Die Stammfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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<math>F(x)=\int_{a}^{b} u (x)\,dx +\int_{a}^{b} v (x)\,dx </math> | <math>F(x)=\int_{a}^{b} u (x)\,dx +\int_{a}^{b} v (x)\,dx </math> | ||
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| + | Die folgende Regel gilt nur bei linearer Verkettung, das heißt, dass es sich bei der "inneren" Funktion um eine lineare Funktion handeln muss! | ||
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| + | <math>f(x)=v(u(x))</math><br \> | ||
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| + | <math>F(x)=\int_{a}^{b} f (x)\,dx ={\int_{a}^{b} v(u(x))\,dx \over{u'(x)}}</math><br \> | ||
| + | In Worten: Um bei einer Verkettung von Funktionen an die Stammfunktion zu kommen muss man das Integral der äußeren Funktion durch die Ableitung der inneren Funktion teilen. | ||
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| + | Beispiel:<br \> | ||
| + | <math>f(x)=(2x-5)^2</math><br \> | ||
| + | <math>v(u(x))=()^2 -> \int_{a}^{b} v (u(x))\,dx ={1 \over3}()^3</math><br \> | ||
| + | <math>u(x)=2x-5 -> u'(x)=2</math><br \> | ||
| + | also:<math>F(x)={{1 \over3}(2x-5)^3 \over2}</math> | ||
Version vom 5. November 2012, 20:48 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Definition der Stammfunktion
Die Funktion 
der Ausgangsfunktion 
heißt Stammfunktion. ist die differenzierbare Funktion der reellen Funktion im Intervall ![\left[a;b\right]](/images/math/3/1/9/3195fbba6a681f201877c58390e7a641.png)
, sodass gilt:
Jede Funktion hat unendlich viele Stammfunktionen.
Auf die Stammfunktion kommt man, indem man die Ausgangsfunktion integriert, also:
Stammfunktionen zu einfachen Funktionen
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Integrationsregeln zum Berechnen der Stammfunktion
Um an die Stammfunktion zu kommen muss man die Funktion integrieren. Dabei muss man bestimmte Regeln beachten von denen manche den bereits bekannten Ableitungsregeln ähnlich sind.
Potenzregel
Möchte man eine Potenzfunktion wie zum Beispiel integrieren um an die Stammfunktion zu kommen, so gilt:
Beispiel: 
Summenregel
Möchte man eine Summe von zwei Funktionen integrieren so gilt die selbe Regel, wie beim Ableiten:
Summenregel beim Ableiten:
Genau wie beim Ableiten werden beim Integrieren die Summanden einzeln integriert und dann stehen gelassen oder vereinfacht.
Kettenregel
Möchte man eine Verkettung von Funktionen Integrieren, um an die Stammfunktion zu gelangen, so muss man die Kettenregel vom Integrieren benutzen. Diese ähnelt der Kettenregel beim Ableiten, ist jedoch nicht die selbe:
Die folgende Regel gilt nur bei linearer Verkettung, das heißt, dass es sich bei der "inneren" Funktion um eine lineare Funktion handeln muss!
Allgemeine Form:
In Worten: Um bei einer Verkettung von Funktionen an die Stammfunktion zu kommen muss man das Integral der äußeren Funktion durch die Ableitung der inneren Funktion teilen.
Beispiel:
also:
