Rotationskörper

Rotationskörper

Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen.
Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche.
Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen.

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Rotationskörper der Funktion $\sqrt{x}$ an der x- und der y-Achse.

Wozu braucht man Rotationskörper

Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen.

Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse

Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion $f$ im Intervall $[a;b]$. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite $h$ an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral $\int_{a}^{b}f(x)dx$.
Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite $h$ verwendet man Zylinder mit Höhe $h$.
Für das Volumen eines Zylinders gilt: $V = \pi r^2 \cdot h$. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle $x_{i}$ : $V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h$.
Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt:

$V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx$.

Rotationskörper um die x - Achse

Rotationskörper der Funktion f(x) = 1

Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion $f(x)=1$ von 0 bis 5
Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel
$v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx$ bestimmen.
Als Beispiel soll hier die Funktion $f(x)=1$ verwendet werden (siehe Abbildung).

Beispielrechnung

$V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx$

$V = \pi \int_{0}^{5}1dx$

$V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}$

$V = 5 \pi$

$V \approx 15,708$

Rotationskörper um die y - Achse

Rotationskörper von der y-Achse zu der x-Achse

Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel
$V=\pi\int_{a}^{b}(g(y))^2dy$ bestimmen
Hier wird die Funktion um die y-Achse rotiert. Um das Volumen eines solchen Rotationskörpers zu bestimmen, wird dieser mithilfe der Umkehrfunktion so "gedreht", dass dieser um die x-Achse rotiert, dann kann das Volumen wie zuvor bei der
Rotation um die x-Achse beschrieben berechnet werden

Beispielrechnung

Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion $g(x)=x^2$ im Intervall von 0 bis 5.
Hierbei wird die gegebene Funktion um die y-Achse rotiert.

Bildung der Umkehrfunktion

$g(x)=y=x^2$

$g(y)=x=\sqrt{y}$

Berechnung des Volumens

$V=\pi \int_{0}^{25}(\sqrt{y})^2dy$

$V=\pi \int_{0}^{25}(y)dy$

$V=\pi \Bigg[\frac{1}{2}y^2\Bigg]_{0}^{25}$

$V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)$

$V \approx 981,75$

Interaktive Volumensberechnung mit Rotationskörpern

In folgender Anwendung kann nach der Eingabe einer Funktion sowie der oberen und unteren Grenze, das Volumen sowohl bei der Rotation um die X- als auch um die Y- Achse bestimmt werden. [ www.geogebra.org is not an authorized iframe site ]