0 < a < 2 und 0 < b < 2.
Somit muss der Hasenstall muss eine Breite von 0.5m und eine Länge von 0.5m haben.
Aufgaben mit Lösungen
Eine Getränkefirma will eine neue Getränkedose designen. Sie will dafür pro Dose 0.3 m² Blech benutzen. Der Einfachheit halber wird angenommen, die Dose sei ein Zylinder. Wie muss die Dose gebaut sein, dass möglichst viel Inhalt hineinpasst?
