Binomialverteilung
Inhaltsverzeichnis |
Binomialverteilung
Ein Zufallsexperiment, bei dem es genau zwei mögliche Ergebnisse gibt, wird Bernoulli-Experiment genannt.
Eine Bernoulli-Kette liegt vor, wenn ein Bernoulli-Experiment n-mal unabhängig voneinander durchgeführt wird.
Lässt sich X als eine Größe beschreiben, die die Trefferanzahl bei einem Bernoulli-Experiment mit der Länge n und der Wahrscheinlichkeit p angibt, so liegt eine Binomialverteilung vor. Anhand der Formel von Bernoulli kann man die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer berechnen:
Kumulierte Binomialverteilung:
Wenn wir die Wahrscheinlichkeit benötigen, dass es mindestens oder höchstens k-Treffer geben soll, benutzt man die kumulierte Binomialverteilung.
Allgemein gilt:
| Aufgabe 1 a.) |
|---|
| Auf einer bestimmten Strecke verwendet eine Fluggesellschaft Flugzeuge mit 100 Plätzen. Die Belegungsstatistik weist aus, dass die Flüge auf dieser Strecke vorab stets ausgebucht sind. Allerdings werden dann im Mittel 10% der gebuchten Plätze kurzfristig storniert. Für die Fluggesellschaft ist die Anzahl der Passagiere von Interesse, die bei Schließung der Passagierliste den Flug tatsächlich antreten wollen. • Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau 84 Plätze genutzt werden. |
| Aufgabe 1 b.) |
|---|
|
• Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 90 Plätze tatsächlich genutzt werden. |
Zufallsvariable
Die Zufallsvariable ist eine zufällige Größe, die das Ergebnis eines Zufallsexperiments beschreibt.
Abgekürzt wird die Zufallsvariable mit X.
Erwartungswert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
Der Erwartungswert gibt Auskunft über den durchschnittlichen Wert, die die Zufallsvariable in einem Wahrscheinlichkeitsexperiment bei mehrfacher Durchführung annimmt, d.h. welches Ergebnis im Schnitt zu erwarten ist.
Der Erwartungswert (tatsächlicher Wert der Messung/des Ergebnisses), lässt sich wie folgt berechnen:
Eine einfachere und kürzere Möglichkeit, den Erwartungswert zu berechnen, ist folgende Formel:
n= Anzahl Durchführungen, p= Wahrscheinlichkeit
| Aufgabe |
|---|
|
In einem Zeitungsartikel wurde eine Statistik über die Anzahl von Fehlern in Zeitungsartikeln erstellt. Danach sind auf 17% der Seiten keine Druckfehler, auf 30% der Seiten ist ein Druckfehler, auf 27% der Seiten sind zwei, auf 16% der Seiten drei und auf dem Rest mindestens vier Druckfehler. • Wie viele Druckfehler sind durchschnittlich mindestens auf einer Zeitungsseite zu erwarten? |
Standardabweichung von X
Die Standardabweichung einer Zufallsvariable X gibt an, wie groß die Abweichung vom Erwartungswert μ oder E(X) ist. Sie kann keine negativen Werte annehmen, sondern entweder Null oder einen positiven Wert.
Formel zur Berechnung der Standardabweichung:
| Aufgabe |
|---|
|
Ein Bernoulli-Experiment, das 7mal durchgeführt wird, erzielt mit der Wahrscheinlichkeit p=0,6 einen Treffer. X gibt die Zufallsvariable an, die die Anzahl der Treffer beschreibt. |
Problemlösen mit der Binomialverteilung
Anhand von konkreten Beispielen soll das Prinzip näher erläutert werden.
1. Fall: Parameter n ist gesucht
Etwa 9% der männlichen Bevölkerung in Deutschland hat eine Rot-Grün-Schwäche.
Bestimmen Sie, wie groß eine Gruppe von zufällig ausgewählten Männern mind. sein muss, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 85% mindestens
1. Einer eine Rot-Grün-Schwäche hat:
Einsetzen in Bernoulli-Formel:
Es gilt: 
Da auch 
ebenfalls 1 ergibt, bleibt übrig:
Antwort: Es müssen mindestens 20 Männer ausgewählt werden.
2. Mindestens fünf eine Rot-Grün-Schwäche haben:
