Kurvendiskussion: Unterschied zwischen den Versionen

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=== Definitionsbereich ===
 
=== Definitionsbereich ===
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Mit dem Definitionsbereich, sind alle x-Werte gemeint, meist sind es die reellen Zahlen.<br />
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Mit dem Definitionsbereich sind alle Zahlen für x gemeint, die man in die Funktion einsetzen kann.<br />  
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Für den Wertebereich gilt das Gleiche, da ''y'' von ''x'' abhängig ist.
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=== Symmetrie ===
 
=== Symmetrie ===
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* Achsensymmetrie zur y-Achse: <math>f(-x)=f(x)</math>
 
* Achsensymmetrie zur y-Achse: <math>f(-x)=f(x)</math>
 
* Punktsymmetrie zum Ursprung: <math>f(-x)=-f(x)</math>
 
* Punktsymmetrie zum Ursprung: <math>f(-x)=-f(x)</math>
 +
Sind in der Funktion nur gerade Exponenten vorhanden, kann die Funktion nur achsensymmetrisch sein.
 +
Sind jedoch nur ungerade Exponenten vorhanden, so kann sie nur punktsymmetrisch sein.
  
 
=== Verschiebung ===
 
=== Verschiebung ===
−
* um ''c'' in x-Richtung <math>y=f(x-c)</math>
+
* um ''c'' in x-Richtung <math>y=f(x-c)</math> Für ''c > 0'' nach links verschoben, für ''c < 0'' nach rechts.
−
* um ''d'' in y-Richtung <math>y=f(x)+d</math>
+
* um ''d'' in y-Richtung <math>y=f(x)+d</math> Für ''d > 0'' nach oben verschoben, für ''d < 0'' nach unten.
−
 
+
−
=== Streckung ===
+
−
* mit Faktor ''<math>\frac{1}{b}</math>'' in x-Richtung: <math>y=f(b*x)</math>
+
−
* mit Faktor ''a'' in y-Richtung: <math>y=a*f(x)</math>
+
  
 
=== Schnittstellen mit den Achsen ===
 
=== Schnittstellen mit den Achsen ===
 
Man setzt die Funktion mit Null gleich und löst die Gleichung nach ''x'' auf. Daraus erhält man die Schnittstellen mit der x-Achse (Nullstellen).<br />
 
Man setzt die Funktion mit Null gleich und löst die Gleichung nach ''x'' auf. Daraus erhält man die Schnittstellen mit der x-Achse (Nullstellen).<br />
−
Um die Schnittpunkte mit der y-Achse auszurechnen, setzt man für ''x'' in der Funktion Null ein und rechnet die Gleichung aus.
+
Um die Schnittstelle mit der y-Achse auszurechnen, setzt man für ''x'' in der Funktion Null ein und rechnet die Gleichung aus.
  
 
=== Monotonie ===
 
=== Monotonie ===
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=== Globalverlauf ===
 
=== Globalverlauf ===
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* Globalverlauf für gerade Exponenten:  
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* Globalverlauf für gerade Funktionen (nur gerade Exponenten):  
 
     <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br />
 
     <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br />
 
     <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich
 
     <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich
−
* Globalverlauf für ungerade Exponenten:  
+
* Globalverlauf für ungerade Funktionen (nur ungerade Exponenten):  
 
     <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br />
 
     <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br />
 
     <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to-\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen minus unendlich
 
     <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to-\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen minus unendlich
−
'''! Anmerkung: Eine negative Basis, bzw. ein negativer Exponent, spiegelt die Kurven an der x-Achse, wodurch auch die Globalverläufe "gespiegelt" werden.'''
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'''! Anmerkung: Eine negative Basis spiegelt die Kurven an der x-Achse, wodurch auch die Globalverläufe "gespiegelt" werden.'''
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=== Beispielaufgabe ===
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Führe ein vollständige Kurvendiskussion an dieser Funktion durch: <math>f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 - \frac{9}{4}</math>
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<popup name="Lösungen">
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* Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen
 +
* Symmetrie: Achsensymmetrisch, da nur gerade Exponenten und keine Verschiebung auf der x-Achse vorhanden ist.
 +
* Nullstellen (Schnittstellen mit der x-Achse): <math>x_1 = 3</math> und <math>x_2 = -3</math>
 +
* Schnittstelle mit der y-Achse (für x Null einsetzen): <math>f(0) = \frac{1}{4} * 0^2 - 2*0^2 - \frac{9}{4} = -\frac{9}{4}</math>
 +
* Monotonie:
 +
  <math>(\infty; -2]</math> streng monoton fallend
 +
  <math>[-2; 0]</math> streng monoton steigend
 +
  <math>[0; 2]</math> streng monoton fallend
 +
  <math>[2; \infty]</math> streng monoton steigend
 +
* Globalverlauf:
 +
  <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br />
 +
  <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich
 +
</popup>

Version vom 11. Dezember 2015, 11:24 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Kriterien für Extremstellen

Definition

Ein Hochpunkt hat den größten y-Wert in seiner Umgebung. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von positiv (+) nach negativ (-) .

Ein Tiefpunkt hat den kleinsten y-Wert in seiner Umgebung. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von negativ (-) nach positiv (+) .

Kriterien

  1. notwendige Bedingung: f'(x)=0
    Begründung: Die Ableitung(Steigung) am Extrempunkt ist 0
  2. hinreichende Bedingung:
    1. schwache Bedingung: f''(x)\not=0
      Begründung: Die zweite Ableitung darf nicht 0 sein, da sonst kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt vorliegt.
    2. starke Bedingung: Vorzeichenwechsel an f '(x) an der Stelle des eventuellen Extrempunktes.
      Begründung: Die erste Ableitung muss ein Vorzeichenwechsel haben, da sonst ein Sattelpunkt vorliegt.

 !in Bearbeitung!

Kriterien für Wendestellen

Was ist eine Wendestelle?

Eine Wendestelle beschreibt einen Punkt im Graphen, an dem sich der Verlauf der Kurve ändert. Die Kurve einer Funktion kann entweder nach links oder nach rechts gekrümmt sein. Diesen Punkt kann man anhand der Ableitungen der Ausgangsfunktion finden. Für eine Wendestelle gibt es zwei Kriterien:

Inflection Point

  • Notwendiges Kriterium

Das notwendige Kriterium wird überprüft, um Stellen herauszufinden, an denen eine Wendestelle vorkommen kann. Dazu bildet man die zweite Ableitung und setzt diese mit Null gleich. Gibt es keine Nullstellen der zweiten Ableitung, so sind alle Wendestellen für die Ausgangsfunktion ausgeschlossen. An Extrema der zweiten Ableitung (f''(x)=0) können aber müssen nicht Wendestellen vorkommen. Um für Gewissheit zu sorgen muss man letztendlich die gefundenen Nullstellen mit dem hinreichenden Kriterium überprüfen.


  • Hinreichendes Kriterium

Das hinreichende Kriterium dient zur Bestätigung einer Wendestelle und beschreibt gleichzeitig deren Verlauf (Links-Rechts-Kurve oder Rechts-Links-Kurve). Dazu bildet man die dritte Ableitung f'''(x) der Ausgangsfunktion f(x) und setzt diese gleich mit Null. Ist die dritte Ableitung der zu prüfenden Stelle ungleich 0, so entspricht diese einer Wendestelle. Das Ergebnis dieser Rechnung kann jedoch noch mehr aussagen: Liegt der Wert unter 0, so ist diese eine Links-Rechts-Wendestelle. Liegt der Wert über 0, so entspricht diese einer Rechts-Links-Wendestelle. Falls der Wert jedoch gleich 0 sein sollte, handelt es sich hierbei um keine Wendestelle, sondern um einen sogenannten Sattel- bzw. Terassenpunkt.


Fazit für das hinreichende Kriterium


f''' \neq 0, wenn f'''<0 dann Rechtskurve, wenn f'''>0 dann Linkskurve


  • Beispiel

f(x)={1\over9}x^3-{1\over3}x^2-{8\over3}x+{26\over9}

f'(x)={3\over9}x^2-{2\over3}x-{8\over3}

f''(x)={2\over3}x-{2\over3}

f''(x)=0


{2\over3}x-{2\over3}=0 \quad |+{2\over3}

{2\over3}x={2\over3} \quad |\cdot{3\over2}

x=1

f(1)={1\over9}\cdot1^3-{1\over3}\cdot1^2-{8\over3}\cdot1+{26\over9}=0

W(1|0)

vollständige Kurvendiskussion

Definitionsbereich

Mit dem Definitionsbereich sind alle Zahlen für x gemeint, die man in die Funktion einsetzen kann.

Symmetrie

  • Achsensymmetrie zur y-Achse: f(-x)=f(x)
  • Punktsymmetrie zum Ursprung: f(-x)=-f(x)

Sind in der Funktion nur gerade Exponenten vorhanden, kann die Funktion nur achsensymmetrisch sein. Sind jedoch nur ungerade Exponenten vorhanden, so kann sie nur punktsymmetrisch sein.

Verschiebung

  • um c in x-Richtung y=f(x-c) Für c > 0 nach links verschoben, für c < 0 nach rechts.
  • um d in y-Richtung y=f(x)+d Für d > 0 nach oben verschoben, für d < 0 nach unten.

Schnittstellen mit den Achsen

Man setzt die Funktion mit Null gleich und löst die Gleichung nach x auf. Daraus erhält man die Schnittstellen mit der x-Achse (Nullstellen).
Um die Schnittstelle mit der y-Achse auszurechnen, setzt man für x in der Funktion Null ein und rechnet die Gleichung aus.

Monotonie 

   f'(x)>0 => f streng monoton wachsend
   f'(x)<0 => f streng monoton fallend

   f'(x)\ge0 => f monoton wachsend
   f'(x)\le0 => f monoton fallend

Globalverlauf

  • Globalverlauf für gerade Funktionen (nur gerade Exponenten): 
    x\to\infty => y\to\infty Gesprochen: Für x gegen unendlich, läuft y gegen unendlich

    x\to-\infty => y\to\infty Gesprochen: Für x gegen minus unendlich, läuft y gegen unendlich
  • Globalverlauf für ungerade Funktionen (nur ungerade Exponenten): 
    x\to\infty => y\to\infty Gesprochen: Für x gegen unendlich, läuft y gegen unendlich

    x\to-\infty => y\to-\infty Gesprochen: Für x gegen minus unendlich, läuft y gegen minus unendlich

! Anmerkung: Eine negative Basis spiegelt die Kurven an der x-Achse, wodurch auch die Globalverläufe "gespiegelt" werden.

Beispielaufgabe

Führe ein vollständige Kurvendiskussion an dieser Funktion durch: f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 - \frac{9}{4}

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