Tangentenprobleme

Tangente - Definition und Tangentengleichung

Definition

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Gegeben ist ein Punkt $P(x_P|f(x_P))$ auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit $f'(x_P)$ als Steigung.

Allgemeine Tangentengleichungen:

$y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)$

P(x|y) ist der Punkt der Tangente.

Beispiel:
Gegeben ist eine Funktion F und ein Punkt P, der nicht zu f gehört.
Finde die Tangente von P an f, ohne den Berührpunkt zu kennen.
$f(x)=\frac{-x^2}{4}(x-6)$ P(6|0)
allgemeine Tangentengleichung:
$y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)$
$P(x|y) P(6|0)$ ---> Punkte der Tangente
$P_0(x_0|y_0)$= unbekannter Berühpunkt der Tangente
$0=\frac{-2x}{4}(x-6)-\frac{x_0^2}{4}*1*(6-x_0)+(-\frac{x_0^2}{4} (x_0-6))$
Gleichung in GTR eingeben:
Berührpunkte:
$x_1=0$
$x_2=0$
Einsetzt x_2 in die allgemeine Tangentengleichung:
---> $y=(-\frac{2*0}{4}(0-6)-\frac{0^2}{4}*1*(x-0)+0)$
Tangentengleichung: $y=0*x+0$
Das Ergebnis für x=6: y=0

Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt

30px   Aufgabe Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion $f(x)={1 \over 9} x^3 -x$ an der Stelle $x_0=3$ angelegt werden kann.

Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt

30px   Aufgabe Gegeben ist die Funktion f mit $f(x)=2x^2-18x+9$. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung $-2$ an, die an das Schaubild von f gelegt werden können.

Tangente an Schaubild, Berührpunkt unbekannt

30px   Aufgabe Vom Punkt $P(0|5)$ aus werden Tangenten an das Schaubild von $f(x)={1 \over 8}x^3 - {3 \over 4}x^2 +4$ gelegt. Bestimme die Gleichungen dieser Tangenten und die Koordinaten der Berührpunkte.