Funktionenscharen: Unterschied zwischen den Versionen

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== Funktionenscharen ==
 
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'''Berechnung der Extrempunkte:''' <br />
 
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\begin {matrix}
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f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\
  
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f(x)= {1 \over 2x^4-dx^2 <br />
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f'(x)&=& 2x^3-2dx \\
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f''(x)&=& 6x^2-2d
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f'(x)= 2x^3-2dx <br />
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\begin{matrix}
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2x^3-2dx&=& 0 \\
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2x^3&=& 2dx \\
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x^3 &=& dx \\
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x^2&=& d \\
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x&=& \sqrt d
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f''(x)= 6x^2-2d <br /> <br />
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-> d kann nicht negativ sein
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\begin{matrix}
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f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\
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f''(x) &<& 0 \rightarrow HP
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2x^3-2dx= 0 <br />
 
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2x^3= 2dx <br />
 
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x^3 = dx <br />
 
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x^2= d <br />
 
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x= <math>d</math> -> d kann nicht negativ sein
 
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f''(x) > 0 TP f''(x) < 0 HP <br />
 
  
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f''(<math>d</math>)= 6(<math>d</math>)^2-2d
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<math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math>
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= 6d-2d
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=4d  
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<math> d < 0 \rightarrow HP </math>
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d < 0 -> HP
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d > 0 -> TP
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<math> d > 0 \rightarrow TP </math>
  
 
== Ortskurven ==
 
== Ortskurven ==

Version vom 6. März 2012, 17:35 Uhr

Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt.

30px   Aufgabe

Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?
f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R}

Funktionenscharen

Berechnung der Extrempunkte:
Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\begin“): \begin {matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix}


\begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 \\ 2x^3&=& 2dx \\ x^3 &=& dx \\ x^2&=& d \\ x&=& \sqrt d \end{matrix} 

-> d kann nicht negativ sein

\begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix}


f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d

d < 0 \rightarrow HP

d > 0 \rightarrow TP

Ortskurven

Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:

Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte.

Bestimmen von Ortskurven

Die Koordinaten des Extrempunktes sind E1 ( 0 / 0 ) E2 ( sqrt d / - 0.5 d^2) E3 ( -sqrt d / - 0.5 d^2)


Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben:

x = sqrt d

f ( sqrt d ) = 0.5 d^2 - d^2


x - Koordinate nach Parameter auflösen:

d = x^2


Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen:

0.5 x^4 - x^4 = -0.5x^4


Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte:

y = -0.5 x^4

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