Die Stammfunktion

Definition der Stammfunktion

Die Funktion $F(x)$ der Ausgangsfunktion $f(x)$ heißt Stammfunktion. $F(x)$ ist die differenzierbare Funktion der reellen Funktion $f(x)$, sodass gilt:
$F'(x)$$=$$f(x)$
Jede Funktion $f(x)$ hat unendlich viele Stammfunktionen.
Auf die Stammfunktion kommt man, indem man die Ausgangsfunktion integriert, also:
$F(x)$$=$$\int f (x)\,dx$

Stammfunktionen zu einfachen Funktionen

$f(x)$	$F(x)$
$0$	$c$
$1$	$x+c$
$x$	${1 \over2}x^2+c$
$x^2$	${1 \over3}x^3+c$
$\sqrt{x}$$=$$x^{1 \over2}$	${2 \over3}x^{3 \over2}+c$
$\sin (x)$	$-\cos (x)+c$
$\cos (x)$	$\sin (x)+c$

Integrationsregeln zum Berechnen der Stammfunktion

Um an die Stammfunktion zu kommen muss man die Funktion $f(x)$ integrieren. Dabei muss man bestimmte Regeln beachten von denen manche den bereits bekannten Ableitungsregeln ähnlich sind.

Potenzregel

Möchte man eine Potenzfunktion wie zum Beispiel $f(x)$$=$$x^2$ integrieren um an die Stammfunktion zu kommen, so gilt:
$F(x)$$=$$\int x^n\,dx$$=$${1 \over{n+1}}x^{n+1}+c$

Beispiel: $f(x)=x^2$

$F(x)=\int x^2\,dx ={1 \over{2+1}}x^{2+1}+C$$=$${1 \over3}x^3+c$

Summenregel

Möchte man eine Summe von zwei Funktionen integrieren so gilt die selbe Regel, wie beim Ableiten:
Summenregel beim Ableiten:
$f(x)=u(x)+v(x)$
$f'(x)=u'(x) + v'(x)$
Genau wie beim Ableiten werden beim Integrieren die Summanden einzeln integriert und dann stehen gelassen oder vereinfacht.
$f(x)=u(x)+v(x)$

$F(x)=\int u (x)\,dx +\int v (x)\,dx$

Kettenregel

Möchte man eine Verkettung von Funktionen Integrieren, um an die Stammfunktion zu gelangen, so muss man die Kettenregel vom Integrieren benutzen. Diese ähnelt der Kettenregel beim Ableiten, ist jedoch nicht die selbe:

Die folgende Regel gilt nur bei linearer Verkettung, das heißt, dass es sich bei der "inneren" Funktion um eine lineare Funktion handeln muss!

Allgemeine Form:
$f(x)=u(v(x))$

$F(x)=\int f (x)\,dx ={\int u(v(x))\,dx \over{v'(x)}}$
In Worten: Um bei einer Verkettung von Funktionen an die Stammfunktion zu kommen muss man das Integral der äußeren Funktion durch die Ableitung der inneren Funktion teilen.

Beispiel:
$f(x)=(2x-5)^2$
$u(v(x))=()^2 -> \int u (v(x))\,dx ={1 \over3}()^3$
$v(x)=2x-5 -> v'(x)=2$
also:$F(x)={{1 \over3}(2x-5)^3 \over2}+c$

Faktorregel

Für Produkte aus einem bestimmten Faktor und einer Funktion:
Der Faktor bleibt stehen und die Funktion wird Integriert.(Analog zum Ableiten)
Beispiel:
$f(x)=3\cdot \sin (x)$
$F(x)=3\cdot \int f (x)\,dx =3\cdot \left( -\cos (x)\right)+c$

Graph der Stammfunktion

Anhand bestimmter Stellen des Graphen der Funktion $f(x)$ kann man, den Graphen der Stammfunktion $F(x)$ skizzieren.
Dabei gilt:
1. An der Stelle (a), wo der Graph von $f(x)$ eine Nullstelle hat, muss der Graph der Stammfunktion einen Extrempunkt mit waagerechter Tangente haben.
$->$es gilt: $f(a)=F'(a)=0$
(Vergleich Ausgangsfunktion mit erster Ableitung)
2.An der Stelle (b), wo der Graph von $f(x)$ eine Extremstelle hat, muss der Graph der Stammfunktion eine Wendestelle haben.
$->$es gilt: $f'(b)=F''(x)=0$
Außerdem muss der Graph der Stammfunktion an Stelle b eine Wendestelle haben, es bei einem Hoch-oder Tiefpunkt immer einen Vorzeichenwechsel vom Positiven ins Negative oder umgekehrt gibt.
(Vergleich erste Ableitung mit zweiter Ableitung)
3. Gilt bei der Funktion $f(x)$ in einem festgelegten Intervall $f(x)>0$, so ist der Graph der Stammfunktion in diesem Intervall streng monoton steigend. Gilt $f(x)<0$, so ist der Graph der Stammfunktion in diesem Intervall streng monoton fallend.

Herleitung und Beweiß des "+C"

Die Funktion $F(x)$ ist die Stammfunktion der Funktion $f(x)$.
Nun hat die Funktion $f(x)$ nicht nur eine Stammfunktion, sondern unendlich viele. Beispielsweise gilt auch $F(x)=K(x)+c$.
$c$ ist eine Konstante für die eine beliebige Zahl eingesetzt werden kann.
Beweis:
Wenn für die Stammfunktion $F(x)$ gilt, dass $F'(x)=f(x)$, so muss auch für $K$ $K'(x)=f(x)$ gelten.
Es muss also gelten, dass $F'(x)-K'(x)=0$, da nach der Summenregel vom Ableiten gilt, dass ein Summand beim Ableiten wegfällt. Das "$+C$" fällt also weg und so haben $K$ und $F$, für gleiches $x$, auch den selben Betrag.
$F-K$ ist eine konstante Funktion, da sich $F$ und $K$ nur durch $c$ unterscheiden.
Es gilt:
$F(x)-K(x)=c$, nach $F(x)$ umgeformt: $F(x)=K(x)+c$

Also hat jede Funktion $f$ unendlich viele Stammfunktionen.