Gauß-Algorithmus

Aus Friedrich-Schiller-Gymnasium
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Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus?

Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen.

Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten Stufenform (=Dreiecksform) angeordnet.

Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation:

Gegeben sind die Funktionen:

  1:    3a+2b+c=6
  2:        -4c=20
  3:      2b-3c=11

Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei.

  1:      3 a+2 b +1 c=6
  2:          2 b -3 c=11
  3:              -4 c=20

Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen.

Berechnung ohne GTR

Ziel: Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen.

x ist keine bestimmte Zahl:

a b c y
x x x x
0 x x x
0 0 x x



Erlaubt sind:

1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist.

2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander.

3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren.

Beispiel:

Anwendung mit Hilfe des GTR

Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR:

Schritt 1:

2nd -> Matrix -> Edit:

Zahlen eingeben

2nd -> Quit

2nd -> Matrix -> Math -> rref( -> 2nd -> Matrix -> 1 -> Enter

Jetzt kann man aus der Koeffizientenmatrix das Ergebnis direkt ablesen.

Anwendungsbeispiel

Kaffeemischung aus drei verschiedenen Kaffeesorten:
Eine Kaffeerösterei bietet drei verschiedene Kaffeemischungen an. "Mocca" besteht zu drei Teilen aus kolumbischen Kaffee, zu einem Teil aus brasilianischen Kaffee und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 63€. "Barry" besteht zu zwei Teilen aus brasilianischen, zu einem Teil aus kolumbischen und zu zwei Teilen aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 66€. "The Dark One" besteht zu drei Teilen aus brasilianischenm, zu einem Teil aus kolumbischen und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 67€.
Jeder Sorte wird in 5kg Packungen verkauft. Wieviel kostet eine Kilogramm von den einzelnen Ländern?

Marke Brasilien Kolumbien Mexiko
Mocca 1 3 1
Barry 2 1 2
The Dark One 3 1 1