Punkte, Vektoren und Geraden

Ein Koordinatensystem eines dreidimensionalen Vektorraumes zeichnen wir, indem wir die x₁-Achse 45° geneigt und ${1 \over 2} \sqrt{2}$ verkürzt zeichnen. Das heißt, dass (üblicherweise) auf den x₂- und x₃-Achsen 2 Kästchen eine Längeneinheit darstellen, während auf der x₁-Achse eine Längeneinheit ein Kästchen diagonal repräsentiert.

Punkte im Raum

Punkte im dreidimensionalen Vektorraum haben drei Koordinaten. Diese werden waagerecht geschrieben. Vektoren dagegen werden, mit = getrennt, senkrecht geschrieben. Ein Ortsvektor ist dabei ein Vektor, der die Verschiebung vom Ursprung zum entsprechenden Punkt beschreibt.

Im Arbeitsblatt kann dies nachvollzogen werden. Durch Veränderung der Koordinaten des Punktes P (mithilfe der Schieberegler) ändert sich auch der Ortsvektor $\vec{p}$ des Punktes.

Vektoren im Raum

Ein Vektor stellt eine Verschiebung eines Punktes im Raum dar. Der Pfeil repräsentiert dabei den Vektor, wobei jeder Vektor durch unendlich viele Pfeile repräsentiert werden kann; abhängig davon, wo die Verschiebung beginnt.

Im Arbeitsblatt stellt der Vektor $\vec{PQ}$ eine Verschiebung vom Punkt P zum Punkt Q dar. Mit den Schiebereglern können wieder die Koordinaten der Punkte P und Q verändert werden.

Geraden im Raum

Geraden werden mithilfe einer Parametergleichung beschrieben. Das Arbeitsblatt zeigt alle dazu nötigen Elemente:

• ein Punkt P der Gerade; der Ortsvektor zu diesem Punkt ist der Stützvektor $\vec p$ der Gerade

• ein Vektor, der die Richtung der Gerade, von P ausgehend, beschreibt; dieser Vektor ist der Richtungsvektor $\vec u$ der Gerade

Im Arbeitsblatt können die Koordinaten von P und $\vec u$ mit den Schiebereglern verändert werden.

Alle Punkte X zusammen bilden die Gerade. Der Vektor $\vec x$ ist der Ortsvektor zu jedem Punkt X der Gerade. Der Parameter t ist nötig, um jeden Punkt der Gerade beschreiben zu können.