Beschränktes Wachstum

Beim beschränkten Wachstum nähert sich der Graph einer Schranke an, ohne diese zu berühren oder zu schneiden. Dabei kann sich der Graph sowohl von unten (positives Wachstum) als auch von oben (negatives Wachstum) an die Schranke annähren.

Funktionsgleichung

Funktionsterm

${f(x)=S-a \cdot e^{-k \cdot x}}$

${S}$ steht für die Schranke die nicht überschritten werden kann.
${k}$ steht für die Wachstumskonstante.
${a}$ steht für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt ${x=0}$ . Zudem bestimmt das Vorzeichen vor dem ${a}$, ob das Wachstum nach oben oder nach unten begrenzt ist.

Differenzialgleichung

Als Differenzialgleichung geschrieben lautet der Funktionsterm des beschränkten Wachstums
${f'(x)=k \cdot (S-f(x))}$.

Erklärung:
Die Ableitund des Funktionsterms lautet:
${f'(x)=k \cdot a \cdot e^{-k \cdot x}}$
Um daraus eine Differenzialgleichung zu machen, muss neben ${f'(x)}$ auch ${f(x)}$ in der Funktion enthalten sein. Dafür muss diese zuerst umgeformt werden:
${f'(x)=k(a \cdot e^{-k \cdot x})}$
Jetzt fehlt nur noch die Schranke ${S}$:
${f'(x)=k(S-({\color{red}S-a \cdot e^{-k \cdot x}}))}$
Der markierte Teil ist identisch mit ${f(x)}$ und kann daher ersetzt werden:
${f'(x)=k(S-{\color{red}f(x)})}$

Beispiel

Nach dem Einpflanzen wächst ein Baum recht schnell, jedoch wächst er langsamer je größer er wird, sodass sich seine Höhe einer natürlichen Grenze annähert. Diese Höhe (in Metern) kann mit der Funktion
${15-15 \cdot e^{-0,5 \cdot x}}$
(x in Jahren) beschrieben werden.