Funktionenscharen: Unterschied zwischen den Versionen

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-> d kann nicht negativ sein
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<math> \rightarrow </math> d kann nicht negativ werden
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'''Bestimmen von Ortskurven'''
 
'''Bestimmen von Ortskurven'''
  
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Die Koordinaten des Extrempunktes sind E1 <math> ( 0 / 0 ) </math> E2 <math> ( sqrt d / - 0.5 d^2) </math> E3 <math> ( -sqrt d / - 0.5 d^2) </math>
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Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -sqrt d | - 0,5 d^2) </math>
  
  
 
Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben:  
 
Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben:  
  
−
x = <math> sqrt d </math>
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\begin{align}
−
f <math> ( sqrt d ) </math> = <math> 0.5 d^2 - d^2 </math>
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x&=sqrt d \\
 +
y&= f( sqrt d ) = 0,5 d^2 - d^2  
 +
\end{align}
 +
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x - Koordinate nach Parameter auflösen:  
 
x - Koordinate nach Parameter auflösen:  
  
−
d = <math> x^2 </math>
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<math>d= x^2 </math>
  
  
 
Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen:  
 
Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen:  
  
−
<math> 0.5 x^4 - x^4 = -0.5x^4 </math>
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<math>y= 0,5 x^4 - x^4 = -0,5x^4 </math>
  
  
 
Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte:
 
Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte:
  
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y = <math> -0.5 x^4  </math>
+
<math>y= -0,5 x^4  </math>

Version vom 6. März 2012, 18:06 Uhr

Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt.

30px   Aufgabe

Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?
f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R}

Funktionenscharen

Berechnung der Extrempunkte:
Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\begin“): \begin {matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix}



\begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 \\ 2x^3&=& 2dx \\ x^3 &=& dx \\ x^2&=& d \\ x&=& \sqrt d \end{matrix}

\rightarrow d kann nicht negativ werden


\begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix}


f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d

d < 0 \rightarrow HP

d > 0 \rightarrow TP

Ortskurven

Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:

Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte.

Bestimmen von Ortskurven

Die Koordinaten des Extrempunktes sind E_1 ( 0 | 0 ) , E_2 ( sqrt d | - 0,5 d^2) , E_3 ( -sqrt d | - 0,5 d^2)


Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben:

\begin{align} x&=sqrt d \\ y&= f( sqrt d ) = 0,5 d^2 - d^2 \end{align}


x - Koordinate nach Parameter auflösen:

d= x^2


Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen:

y= 0,5 x^4 - x^4 = -0,5x^4


Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte:

y= -0,5 x^4

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