Die Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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(5. Wie erhält man die Integralfunktion?)
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! f(x) (Funktion) !! F(x) (Stammfunktion)
 
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| || <math>\frac{x^3}{3}</math> = <math>\frac{1}{3}x^3</math>
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| <math>x^3</math>|| <math>\frac{x^4}{4}</math> = <math>\frac{1}{4}x^4</math>
 
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| <math>7x^4</math> || <math>\frac{7x^5}{5}</math> = <math>\frac{7}{5}x^5</math>
 
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| Beispiel || Beispiel
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| <math>e^x</math> || <math>e^x</math>
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| <math>e^7x</math> || <math>\frac{e^7x}{7}</math>
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| <math>\frac{1}{x^3}</math> = <math>x^{-3}</math> || <math>\frac{x^{-2}}{-2}</math> = <math>\frac{-1}{2x^2}</math>
 
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Version vom 15. Juli 2018, 18:44 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1. Was ist eine Integralfunktion?

Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.
Die Integralfunktion sieht so aus: {I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx
f(x) ist der Integrand und steht für die zu integrierende Gleichung.
a ist die untere
x die obere Integrationsgrenze (Grenze des Intervalls)
dx ist die Integrationsvariable

2. Wozu benötigt man die Integralfunktion/-rechnung?

1) Die Integralrechnung ermöglicht die Berechnung des Integrals von Flächen deren Begrenzungslinien Funktionen sind.
2) Berechnung von Bestand bei bekannter Änderungsrate.

3. Was ist der Unterschied zwischen Integral und Integralfunktion - Stammfunktion?

Der Unterschied zwischen einer Integralfunktion und einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion,
wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, bei der immer die obere Grenze eine Variable ist. Diese unbestimmte Grenze "x" wird in die Funktion eingesetzt und integriert.
Im Gegensatz zur Integralfunktion hat das bestimmte Integral zwei feste Grenzen "a" und "b".

{I_a}(x)= \int_a^b f(x)dx

Die Integralfunktion ist genau die Stammfunktion, die F(a)=0 erfüllt.

Das Integral ist nur ein Zahlenwert. Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen der Funktion  f und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt.
Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen.
Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:
f(x)= x^2

\int_a^x f(x)dx

\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt


4. Wichtige Zusammnehänge zwischen f(x) f'(x) und F(x)

- f(x) ist eine gegebene Funktion
- f'(x) ist die Ableitung von f(x)
- F(x) ist die Stammfunktion von f(x)

5. Wie erhält man die Integralfunktion?


Gegeben sei eine Funktion f(x) und eine feste untere Grenze "a"

  1. Funktion f(x) integrieren (die Stammfunktion bilden)
f(x) (Funktion) F(x) (Stammfunktion)
x^2 \frac{x^3}{3} = \frac{1}{3}x^3
x^3 \frac{x^4}{4} = \frac{1}{4}x^4
7x^4 \frac{7x^5}{5} = \frac{7}{5}x^5
e^x e^x
e^7x \frac{e^7x}{7}
\frac{1}{x^3} = x^{-3} \frac{x^{-2}}{-2} = \frac{-1}{2x^2}
  1. Integral aufstellen \int_a^x f(t)dt
  2. Stammfunktion in das Integral einsetzen
  3. Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen
  4. Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren
  5. Man erhält die Integralfunktion


Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1:

f(t) = t^2

\int_1^x f(t)dt

=\int_1^x (t^2)dt

=[\frac{1}{3}t^3]_1^x

=(\frac{1}{3}t^3)(\frac{1}{3}*1^3)

{I_1}(x)= \frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}


3. Ableitung einer Integralfunktion


Ein Merkmal einer Integralfunktion ist, dass die Integralfunktion abgeleitet die eingesetzte Funktion f(x) ist.
Um das Integral bilden zu können, muss man die Funktion integrieren.
Wenn man nun also die Ableitung des Integrals bilden möchte, bildet man die Ableitung der Stammfunktion.
Das ist die Ausgangsfunktion.


{I_a}(x) = \int_a^x f(t)dt

{I_a}(x) = F(x)-F(a)

{I_a}'(x) = F'(x)-0

{I_a}'(x)=f(x)


Beispiel mit f(t)=t^2

f(t)=t^2

F(t)=\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}

{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}

{I_1}'(x)= (\frac{1}{3}x^3)'-(\frac{1}{3})'

{I_1}'(x)= x^2-0

4. Nullstelle einer Integralfunktion


Die Nullstelle einer Integralfunktion ist immer die untere Grenze.
Da eine Integralfunktion aus einer bestimmten und aus einer unbestimmten Grenze besteht, kann man die Nullstelle einer Integralfunktion sehr einfach bestimmen.
Dafür muss man die bestimmte Grenze gleich der unbestimmten Grenze setzen.
Dadurch erhält man keine Fläche und die Lösung Funktion ist immer 0.
Die Integralfunktion von "a" bis "a" hat die Fläche 0.
Dies bedeutet, die Integralfunktion hat bei Stelle "a" eine Nullstelle.

Beweis:

  1. Eine Funktion f(x) und das Intervall \int_a^x ist gegeben
  2. Stammfunktion bilden
  3. Einsetzen
  4. Ergebnis gleich Null setzen
  5. Ergebnis = a


Beispiel mit f(x)=x^2 und \int_1^x:

f(x)=x^2

F(x)=\frac{1}{3}x^3

\int_1^x=f(t)dt

\int_1^x=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}

0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}

0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}  | + \frac{1}{3}

\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x^3 | * 3

1=x^3 | \sqrt[3]{}

1=x