Gauß-Algorithmus: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 2. Februar 2012, 12:53 Uhr

Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus?

Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mit mindestens drei Variablen.

Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten Stufenform (=Dreiecksform) angeordnet.

Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation:

Gegeben sind die Funktionen:

  1:    3a+2b+c=6
  2:        -4c=20
  3:      2b-3c=11

Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei.

  1:      3 a+2 b +1 c=6
  2:          2 b -3 c=11
  3:              -4 c=20

Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen.

Berechnung ohne GTR

Ziel: Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen.

x ist keine bestimmte Zahl:

x x x | x 0 x x | x 0 0 x | x

Erlaubt sind: 1. Multiplikation/Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/voneinander addieren/subtrahieren.

Beispiel:

Anwendung mit Hilfe des GTR

Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR:

Schritt 1:

Anwendungsbeispiel

x₁+2x₂+x₃=1
2x₁+ x₂-x₃=-1