Flächenberechnung mit Hilfe des Integrals

Einleitung

Warum lässt sich ein Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen? Da das Integral den Grenzwert von Ober- und Untersumme angibt lässt sich der Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen. Dabei muss man beachten, dass man nicht immer einfach von der unteren Grenze $a$ zur oberen Grenze $b$ integrieren darf, wenn man den richtigen Flächeninhalt berechnen will.

Die verschiedenen Fälle der Flächenberechnung:

Fläche oberhalb der x-Achse

Liegt der Graph der Funktion $f$ im Intervall $[a;b]$ oberhalb der $x$-Achse, so gilt die Formel $A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx$

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Fläche unterhalb der x-Achse

Liegt der Graph der Funktion $f$ im Intervall $[a;b]$ unterhalb der $x$-Achse, so ist der Wert des Integrals negativ.

Es gilt: $A= -\int_{a}^{b} f(x)\, dx$ oder $A= \left|\int_{a}^{b} f(x)\, dx\right|$

Da das Ergebnis negativ wäre schreibt man vor das Integral ein Minus. Flächeninhalte sind immer positiv. Mit dem Betrag wird das gleiche bewirkt.

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Fläche ober- und unterhalb der x-Achse

Die Fläche liegt im Intervall $[a;b]$ sowohl oberhalb als auch unterhalb der $x$-Achse (Der Graph $f$ hat im Intervall $[a;b]$ Nullstellen)

Das Integral von $a$ nach $b$ muss in zwei Integrale unterteilt werden. Die Teilflächen müssen also getrennt berechnet werden. Die Nullstellen geben hierbei jeweils die Grenzen an.

Es gilt: $A= \left|\int_{a}^{c} f(x)\, dx\right| +\left|\int_{c}^{b} f(x)\, dx\right|$

Die negativen Werte für einen Teilbereich des Integrals werden mit dem Betrag positiv gemacht. Hierbei ist darauf zu achten, dass man für jeden Summanden einen extra Betrag setzt. Zum Schluss werden alle Werte addiert.

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Fläche zwischen zwei Graphen

Die Fläche wird von den Graphen zweier Funktionen $f$ und $g$ begrenzt. Im Intervall $[a;b]$ liegt sie über der $x$-Achse. Voraussetzung hierfür ist, dass $f(x)\ge g(x)$ gilt.

Es gilt: $A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx - \int_{a}^{b} g(x)\, dx$

Kurzform: $A= \int_{a}^{b} (f(x)-g(x))\, dx$

Wenn sich die Graphen von $f$ und $g$ nicht schneiden gilt für den Flächeninhalt $A$ zwischen den Graphen:

$A= \int_{a}^{b} (obere Funktion - untere Funktion)\, dx$

Man bestimmt also zunächst den gesamten Flächeninhalt im Intervall $[a;b]$ zwischen $f(x)$ und der $x$-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninhalt im Intervall $[a;b]$ zwischen der Funktion $g$ und der $x$-Achse subtrahiert. Es wird also wie oben beschrieben der Flächeninhalt der oberen Funktion minus dem Flächeninhalt der unteren Funktion gerechnet.

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Fläche zwischen zwei Graphen mit positiven und negativen Funktionswerten

Eine Fläche, die von zwei Graphen $f$ und $g$ begrenzt wird. Ein Graph nimmt sowohl positive wie auch negative Funktionswerte an.

Hier geht man genauso vor wie beim Fall 4. Begründung: Der Flächeninhalt bleibt immer gleich groß, egal in welchem Quadrant/welchen Quadranten die Fläche liegt. Man darf die Graphen beliebig weit nach oben verschieben.

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Flächenberechnung bei sich schneidenden Graphen

Zwei Graphen schneiden sich im Intervall $[a;b]$

Teilweise gilt $f(x)\ge g(x)$ und teilweise $g(x)\ge f(x)$ Die Intervalle müssen getrennt berechnet werden.

Vorgehensweise:

1. Schnittpunkt $z$ der Graphen bestimmen

2. Bestimmen, in welchem Intervall $f(x)\ge g(x)$ und in welchem $g(x)\ge f(x)$ gilt

3. Berechnung des Flächeninhalts

Es gilt:

$A= \int_{a}^{z} (g(x)-f(x))\, dx + \int_{z}^{b} (f(x)-g(x))\, dx$

Man geht also ähnlich wie beim Fall 4 vor. Auch hier nimmt man zuerst den gesamten Flächeninhalt im Intervall $[a;z]$ zwischen der oberen Funktion $f(x)$ und der $x$-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninhalt im Intervall $[a;z]$ zwischen der Funktion $g(x)$ und der $x$-Achse subtrahiert. Im nächsten Schritt geht man genauso vor, nur dass nun $g(x)$ die obere Funktion und $f(x)$ die untere Funktion ist.

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Flächenberechnung mit dem GTR (TI-84 Plus)

(Anleitung mit aktueller Softwareversion)

Am Beispiel $f(x)=x^2-2x$

Da die Funktion auch negative Werte animmt verwendet man den Betrag der Funktion $f(x)$

Anleitung (mit Zeichnung)

1. $y$- Editor

2. MATH - NUM: 1

3. Funktion eingeben und zeichenen lassen

4. 2nd CALC: 7

5. Grenzen eingeben

Alternativer Weg (ohne Zeichung):

1. MATH: 9

2. Grenzen eingeben

3. MATH - NUM: 1

4. Funktion eingeben und berechnen lassen