Beschränktes Wachstum

Beim beschränkten Wachstum ist die Änderungsrate proportional zum Sättigungsmanko.

Der Graph der Funktion eines beschränkten Wachstums nähert sich einer Schranke an. Der Abstand zwischen Graph und Schranke wird Sättigungsmanko genannt.
Ist das Wachstum nach oben beschränkt, so nähert sich der Graph von unten an die Schranke an. Die Steigung des Graphen ist dabei positiv und wird umso geringer, je weiter sich der Graph der Schranke annähert.
Ist das Wachstum nach unten beschränkt, so nähert sich der Graph von oben an die Schranke an. Die Steigung des Graphen ist dabei negativ und wird umso größer, je weiter sich der Graph der Schranke annähert.

Funktionsterm

${f(x)=S-a \cdot e^{-k \cdot x}}$

${S}$ steht für die Schranke, der sich der Graph annähert, die aber nicht überschritten werden kann.
${k}$ steht für die Wachstumskonstante.
${S-a}$ ergeben den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt ${x=0}$ . Zudem bestimmt das Vorzeichen vor dem ${a}$, ob das Wachstum nach oben oder nach unten begrenzt ist.

a berechnen

Um den Anfangsbestand zu berechnen, muss der restliche Funktionsterm auf ${a}$ umgeformt werden.
$\begin{align} y &= S-a \cdot e^{-k \cdot x} \quad |-S \\ y-S &= -a \cdot e^{-k \cdot x} \quad | \div e^{-k \cdot S} \\ \frac{y-S}{e^{-k \cdot x}} &= -a \quad | \cdot -1 \\ -\frac{y-S}{e^{-k \cdot x}} &= a \\ -(y-S) \cdot e^{k \cdot x} &= a \end{align}$

Beispiel

Gegeben ist die Gleichung
${49,5=50-a \cdot e^{-0,75 \cdot 6}}$

Um den Anfangsbestand zu berechnen müssen die Werte in die umgeformte Gleichung eingesetzt werden.
$\begin{align} a &=-(49,5-50) \cdot e^{0,75 \cdot 6} \\ a & \approx 45 \end{align}$

$\begin{align} S-a &=y_0 \\ 50-45 &=5 \end{align}$
Der Anfangsbestand ist also 5.

30px   Aufgabe Gegeben ist die Gleichung ${52,15 = 60-a \cdot e^{-0,4 \cdot 5}}$ Berechnen Sie ${a}$ Lösung anzeigen Lösung verstecken $\begin{align} a &= -(52,15-60) \cdot e^{0,4 \cdot 5} \\ a & \approx 58 \end{align}$

Wachstumsgeschwindigkeit berechnen

Um die Wachstumsgeschwindigkeit zu berechnen, muss die Ableitung gebildet werden.
$\begin{align} f(x) &= S-a \cdot e^{-k \cdot x} \\ f'(x) &= k(S-(S-a \cdot e^{-k \cdot x})) \\ f'(X) &= k \cdot a \cdot e^{-k \cdot x} \end{align}$

Beispiel

Gegeben ist die Funktionsgleichung
${f(x)=100-99 \cdot e^{-1,2 \cdot x}}$
Also lautet die Ableitungsfunktion
${f'(x)= 1,2 \cdot 99 \cdot e^{-1,2 \cdot x}}$
Damit lässt sich die Wachststumsgeschwindigkeit der Ausgangsgleichung an jeder beliebigen Stelle berechnen.

30px   Aufgabe Gegeben ist die Funktionsgleichung ${f(x)= 122-117 \cdot e^{-0,15 \cdot x}}$ Geben Sie die Wachstumsgeschwindigkeit an der Stelle ${x=9}$ an! Lösung anzeigen Lösung verstecken $\begin{align} f'(x) &=0,15 \cdot 117 \cdot e^{-0,15 \cdot x} \\ f'(9) &=0,15 \cdot 117 \cdot e^{-0,15 \cdot 9} \\ f'(9) & \approx 4,55 \end{align}$

Übungsaufgabe

Auf dem Grund eines Sees mit einer Fläche von 100 km² breitet sich eine neue Algenart aus. Sie ist auf die Fläche des Sees begrenzt. Ihr Wachstum kann mit der Funktion
${100-a \cdot e^{-0,15 \cdot x}}$
beschrieben werden.
a)Berechnen Sie den Anfangsbestand, wenn die Algenart nach 16 Jahren 91,2 km² des Sees bedeckt!
b)Wie hoch ist die Wachstumsgeschwindigkeit am Ende des 5. Jahres?

Lösung a) anzeigen

Lösung a) verstecken

$\begin{align} a &=-(y-S) \cdot e^{k \cdot x} \\ a &=-(91,2-100) \cdot e^{0,15 \cdot 16} \\ a & \approx 97 \end{align}$


$\begin{align} S-a &= y_0 \\ 100-97 &= 3 \end{align}$

Der Anfangsbestand ist ungefähr 3.

Lösung b) anzeigen

Lösung b) verstecken

$\begin{align} f'(x) &= 0,15 \cdot 97 \cdot e^{-0,15 \cdot x} \\ f'(5) &= 0,15 \cdot 97 \cdot e^{-0,15 \cdot 5} \\ f'(5) & \approx 6,873 \end{align}$

Am Ende des 5. Jahres beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit ungefähr 6,873 km²/Jahr.