Rotationskörper

Rotationskörper

Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen.
Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche.
Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen.

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Rotationskörper der Funktion $\sqrt{x}$ an der x- und der y-Achse.

Wozu braucht man Rotationskörper

Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen.

Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse

Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion $f$ im Intervall $[a;b]$. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite $h$ an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral $\int_{a}^{b}f(x)dx$.
Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite $h$ verwendet man Zylinder mit Höhe $h$.
Für das Volumen eines Zylinders gilt: $V = \pi r^2 \cdot h$. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle $x_{i}$ : $V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h$.
Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt:

$V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx$.

Rotationskörper um die x - Achse

Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse

Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion $f(x)=1$ von 0 bis 5
Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel
$v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx$ bestimmen.
Als Beispiel soll hier die Funktion $f(x)=1$ verwendet werden (siehe Abbildung).

Beispielrechnung

$V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx$

$V = \pi \int_{0}^{5}1dx$

$V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}$

$V = 5 \pi$

$V \approx 15,708$

Rotationskörper um die y - Achse

Rotationskörper der Funktion f(x)=x² um die y-Achse

Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel
$V=\pi\int_{a}^{b}(g(y))^2dy$ bestimmen
Hier wird die Funktion um die y-Achse rotiert. Dabei fällt auf, dass für die Berechnung des Flächeninhaltes die Funktion $g(y)$ benötigt wird
während meist eine Funktion der Form f(x) bzw. g(x) vorliegt. Um nun die benötigte Funktion zu erhalten, muss die Umkehrfunktion
der gegebenen Funktion gebildet werden. Hierzu wird diese nach $x$ aufgelöst.

Beispielrechnung

Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion $g(x)=x^2$ im Intervall von 0 bis 5.
Hierbei wird die gegebene Funktion um die y-Achse rotiert.

Bildung der Umkehrfunktion

$g(x)=y=x^2$

$g(y)=x=\sqrt{y}$

Berechnung des Flächeninhalts

$V=\pi \int_{0}^{25}(\sqrt{y})^2dy$

$V=\pi \int_{0}^{25}(y)dy$

$V=\pi \Bigg[\frac{1}{2}y^2\Bigg]_{0}^{25}$

$V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)$

$V \approx 981,75$

Alternative

Möchte man sich das Bilden der Umkehrfunktion ersparen kann das Integral durch Substitution im die Form
$V_y = \pi \int_{f-1(x_1)}^{f-1(x_2)} x^2 * f^'(x)dx$
gebracht werden. Hier wird lediglich die Ableitung der Funktion $f$ benötigt, wodurch das Integral
deutlich einfacher zu lösen ist.

Beispielrechnung

$V=\pi \int_{0}^{5} (x^2 2x) dx$

$V=\pi \Bigg[\frac{x^4}{2}\Bigg]_{0}^{5}$

$V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)$

$V \approx 981,75$

Interaktive Volumensberechnung mit Rotationskörpern

In folgender Anwendung kann nach der Eingabe einer Funktion sowie der oberen und unteren Grenze, das Volumen sowohl bei der Rotation um die X- als auch um die Y- Achse bestimmt werden. [ www.geogebra.org is not an authorized iframe site ]