Funktionenscharen

Aus Friedrich-Schiller-Gymnasium
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Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt.

30px   Aufgabe

Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?
f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R}

Funktionenscharen

Berechnung der Extrempunkte:

\begin{matrix}
f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\

f'(x)&=& 2x^3-2dx \\
f''(x)&=& 6x^2-2d 
\end{matrix}



\begin{matrix}
2x^3-2dx&=& 0 \\
2x^3&=& 2dx \\
x^3 &=& dx \\
x^2&=& d \\
x_1&=& \sqrt d \\
x_2&=& - \sqrt d
\end{matrix}

→ d kann nicht negativ werden

Vorsicht - hier ist ein Fehler. Es gibt drei Lösungen, nicht nur eine! [Btm]



\begin{matrix}
f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\
f''(x) &<& 0 \rightarrow HP 
\end{matrix}


f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d
f''(-\sqrt d)= 6 (-\sqrt d) ^2-2d=6d-2d=4d  d < 0  \rightarrow HP

Vorsicht: Kann d<0 nun doch gelten? [Btm]


 d > 0 \rightarrow TP

Ortskurven

Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:

Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte.

Bestimmen von Ortskurven

Die Koordinaten des Extrempunktes sind  E_1 ( 0 | 0 ) ,  E_2 ( sqrt d | - 0,5 d^2) ,  E_3 ( -sqrt d | - 0,5 d^2)


Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben:


\begin{align}
 x&=sqrt d \\
y&= f( sqrt d )  = - 0,5 d^2
\end{align}


x - Koordinate nach Parameter auflösen:

d= x^2


Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen:

y= -0,5x^4


Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte:

y= -0,5 x^4