Beschränktes Wachstum

Beim beschränkten Wachstum nähert sich der Graph einer Schranke an, ohne diese zu berühren oder zu schneiden. Dabei kann sich der Graph sowohl von unten (positives Wachstum) als auch von oben (negatives Wachstum) an die Schranke annähren.

Funktionsgleichun

Funktionsterm

${f(x)=S-a \cdot e^{-k \cdot x}}$

${S}$ steht für die Schranke die nicht überschritten werden kann.
${a}$ steht für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt ${x=0}$ . Zudem bestimmt das Vorzeichen vor dem ${a}$, ob das Wachstum nach oben oder nach unten begrenzt ist.
${k}$ steht für die Wachstumskonstante.

Differenzialgleichung

Als Differenzialgleichung geschrieben lautet der Funktionsterm des beschränkten Wachstums
${f'(x)=k \cdot (S-f(x))}$.

Erklärung:
Die Differenzialgleichung ausgeschrieben lautet:
${f'(x)=k \cdot (S-(S-a \cdot e^{-k \cdot x}))}$
Vereinfacht:
${f'(x)=k \cdot a \cdot e^{-k \cdot x}}$