Funktionenscharen: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 6. März 2012, 20:15 Uhr

Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt.

30px Aufgabe

Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?
$f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R}$

Funktionenscharen

Berechnung der Extrempunkte:
Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\begin“): \begin {matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix}

$\begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 \\ 2x^3&=& 2dx \\ x^3 &=& dx \\ x^2&=& d \\ x&=& \sqrt d \end{matrix}$

→ d kann nicht negativ werden

Vorsicht - hier ist ein Fehler. Es gibt drei Lösungen, nicht nur eine! [Btm]

$\begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix}$

$f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d$

$d < 0 \rightarrow HP$

Vorsicht: Kann $d<0$ nun doch gelten? [Btm]

$d > 0 \rightarrow TP$

Ortskurven

Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:

Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte.

Bestimmen von Ortskurven

Die Koordinaten des Extrempunktes sind $E_1 ( 0 | 0 )$ , $E_2 ( sqrt d | - 0,5 d^2)$ , $E_3 ( -sqrt d | - 0,5 d^2)$

Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben:

$\begin{align} x&=sqrt d \\ y&= f( sqrt d ) = 0,5 d^2 - d^2 \end{align}$

Vorsicht - hier ist ein Fehler in der y-Koordinate, der sich bis unten durchzieht. Auch wenn das Ergebnis stimmt, ist die Rechnung falsch! [Btm]

x - Koordinate nach Parameter auflösen:

$d= x^2$

Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen:

$y= 0,5 x^4 - x^4 = -0,5x^4$

Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte:

$y= -0,5 x^4$

@@ Zeile 86: / Zeile 86: @@
 <math>y= -0,5 x^4  </math>
+<!-- Bitte unbedingt stehen lassen und nicht verändern - das ist die Grafik!!! -->
+<ggb_applet width="754" height="631"  version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAJqZZkAAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiu5QIAUEsHCEXM3l0aAAAAGAAAAFBLAwQUAAgACACamWZAAAAAAAAAAAAAAAAADAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbM1YbY/TRhD+DL9i5A8VVCTZtdd2AgkIkFCRDqh0tKr6odXG3iTL2V7LXuflxI/v7K7tODm4ckBRI3L7Njuz88xrmD/b5xlsRVVLVSw8OiYeiCJRqSzWC6/Rq9HUe/b0/nwt1FosKw4rVeVcLzxmKGW68EKxDMkqJKNotpqOGAnS0ZT4yYiyeEXieBUGJPQA9rV8XKi3PBd1yRNxmWxEzi9UwrUVvNG6fDyZ7Ha7cSdqrKr1ZL1ejvd16gE+s6gXXjt5jOxOLu0CS+4TQid/vLlw7EeyqDUvEuGBUaGRT+/fm+9kkaod7GSqNwsvjlGNjZDrDeoUR1MPJoaoREBKkWi5FTVeHSytzjovPUvGC3N+z80g69XxIJVbmYpq4ZFxEE4Zo2H/F+FQlRSFbolpK3TSsZtvpdg5vmZmRTIPtFLZkhuW8PEj+MQn8MgM1A0+DlHkjojbI4EbfDcwN4SOhrnrzJEyR8McDQs82MpaLjOx8FY8qxFCWawqNF+/rvUhE/Y97cZRffoIdarlNRIHBAF2mOM+IY/MN8IvMweTUyXpQKqumjsK7UTGIftykf43KRp0Mv04uinTDz+jZnSLUKf3l+hJwwG0KMr+s98bEoPb1DyX6NbfJjBiP0TF+aQLlXkbHVBvDG3rPVrktYmXYAbhzLg9hRBjI4rRy0OgMxxiHzAagIbAQlzSKURmjCGI8YBBAFMwdDQAGxzhFP+w2DKLIERmZjfGmASKghiEAVAbUwwwksDGJcaoHyBFGEKIl4x46hsWQQQswlUwBYZvNCEZUyQM8CKuUbwPAYXAXKYx+BFEhh9lJtSjqXk6svQhIhBRwxCjGiPaRTPSTyEw2kQtXLIoG30CUZKn3VSrsrcFUmM+OqY9l59OsuK9ecaXIsNCcWksCbDlmYkIK2ilCg2dEX23t654uZFJfSm0xls1fOBbfsG12L9C6rqTbWkTVdS/Vkq/VFmTFzVAojLSv1lldDD3+1fjIhgcsOFBODiIBvP4k3IVnkBTC5Svqroj52n62lAcUwMi+a7IDi8qwa9KJU/VmE9szZmLJslkKnnxOzqrkWJwgb4EmXTVlaCIBN1DVJVeHmr0YNj/KSqF0DJbdA9u5c/8MRl+0MZ1wk28sdl4NvxgVTu0RyE5vdSaRmx7o/C96PVdVyaWW13N4nX9QmXHLavxS17qprL9AqbDyujxvFhnwnqFTbBYjJOrpdpfOncIHK/3hxJXxD1gubZIA2YDP8QCuW7HpRstjXlZT0UsDbEUpPMvmfbndOZbCjsu3Wip0GHd01pNaacmJZ0YWdscRryTSLHebkp7U0h90S20TK5aTamjf9vkS9H7zClL+p1YzidnPjW/ElUhstaF0ZKNamoXkQPvTkUic1y6gxYQboz1Gz7A7aZiXYnu3ZntxBxc9pQMvfPGtmX1qlL562L7Hj3h7AHzSffKeZ1UsjQOB0tM+1fi6FOprDlWjXR4z8Qcqp6Y6oDwaAMNRmOjNwpN/RPPyyeJKg9P4NUYXkitBfaoRYG8MLkgpQnBTOTYcYG2Tlc0uahk0hsgtd0cPrZp9TF9sNXIoA9q+QGz3pnRjtbF48+4JfCs3HDTA9LW+fhBVCeQWW5vVNoJbsVmpnmEXGIxHGEY5HyPsYv8ljUmRI3tM9qoOLbP7mVtQsHWw+QJvMFilzEwr4RmspL7AdIInrxGZ+En2hzjQ2OyvsKOtLZBrNtwtZNfZJqKon8uL9CtrHEwX5VOX8BSIZzL91dL1N8mioFLtJYxNtqXFUozbFqMV/hjZG+K0oP9Q1gAGYfwM+z/esAewghSN/cfump1auFVU1hv8Y6svqc5ya3mfLda1UIbA4yYRZ/R24x9d8SHqCUqR2dPobCt1RtZeMdCz4nFkFPnRdzv36ka3RE8/7vl2XK6gaXN8j1QhvxroOzS+l3BPMLV7uoKfz+6naMkm5BqCzntK1xEIhZGs8DaYETGbHb68eB6EOpWTVOiThoZt3uW6b4Cf+LgDz8Bv383+P3/Nfxn6MfYYfyX6J/nDFh46zZprF3SGA2yhvcFiWL9L/CeNoupdGnP9IEtNf9eaeQG9F+fZr81yZxitsSfWoIfIePn5XMg90dnXMZm1uHorUgm2LMaHO3eu0rXV021xY6wuMY+XBTn6k+GDYjt69v/o3r6D1BLBwhEOt6iWgYAAEATAABQSwECFAAUAAgACACamWZARczeXRoAAAAYAAAAFgAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc1BLAQIUABQACAAIAJqZZkBEOt6iWgYAAEATAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAF4AAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAIAAgB+AAAA8gYAAAAA" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" />

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