Tangentenprobleme

Tangente - Definition und Tangentengleichung

Definition

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Gegeben ist ein Punkt $P(x_P|f(x_P))$ auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit $f'(x_P)$ als Steigung.

Allgemeine Tangentengleichungen:

$y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)$
$P(x|y)$ ist der Punkt der Tangente.

Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt

30px   Aufgabe Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion $f(x)={1 \over 9} x^3 -x$ an der Stelle $x_0=3$ angelegt werden kann.

Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt

30px   Aufgabe Gegeben ist die Funktion f mit $f(x)=2x^2-18x+9$. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung $-2$ an, die an das Schaubild von f gelegt werden können.

Tangente an Schaubild, Berührpunkt unbekannt

30px   Aufgabe Vom Punkt $P(0|5)$ aus werden Tangenten an das Schaubild von $f(x)={1 \over 8}x^3 - {3 \over 4}x^2 +4$ gelegt. Bestimme die Gleichungen dieser Tangenten und die Koordinaten der Berührpunkte.