Die Stammfunktion

Definition der Stammfunktion

Die Funktion $F(x)$ der Ausgangsfunktion $f(x)$ heißt Stammfunktion. $F(x)$ ist die differenzierbare Funktion der reellen Funktion $f(x)$ im Intervall $\left[a;b\right]$, sodass gilt:
$F'(x)$$=$$f(x)$
Jede Funktion $f(x)$ hat unendlich viele Stammfunktionen.
Auf die Stammfunktion kommt man, indem man die Ausgangsfunktion integriert, also:
$F(x)$$=$$\int_{a}^{b} f (x)\,dx$

Stammfunktionen zu einfachen Funktionen

$f(x)$	$F(x)$
$0$	$c$
$1$	$x+c$
$x$	${1 \over2}x^2+c$
$x^2$	${1 \over3}x^3+c$
$\sqrt{x}$$=$$x^{1 \over2}$	${2 \over3}x^{3 \over2}+c$
$\sin (x)$	$-\cos (x)+c$
$\cos (x)$	$\sin (x)+c$

Integrationsregeln zum Berechnen der Stammfunktion

Um an die Stammfunktion zu kommen muss man die Funktion $f(x)$ integrieren. Dabei muss man bestimmte Regeln beachten von denen die meisten den bereits bekannten Ableitungsregeln sehr ähnlich sind.

Potenzregel

Möchte man eine Potenzfunktion wie zum Beispiel $f(x)$$=$$x^2$ integrieren um an die Stammfunktion zu kommen, so gilt:
$F(x)$$=$$\int_{a}^{b} x^n\,dx$$=$${1 \over{n+1}}x^{n+1}+c$

Beispiel: $f(x)=x^2$

$F(x)=\int_{a}^{b} x^2\,dx ={1 \over{2+1}}x^{2+1}+C$$=$${1 \over3}x^3+c$

Summenregel

Möchte man eine Summe von zwei Funktionen integrieren so gilt die selbe Regel, wie beim Ableiten:
Summenregel beim Ableiten:
$f(x)=u(x)+v(x)$
$f'(x)=u'(x) + v'(x)$
Genau wie beim Ableiten werden beim Integrieren die Summanden einzeln integriert und dann stehen gelassen oder vereinfacht.
$f(x)=u(x)+v(x)$

$F(x)=\int_{a}^{b} u (x)\,dx +\int_{a}^{b} v (x)\,dx$