Beschränktes Wachstum

Beim beschränkten Wachstum nähert sich der Graph einer Schranke an, ohne diese zu berühren oder zu schneiden. Dabei kann sich der Graph sowohl von unten (positives Wachstum) als auch von oben (negatives Wachstum) an die Schranke annähren.
Wie das exponentielle Wachstum kann auch das beschränkte Wachstum mit und ohne ${e}$ gebildet werden.

Funktionsterm ohne e

Der allgemeine Funktionsterm des beschränkten Wachstums ohne ${e}$ lautet:
${f(x)=S-a \cdot b{-x}}$
${S}$ steht für die Schranke, der sich der Graph annähert, die aber nicht überschritten werden kann.
${a}$ ergibt addiert (nachunten begrenzt) beziehungsweise subtrahiert (nach oben begrenzt) mit ${S}$ den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt ${x=0}$ . Zudem bestimmt das Vorzeichen vor dem ${a}$, ob das Wachstum nach oben oder nach unten begrenzt ist.
${b}$ ist der Wachstums- eziehungsweise Zerfallsfaktor um den der Bestand in einem bestimmten Zeitraum multipliziert wird.

Beispiel

Ein Heißgetränk hat eine Temperatur von 50 °C und kühlt auf die Umgebungstemperatur von 20 °C ab

Funktionsterm mit e

${f(x)=S-a \cdot e^{-k \cdot x}}$

${S}$ steht für die Schranke, der sich der Graph annähert, die aber nicht überschritten werden kann.
${k}$ steht für die Wachstumskonstante.
${a}$ steht für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt ${x=0}$ . Zudem bestimmt das Vorzeichen vor dem ${a}$, ob das Wachstum nach oben oder nach unten begrenzt ist.

Differenzialgleichung

Als Differenzialgleichung geschrieben lautet der Funktionsterm des beschränkten Wachstums
${f'(x)=k \cdot (S-f(x))}$.

Erklärung:
Die Ableitund des Funktionsterms lautet:
${f'(x)=k \cdot a \cdot e^{-k \cdot x}}$
Um daraus eine Differenzialgleichung zu machen, muss neben ${f'(x)}$ auch ${f(x)}$ in der Funktion enthalten sein. Dafür muss diese zuerst umgeformt werden:
${f'(x)=k(a \cdot e^{-k \cdot x})}$
Jetzt fehlt nur noch die Schranke ${S}$:
${f'(x)=k(S-({\color{red}S-a \cdot e^{-k \cdot x}}))}$
Der markierte Teil ist identisch mit ${f(x)}$ und kann daher ersetzt werden:
${f'(x)=k(S-{\color{red}f(x)})}$

Beispiel

Nach dem Einpflanzen wächst ein Baum recht schnell, jedoch wächst er langsamer je größer er wird, sodass sich seine Höhe einer natürlichen Grenze annähert. Diese Höhe (in Metern) kann mit der Funktion
${15-15 \cdot e^{-0,5 \cdot x}}$
(x in Jahren) beschrieben werden.

Aufgaben

30px   Aufgabe Bei Beobachtungsbeginn bedeckt eine Algenart 5 Quadratkilometer des Grundes eines Sees. Die Algen breiten sich innerhalb des 90 Quadratmeter großen Sees aus. Die von den Algen bedeckte Fläche kann mit der Funktion ${90-85 \cdot e^{-0,1 \cdot x}}$ (x in Monaten) beschrieben werden. 1) Geben Sie den Funktionsterm als Differenzialsgleichung an! Lösung anzeigen Lösung verstecken ${f'(x)=0,1(90-f(x))}$ 2) Welche Fläche bedecken die Algen nach zweieinhalb Jahren? Lösung anzeigen Lösung verstecken ${f(30)=90-85 \cdot e^{-0,1 \cdot 30}}$ ${f(30) \approx 85,77}$ Nach zweieinhalb Jahren haben die Algen ungefähr 85,77 Quadratmeter des Seegrundes bedeckt. 3) Wann bedecken die Algen eine Fläche von 75 Quadratkilometern? Lösung anzeigen Lösung verstecken $\begin{align} 75 &=90-85 \cdot e^{-0,1 \cdot x}|-90 \\ -15 &=-85 \cdot e^{-01 \cdot x}|:-85 \\ \tfrac{15}{85} &=e^{-0,1 \cdot x}|ln \\ ln(\tfrac{15}{85}) &=-0,1 \cdot x| \cdot -10 \\ -10 \cdot ln(\tfrac{15}{85}) &=x \\ 17,35 & \approx x \end{align}$ Nach ungefähr 17,35 Monaten bedecken die Algen 75 Quadratkilometer des Seegrundes.