http://fsg.zum.de/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=F.BittermannFriedrich-Schiller-Gymnasium - Benutzerbeiträge [de]2024-03-29T10:25:26ZBenutzerbeiträgeMediaWiki 1.21.2http://fsg.zum.de/wiki/Exponentielles_WachstumExponentielles Wachstum2018-11-03T18:44:35Z<p>F.Bittermann: </p>
<hr />
<div>Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt. Eine weitere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass es, wenn es nicht auf der y-Achse verschoben ist, die x-Achse nicht berührt oder schneidet,sondern sich dieser nur annähert.<br /><br />
<br />
<!-- Ein Wachstum kann nicht auf einer Achse verschoben sein!!! --><br />
<!-- Was ist DAS Kriterium für exponentielles WAchstum? Hier muss der Standardsatz her! Wie auch beim linearen WAchstum. -> Die Änderungsrate ist ... --> <br />
<br />
==Funktionsterm==<br />
Für Exponentialfunktionen lautet die allgemeine Form:<br /><br />
<math>{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br /><br /><br />
Dabei steht <math>{a}</math> für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math>.<br /><br />
Die Eurlerische Zahl <math>{e}</math> ersetzt in dieser Schreibweise die Wachstumskonstante.<br /><br />
<br />
<!-- FALSCH. Die Wachstumskonstantze ist k - siehe nächste Zeile. --><br />
<br />
<math>{k}</math> ist die sogenannte Wachstumskonstante, die für die Umwandlung der alten Schreibweise in die neue wichtig ist.<br />
<br />
==Umwandlung der alten Schreibweise in die neue==<br />
<!-- Es gibt keine alte und neue Schreibweise. Es gibt eine Schreibweise als Exponentialfunktion, und eine als Exponentialfunktion mit der Basis e. --><br />
<br />
Exponentialfunktionen können grundsätzlich auf zwei verschiedene Weisen gebildet werden, entweder in der neuen Schreibweise mit <math>{e}</math> als Basis, oder in der alten Schreibweise ohne <math>{e}</math>.<br /><br /><br />
Exponentialfunktionen ohne e sind meist leichter zu bilden. Die allgemeine Form lautet:<br /><br />
<math>{f(x)=a \cdot b^{x}}</math><br /><br />
<br />
<!-- Was ist hier der Vorteil? Hinweis auf Wachstumsrate um x Prozent, was sich in b zeigt -> Formel angeben. --><br />
<br />
Diese kann in eine Exponentialfunktion mit <math>{e}</math> umgewandelt werden. Mit <math>{e}</math> lautet die allgemeine Formel:<br /><br />
<math>{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br /><br />
Bei der alten Schreibweise fehlt als Unbekannte im Vergleich zu der neuen nur die Wachstumskonstante <math>{k}</math>.<br /><br />
Ausrechnen lässt sich die Wachstumskonstante, indem man beide Formen gleichsetzt:<br /><br /><br />
<math> \begin{align}<br />
a \cdot b^{x} &= a \cdot e^{k \cdot x} \quad |:a \\<br />
b^{x} &= e^{k \cdot x} \quad | \mbox{mit } e \mbox{ logarithmieren} \\<br />
ln(b^x) &= k \cdot x \\<br />
ln(b) \cdot x &= k \cdot x \quad | \div x \\<br />
ln(b) &= k<br />
\end{align} </math> <br /><br /><br />
Um die alte Schreibweise in die neue umzuwandeln muss man also nur den natürlichen Logarithmus des ursprünglichen Wachstumsfaktors bilden und das Ergebnis als Wachstumskonstante im Exponent mit <math>{x}</math> multiplizieren.<br />
<br />
<br />
===Beispiel===<br />
[[Datei:Alte Schreibweise.png|rahmenlos|rechts]]<br />
Ein Anfangsbestand von 2 vermehrt sich in bestimmten Abständen um 10%.<br /><br />
Alte Schreibweise:<br /><br />
<math>{f(x)=2 \cdot 1,1^{x}}</math><br /><br /><br />
Neue Schreibweise:<br /><br />
1. Wachstumskonstante berechnen:<br ><br /><br />
<math> \begin{align} k &=ln(b) \\<br />
k &=ln(1,1) \\<br />
k & \approx 0,095<br />
\end{align} </math><br /><br /><br />
[[Datei:Neue Schreibweise.png|rahmenlos|rechts]]<br />
2. Funktionsgleichung aufstellen:<br /><br />
<math>{f(x)=2 \cdot e^{0,095 \cdot x}}</math><br />
<br />
{{Aufgabe|1=<br />
Ein Anfangsbestand von 1 vermehrt sich in bestimmten Abständen um 50%.<br /><br />
Geben Sie dazu eine Funktionsgleichung in der neuen Schreibweise an!<br />
}}<br />
<popup name="Lösung"><br />
<math> \begin{align}<br />
f(x) &=1 \cdot e^{ln(1,5) \cdot x} \\<br />
f(x) &=1 \cdot e^{0,406 \cdot x}<br />
\end{align} </math><br />
</popup><br />
<br />
==Anfangsbestand berechnen==<br />
Wenn der Anfangsbestand unbekannt ist müssen alle anderen Werte gegeben sein, auch ein y-Wert.<br /><br />
Um <math>{a}</math> auszurechnen muss die Funktionsgleichung umgeformt werden.<br /><br /><br />
<math> \begin{align}<br />
y &=a \cdot e^{k \cdot x} \quad | \div e^{k \cdot x} \\<br />
\frac{y}{e^{k \cdot x}} &=a<br />
\end{align} </math><br /><br />
<br />
===Beispiel===<br />
Es ist gegeben, dass ein Graph mit der Wachstumskonstante <math>{k=0,5}</math> an der Stelle <math>{x=5,025}</math> eine Höhe von <math>{y=37}</math> hat.<br /><br />
<math> \begin{align}<br />
a &=\frac{37}{e^{0,5 \cdot 5,025}} \\<br />
a &=\frac{37}{12,336} \\<br />
a &\approx 3<br />
\end{align} </math><br /><br /><br />
<br />
{{Aufgabe|1=<br />
Es ist gegeben, dass ein Graph mit der Wachstumskonstante <math>{k=0,2}</math> an der Stelle <math>{x=2,03}</math> eine Höhe von <math>{y=15}</math> hat.<br />
Bestimmen Sie den Anfangsbestand <math>{a}</math> !<br />
}}<br />
<popup name="Lösung"><br />
<math> \begin{align}<br />
a &=\frac{15}{e^{0,2 \cdot 2,03}} \\<br />
a &=\frac{15}{1,501} \\<br />
a &\approx 10<br />
\end{align} </math><br />
</popup><br />
<br />
==Wachstumsgeschwindigkeit berechnen==<br />
Um die Wachstumsgeschwindigkeit zu berechnen, muss man die Ableitung bilden.<br /><br /><br />
<math> \begin{align}<br />
f(x) &= a \cdot e^{k \cdot x} \\<br />
f'(x) &= k \cdot a \cdot e^{k \cdot x} <br />
\end{align} </math><br /><br /><br />
Mit der ableitungsfunktion lässt sich die Wachstumsgeschwindigkeit an jeder beliebiger Stelle des Graphen berechen.<br />
<br />
===Beispiel===<br />
Gegeben ist die Funktion<br /><br />
<math>{f(x) =7 \cdot e^{0,1 \cdot x}}</math><br /><br /><br />
Die dazugehörige Ableitungsfunktion lautet:<br /><br /><br />
<math> \begin{align} <br />
f'(x) &= 0,1 \cdot 7 \cdot e^{0,1 \cdot x} \\<br />
f'(x) &= 0,7 \cdot e^{0,1 \cdot x}<br />
\end{align} </math><br />
<br />
{{Aufgabe|1=<br />
Gegeben ist die Funktion<br /><br />
<math>{f(x)=4 \cdot e^{0,3 \cdot x}}</math><br /><br />
Berechnen Sie die Wachstumsgeschwindigkeit an der Stelle <math>{x=10}</math> !<br /><br />
}}<br />
<popup name="Lösung"><br />
<math> \begin{align}<br />
f'(x) &=0,3 \cdot 4 \cdot e^{0,3 \cdot x} \\<br />
f'(x) &=1,2 \cdot e^{0,3 \cdot x} \\<br />
\\<br />
f'(10) &=1,2 \cdot e^{0,3 \cdot 10} \\<br />
f'(10) &=24,1<br />
\end{align} </math><br />
</popup><br />
<br />
==Übungsaufgabe==<br />
{{Aufgabe|1=<br />
Eine Bank bietet 2% (jährlich) Zinsen.<br /><br />
<br />
a)Geben Sie, so weit möglich, die Funktionsgleichung in der neuen Schreibweise an!<br /><br />
<br />
b)Wie hoch war der Kontostand zu Beobachtungsbeginn, wenn nach zwei Jahren 104,04 € auf dem Konto sind?<br /><br />
<br />
c)Wieviel Geld wird nach 10 Jahren auf dem Konto sein?<br /><br />
<br />
d)Wann befinden sich 150 € auf dem Konto?<br /><br />
<br />
}}<br />
<br />
<popup name="Lösung a)"><br />
<math> \begin{align}<br />
f(x) &= a \cdot e^{ln(1,02) \cdot x} \\<br />
f(x) &= a \cdot e^{0,02 \cdot x}<br />
\end{align} </math><br />
</popup><br />
<br />
<popup name="Lösung b)"><br />
<math> \begin{align}<br />
a &= \frac{104,04}{e^{0,02 \cdot 2}} \\<br />
a & \approx 100<br />
\end{align} </math><br /><br /><br />
Mit den gegebenen Werten muss der Kontostand zu Beobachtungsbeginn ungefähr 100 € betragen haben.<br />
</popup><br />
<br />
<popup name="Lösung c)"><br />
<math> \begin{align}<br />
f(x) &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot x} \\<br />
f(10) &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot 10} \\<br />
f(10) & \approx 122<br />
\end{align} </math><br /> <br /><br />
Nach 10 Jahren befinden sich ungefähr 122 € auf dem Konto.<br />
</popup><br />
<br />
<popup name="Lösung d)"><br />
<math> \begin{align}<br />
150 &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot x} \quad | \div 100 \\<br />
\frac{3}{2} &= e^{0,02 \cdot x} \quad | \mbox{mit } e \mbox{ logarithmieren} \\<br />
ln(1,5) &= 0,02 \cdot x \quad |\div 0,02 \\<br />
\frac{ln(1,5)}{0,02} &= x \\<br />
20,273 & \approx x<br />
\end{align} </math><br /><br /><br />
Nach ungefähr 20 Jahren und 3 Monaten befinden sich 150 € auf dem Konto.<br />
</popup></div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/Lineares_WachstumLineares Wachstum2018-11-03T18:29:02Z<p>F.Bittermann: </p>
<hr />
<div>Das lineare Wachstum zeichnet sich dadurch aus, dass es immer dieselbe Änderungsrate, beziehungsweise Steigung, hat. Das heißt in einem bestimmten Zeitraum wird immer dieselbe Menge hinzugefügt oder abgezogen. Dabei sind zwei Eigenschaften veränderbar, und zwar die Änderungsrate <math>{m}</math> und der y-Achsenabschnitt <math>{b}</math>. Daraus folgt die allgemeine Formel:<br /><br /><br />
<br />
<!-- Hinweis: Ein Wachstum hat keine Steigung. Wie beziehen sich die Größen m und b auf Größen beim Wachstum? --><br />
<br />
<math>{f(x)=mx+b}</math><br /><br (><br />
[[Datei:Grafik 1.jpg|rahmenlos|rechts]] Beispiel:<br />
<math>{m=\frac{1}{2}}</math><br /><br />
<math>{b=2}</math><br /><br />
<math>{f(x)=\frac{1}{2}x+2}</math><br /><br />
<br />
<!-- Das Beispiel sollte schon mit einem Text zum Wachstum motiviert werden. --><br />
<br />
{{Aufgabe|1=<br />
In einer Flasche befindet sich 1 l Wasser. Die Flasche hat ein Loch, durch das gleichmäßig 80 ml pro Minute auslaufen.<br /><br />
1) Stellen Sie dazu eine Funktionsgleichung auf!<br /><br />
2) Wieviel Wasser befindet sich nach 5 Minuten noch in der Flasche?<br /><br />
3) Wann ist die Flasche leer?<br />
}}<br />
<br />
<popup name="Lösung 1)"><br />
<math>{f(x)=-80x+1000}</math><br />
</popup><br />
<br />
<popup name="Lösung2 )"><br />
<math>{f(x)=-80 \cdot 5+1000}</math><br /><br />
<math>{f(x)=600}</math><br /><br />
Nach 5 Minuten befinden sich noch 600 ml in der Flasche.<br />
</popup><br />
<br />
<popup name="Lösung 3)"><br />
<math> \begin{align} <br />
0 &=-80x+1000 \quad |+80x \\<br />
80x &=1000 \quad | \div 80 \\<br />
x &=12,5 \end{align}</math><br /><br /><br />
Nach 12,5 Minuten ist die Flasche leer.<br />
</popup></div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/Lineares_WachstumLineares Wachstum2018-11-03T18:27:14Z<p>F.Bittermann: </p>
<hr />
<div>Das lineare Wachstum zeichnet sich dadurch aus, dass es immer dieselbe Änderungsrate, beziehungsweise Steigung, hat. Das heißt in einem bestimmten Zeitraum wird immer dieselbe Menge hinzugefügt oder abgezogen. Dabei sind zwei Eigenschaften veränderbar, und zwar die Änderungsrate <math>{m}</math> und der y-Achsenabschnitt <math>{b}</math>. Daraus folgt die allgemeine Formel:<br /><br /><br />
<br />
<!-- Hinweis: Ein Wachstum hat keine Steigung. Wie beziehen sich die Größen m und b auf Größen beim Wachstum? --><br />
<br />
<math>{f(x)=mx+b}</math><br /><br (><br />
[[Datei:Grafik 1.jpg|rahmenlos|rechts]] Beispiel:<br />
<math>{m=\frac{1}{2}}</math><br /><br />
<math>{b=2}</math><br /><br />
<math>{f(x)=\frac{1}{2}x+2}</math><br /><br />
<br />
{{Aufgabe|1=<br />
In einer Flasche befindet sich 1 l Wasser. Die Flasche hat ein Loch, durch das gleichmäßig 80 ml pro Minute auslaufen.<br /><br />
1) Stellen Sie dazu eine Funktionsgleichung auf!<br /><br />
2) Wieviel Wasser befindet sich nach 5 Minuten noch in der Flasche?<br /><br />
3) Wann ist die Flasche leer?<br />
}}<br />
<br />
<popup name="Lösung 1)"><br />
<math>{f(x)=-80x+1000}</math><br />
</popup><br />
<br />
<popup name="Lösung2 )"><br />
<math>{f(x)=-80 \cdot 5+1000}</math><br /><br />
<math>{f(x)=600}</math><br /><br />
Nach 5 Minuten befinden sich noch 600 ml in der Flasche.<br />
</popup><br />
<br />
<popup name="Lösung 3)"><br />
<math> \begin{align} <br />
0 &=-80x+1000 \quad |+80x \\<br />
80x &=1000 \quad | \div 80 \\<br />
x &=12,5 \end{align}</math><br /><br /><br />
Nach 12,5 Minuten ist die Flasche leer.<br />
</popup></div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/Die_IntegralfunktionDie Integralfunktion2018-06-07T10:58:22Z<p>F.Bittermann: /* 2. Wie erhält man die Integralfunktion? */</p>
<hr />
<div>=== 1. Was ist eine Integralfunktion? ===<br />
<br />
Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \><br />
Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \><br />
Der Unterschied von einer Integralfunktion zu einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \><br />
wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, da man eine unbestimmte Grenze "x" in die Funktion einsetzt und integriert. <br \><br />
Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen den Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \><br />
Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \><br />
Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \><br />
<math>f(x)= x^2 </math><br \><br />
<br \><br />
<math>\int_a^x f(x)dx </math><br \><br />
<br \><br />
<math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \><br />
<br \><br />
<br \><br />
<br />
=== 2. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br />
<br \><br />
Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a"<br />
# Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden)<br />
# Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math><br />
# Stammfunktion in das Integral einsetzen<br />
# Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen<br />
# Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren<br />
# Man erhält die Integralfunktion<br />
<br \><br />
Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \><br />
<br \><br />
<math>f(t) = t^2</math><br \><br />
<br \><br />
<math>\int_1^x f(t)dt</math><br \><br />
<br \><br />
<math>=\int_1^x (t^2)dt</math><br \><br />
<br \><br />
<math>=[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \><br />
<br \><br />
<math>=(</math><math>\frac{1}{3}t^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \><br />
<br \><br />
<math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \><br />
<br \><br />
<br \><br />
<br />
=== 3. Ableitung einer Integralfunktion === <br />
<br \><br />
Ein Merkmal einer Integralfunktion ist, dass die Integralfunktion abgeleitet die eingesetzte Funktion f(x) ist. <br \><br />
Um das Integral bilden zu können, muss man die Funktion integrieren. <br \><br />
Wenn man nun also die Ableitung des Integrals bilden möchte, bildet man die Ableitung der Stammfunktion. <br \><br />
Das ist die Ausgangsfunktion.<br \><br />
<br \><br />
<br \><br />
<math>{I_a}(x) = \int_a^x f(t)dt </math><br \><br />
<br \><br />
<math>{I_a}(x) = F(x)-F(a)</math><br \><br />
<br \><br />
<math>{I_a}'(x) = F'(x)-0</math><br \><br />
<br \><br />
<math>{I_a}'(x)=f(x)</math><br \><br />
<br \><br />
<br \><br />
Beispiel mit <math>f(t)=t^2</math><br />
<br \><br />
<br \><br />
<math>f(t)=t^2</math><br \><br />
<br \><br />
<math>F(t)=\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \><br />
<br \><br />
<math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \><br />
<br \><br />
<math>{I_1}'(x)= (\frac{1}{3}x^3)'-(\frac{1}{3})'</math><br \><br />
<br \><br />
<math>{I_1}'(x)= x^2-0</math><br \><br />
<br \><br />
=== 4. Nullstelle einer Integralfunktion === <br />
<br \><br />
Die Nullstelle einer Integralfunktion ist immer die untere Grenze. <br \><br />
Da eine Integralfunktion aus einer bestimmten und aus einer unbestimmten Grenze besteht, kann man die Nullstelle einer Integralfunktion sehr einfach bestimmen. <br \><br />
Dafür muss man die bestimmte Grenze gleich der unbestimmten Grenze setzen.<br \><br />
Dadurch erhält man keine Fläche und die Lösung Funktion ist immer 0.<br \><br />
Die Integralfunktion von "a" bis "a" hat die Fläche 0.<br \><br />
Dies bedeutet, die Integralfunktion hat bei Stelle "a" eine Nullstelle.<br \><br />
<br \><br />
Beweis:<br \><br />
<br \><br />
# Eine Funktion <math>f(x)</math> und das Intervall <math>\int_a^x</math> ist gegeben<br />
# Stammfunktion bilden<br />
# Einsetzen<br />
# Ergebnis gleich Null setzen<br />
# Ergebnis = a<br />
<br \><br />
Beispiel mit <math>f(x)=x^2</math> und <math>\int_1^x</math>:<br \><br />
<br \><br />
<math>f(x)=x^2</math><br \><br />
<br \><br />
<math>F(x)=\frac{1}{3}x^3</math><br \><br />
<br \><br />
<math>\int_1^x=f(t)dt</math><br \><br />
<br \><br />
<math>\int_1^x=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \><br />
<br \><br />
<math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \><br />
<br \><br />
<math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3} | + \frac{1}{3}</math><br \><br />
<br \><br />
<math>\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x^3 | * 3</math><br \><br />
<br \><br />
<math>1=x^3 | \sqrt[3]{}</math><br \><br />
<br \><br />
<math>1=x</math><br \><br />
<br \></div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/Die_IntegralfunktionDie Integralfunktion2018-06-07T10:56:32Z<p>F.Bittermann: /* 1. Was ist eine Integralfunktion? */</p>
<hr />
<div>=== 1. Was ist eine Integralfunktion? ===<br />
<br />
Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \><br />
Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \><br />
Der Unterschied von einer Integralfunktion zu einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \><br />
wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, da man eine unbestimmte Grenze "x" in die Funktion einsetzt und integriert. <br \><br />
Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen den Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \><br />
Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \><br />
Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \><br />
<math>f(x)= x^2 </math><br \><br />
<br \><br />
<math>\int_a^x f(x)dx </math><br \><br />
<br \><br />
<math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \><br />
<br \><br />
<br \><br />
<br />
=== 2. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br />
<br \><br />
Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a"<br />
# Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden)<br />
# Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math><br />
# Stammfunktion in das Integral einsetzen<br />
# Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen<br />
# Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren<br />
# Man erhält die Integralfunktion<br />
<br \><br />
Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \><br />
<br \><br />
<math>f(t) = t^2</math><br \><br />
<br \><br />
<math>\int_1^x f(t)dt</math><br \><br />
<br \><br />
<math>\int_1^x (t^2)dt</math><br \><br />
<br \><br />
<math>[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \><br />
<br \><br />
<math>(</math><math>\frac{1}{3}t^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \><br />
<br \><br />
<math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \><br />
<br \><br />
<br \><br />
=== 3. Ableitung einer Integralfunktion === <br />
<br \><br />
Ein Merkmal einer Integralfunktion ist, dass die Integralfunktion abgeleitet die eingesetzte Funktion f(x) ist. <br \><br />
Um das Integral bilden zu können, muss man die Funktion integrieren. <br \><br />
Wenn man nun also die Ableitung des Integrals bilden möchte, bildet man die Ableitung der Stammfunktion. <br \><br />
Das ist die Ausgangsfunktion.<br \><br />
<br \><br />
<br \><br />
<math>{I_a}(x) = \int_a^x f(t)dt </math><br \><br />
<br \><br />
<math>{I_a}(x) = F(x)-F(a)</math><br \><br />
<br \><br />
<math>{I_a}'(x) = F'(x)-0</math><br \><br />
<br \><br />
<math>{I_a}'(x)=f(x)</math><br \><br />
<br \><br />
<br \><br />
Beispiel mit <math>f(t)=t^2</math><br />
<br \><br />
<br \><br />
<math>f(t)=t^2</math><br \><br />
<br \><br />
<math>F(t)=\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \><br />
<br \><br />
<math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \><br />
<br \><br />
<math>{I_1}'(x)= (\frac{1}{3}x^3)'-(\frac{1}{3})'</math><br \><br />
<br \><br />
<math>{I_1}'(x)= x^2-0</math><br \><br />
<br \><br />
=== 4. Nullstelle einer Integralfunktion === <br />
<br \><br />
Die Nullstelle einer Integralfunktion ist immer die untere Grenze. <br \><br />
Da eine Integralfunktion aus einer bestimmten und aus einer unbestimmten Grenze besteht, kann man die Nullstelle einer Integralfunktion sehr einfach bestimmen. <br \><br />
Dafür muss man die bestimmte Grenze gleich der unbestimmten Grenze setzen.<br \><br />
Dadurch erhält man keine Fläche und die Lösung Funktion ist immer 0.<br \><br />
Die Integralfunktion von "a" bis "a" hat die Fläche 0.<br \><br />
Dies bedeutet, die Integralfunktion hat bei Stelle "a" eine Nullstelle.<br \><br />
<br \><br />
Beweis:<br \><br />
<br \><br />
# Eine Funktion <math>f(x)</math> und das Intervall <math>\int_a^x</math> ist gegeben<br />
# Stammfunktion bilden<br />
# Einsetzen<br />
# Ergebnis gleich Null setzen<br />
# Ergebnis = a<br />
<br \><br />
Beispiel mit <math>f(x)=x^2</math> und <math>\int_1^x</math>:<br \><br />
<br \><br />
<math>f(x)=x^2</math><br \><br />
<br \><br />
<math>F(x)=\frac{1}{3}x^3</math><br \><br />
<br \><br />
<math>\int_1^x=f(t)dt</math><br \><br />
<br \><br />
<math>\int_1^x=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \><br />
<br \><br />
<math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \><br />
<br \><br />
<math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3} | + \frac{1}{3}</math><br \><br />
<br \><br />
<math>\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x^3 | * 3</math><br \><br />
<br \><br />
<math>1=x^3 | \sqrt[3]{}</math><br \><br />
<br \><br />
<math>1=x</math><br \><br />
<br \></div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/Winkelberechnungen_zwischen_Geraden_und_EbenenWinkelberechnungen zwischen Geraden und Ebenen2017-02-19T20:10:08Z<p>F.Bittermann: </p>
<hr />
<div>'''Schnittwinkel zwischen zwei Geraden'''<br />
<br />
Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen vier Winkel, zwei mit <math>\alpha</math>(<math>\alpha</math> <math>\le</math> 90°)und zwei mit 180°-<math>\alpha</math>.<br />
Der Schnittwinkel der beiden Geraden ist der Winkel, der kleiner oder gleich 90° ist. Wenn <math> \vec u</math> und <math>\vec v</math> <u>Richtungsvektoren</u> sind, kann man den Schnittwinkel <math>\alpha</math> mit der folgenden Formel berechnen: cos(<math>\alpha</math>)= <math>\dfrac{|\vec u \circ \vec v|}{|\vec u| \cdot |\vec v|}</math> <br />
Es wird der cosinus verwendet, da man den Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren bildet und dazu die Längen der Richtungsvektoren verwendet. <br />
[[Datei:gerade gerade.gif|miniatur]]<br />
<br />
Beispielaufgabe: <br />
Gegeben: <br /><br />
<br />
<math>g:{\vec x}= \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}</math> <br /><br />
<math>h:{\vec x}= \begin{pmatrix}5\\3\\0\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}</math><br />
<br />
Gesucht: Schnittwinkel <math>\alpha</math> <br /><br />
<br />
<math> cos \alpha = \dfrac{\left|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix} \right|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2} \cdot \sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}}</math><br /><br />
Schnittwinkel <math>\alpha</math>= 70,9°<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen'''<br />
<br />
Der Schnittwinkel <math>\alpha</math> zwischen zwei Ebenen ist der Schnittwinkel zweier Geraden g und h, die in einer der beiden Ebenen liegen und orthogonal zu der Schnittgeraden s der Ebenen sind. Der Schnittwinkel <math>\alpha</math> wird mit der folgenden Formel berechnet, da dieser Winkel dem Winkel zwischen den Normalvektoren <math>\vec n_1</math> und <math>\vec n_2</math> der Ebene gleich ist.<br />
<br />
<math>cos(\alpha)= \dfrac{| \vec n_1 \circ \vec n_2|}{|\vec n_1| \cdot |\vec n_2|} </math><br />
[[Datei:ebene ebne.gif|miniatur]]<br />
<br />
Beispielaufgabe:<br />
Geg.:<br /><br />
<br />
<math>E_{1}: 2x_{1}+x_{2}-x_{3}=12 </math><br />
<br />
<math>E_{2}:\left[{\vec x}-\begin{pmatrix}1\\5\\5\end{pmatrix} \right] \circ \begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}=0 </math><br />
<br />
Ges.: Schnittwinkel <math>\alpha</math><br /><br />
<br />
<math>cos(\alpha)=\dfrac{ \left|\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix} \right|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{(-3)^2+1^2+1^2}} = \dfrac{6}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{11}}</math> <br />
<br />
Schnittwinkel <math>\alpha</math>= 42,4° <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene'''<br />
<br />
Wenn man das Lot einer Geraden g auf die Ebene E fällt, erhält man in der Ebenen eine Gerade g'.<u>Der Winkel</u> der zwischen der Geraden g und g' gibt den Schnittwinkel <math>\alpha</math> der Geraden g und der Ebene E an. Der Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Normalenvektor <math>\vec n</math> der Ebene E und dem Richtungsvektor <math>\vec u</math> der Geraden g ergänzt den Schnittwinkel <math>\alpha</math> zu 90°.<br />
sin(<math>\alpha</math>)= <math>\dfrac{|\vec u \circ \vec n|}{|\vec u| \cdot |\vec n|}</math> <br />
Es kommt ganz darauf an, was gegeben ist, hier bietet sich der sinus an, da man mit cosinus in diesem Fall den Winkel zwischen dem Vektor n und dem Richtngsvektor r berechnen würde und dann müsste man noch -90° rechnen. <br />
[[Datei:gerade ebene 2.gif|miniatur]]<br />
<br />
Beispielaufgabe:<br />
Geg.:<br /><br />
<math>g:{\vec x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}</math><br />
<br />
<math>E_{1}:2x_{1}+x_{2}-x_{3}=12 </math><br />
<br />
Ges.: Schnittwinkel <math>\alpha</math><br /><br />
<br />
<math>sin(\alpha)=\dfrac{ \left|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} \right|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2} \cdot \sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}}</math> <br />
<br />
Schnittwinkel <math>\alpha</math>= 19,1°<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''Abstand zwischen windschiefen Geraden'''<br />
<br />
Der Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden ist die <u>kleinste Entfernung zwischen den Punkten</u> von den Geraden g und h.<br />
Wenn G bzw. H Punkte auf den Geraden <math>g:{\vec x}={\vec p}+s \cdot {\vec u}</math> bzw. <math>h:{\vec x}={\vec q}+t \cdot {\vec v}</math> sind, dann gilt:<br />
(1) <math>{\overrightarrow {GH}} \circ {\vec u}=0</math> und <br />
(2) <math>{\overrightarrow {GH}} \circ {\vec v}=0</math>,<br />
dann ist <math>{|\overrightarrow {GH}|}</math> der Abstand der beiden Geraden g und h.</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/Lagebeziehungen_zwischen_Gerade_und_EbeneLagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene2017-01-25T12:33:35Z<p>F.Bittermann: /* Nr. 2 Parallel, identisch oder Schnittpunkt */</p>
<hr />
<div>==== Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene ====<br />
Gerade und Ebene können verschieden zueinander im dreidimensionalen Raum liegen. Dabei unterscheidet man zwischen diesen drei Möglichkeiten.<br /><br />
<br />
1. Möglichkeit: Gerade und Ebene <u>schneiden sich</u><br /><br />
<br />
2. Möglichkeit: Gerade und Ebene verlaufen <u>parallel</u><br /><br />
<br />
3. Möglichkeit: Gerade und Ebene sind <u>liegen ineinander</u><br /><br /><br />
<br />
Wie du die verschiedenen Fälle mit Hilfe eines LGS unterscheiden kannst, ist in der Tabelle genau aufgelistet. Schau sie dir deshalb gut an.<br /><br />
[[Bild:Gfs Lagebeziehungen Gerade Ebene.odt - OpenOffice Writer 21.11.2016 170233.bmp.jpg|Lagebeziehungen Gerade Ebene]]<br /><br />
<br /><br />
<br />
== Vorgehen ==<br />
Um die Lagebeziehung von Ebene und Gerade zu untersuchen, musst du unterschiedlich vorgehen - das hängt von der Art der Ebenendarstellung ab.<br />
==== Ebene in Parameterform ====<br />
<math>E: \vec x = \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E}</math><br /><br />
<math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot\vec R_{g}</math><br /><br />
<br /><br />
===== 1. Überprüfung "parallel": =====<br />
→ Skalarprodukt vom Normalenvektor der Ebene und Richtungsvektor der Gerade ausrechnen<br /><br />
<br />
<math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /><br /><br />
Der Normalenvektor der Ebene ist senkrecht zur Ebene. Ist der Richtungsvektor der Gerade senkrecht zum Normalenvektor der Ebene (Skalarprodukt gleich Null), dann ist die Gerade entweder parallel zur Ebene oder liegt in der Ebene.<br /><br />
Überprüfe dies durch den 2. Schritt.<br /><br />
<br />
''Anmerkung: Normalenvektor: <math> \vec n= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E}</math> ; das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene''<br /><br />
<br /><br />
<br />
===== 2. Überprüfung "identisch": =====<br />
→ Punktprobe durchführen <br /><br />
Entweder liegt der Punkt, du dem der Stützvektor der Gerade führt, in der Ebene, oder liegt der Punkt, zu dem der Stützvektor der Ebene führt, auf der Gerade.<br />
<br />
Punktprobe für den ersten Fall:<br /><br />
<br />
<math>\vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + r \cdot\vec R_{2E} = \vec S_{g}</math><br /><br />
<br />
Hat diese Gleichung eine Lösung? <br /><br />
* wenn ja, E und g sind identisch<br /> <br />
* wenn nein, E und g sind parallel. <br /><br />
<br /><br />
<br />
===== 3. Schnittpunkt berechnen: =====<br />
Ist die Gerade weder identisch noch parallel zur Ebene, dann muss die Gerade die Ebene schneiden.<br /><br />
Zur Berechnung des Schnittpunktes stelle ein komplettes LGS auf und löse dieses. <br /><br />
<br />
<math> \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E} = \vec S_{g} + u \cdot \vec R_{S}</math> <br /><br />
<br /><br />
'' Anmerkung: Löse nach u auf '' <br /><br />
<br /><br />
→ Setze u in die Gerade g ein und berechne die Koordinaten des Ortsvektors, der zum Schnittpunkt führt.<br />
<br /> <br /><br />
==== Ebene in Koordinatengleichung ====<br />
<math>E: a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a_{3}x_{3} = b </math><br /><br />
<math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot \vec R_{g}</math> <br /><br />
<br /><br />
Vorgehen:<br /><br />
Die Gerade g in Ebene E einsetzen. Dazu die Gerade g zeilenweise für x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub> in Gleichung der Ebene E einsetzen. Damit kannst du den Parameter t bestimmen. t in die Gleichung der Gerade einsetzen und den Ortsvektor des Schnittpunktes berechnen. <br /><br />
<br /><br />
[[Bild:Vorgehen bei verschiedenen Lösungen.jpg|thumb|none|350px|Schaubild für das Lösen der Koordinatenform bei Lagebeziehungen von Gerade und Ebene]]<br />
<br /><br />
<br /><br />
<br />
==Beispiele==<br />
====Beispiel Nr. 1 Koordinatenform:====<br />
<math>E: \vec x=-x_{1}+2x_{2}+x_{3}=5</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
Die Gerade g Zeilenweise für x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub> in Ebene E einsetzen <br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)\longrightarrow \begin{matrix}<br />
x_{1}= & -1+2t \\<br />
x_{2}= & 6-t \\<br />
x_{3}= & -6+3t<br />
\end{matrix}</math><br /><br /><br />
<math> E: \vec x= -(-1+2t) + 2 \cdot (6-t) + (-6-3t) = 5 </math><br /><br />
<math>1 - 2t + 12 - 2t - 6 + 3t= 5</math><br /><br />
<math>-2t - 2t + 3t + 7= 5 | -7</math><br /><br />
<math>-t = -2</math><br /><br />
<math>t = 2</math><br /><br /><br />
<math> t </math> in Gerade g einsetzen:<br /><br />
<math> g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right) + 2 \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 3\\4\\0 \end{matrix}\right) \longrightarrow S(3/4/0) </math><br /><br />
<br /><br />
<br />
====Beispeil Nr. 2 Parameterform:====<br />
<math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-4 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
Auf "Parallelität" überprüfen:<br /><br />
<math>\longrightarrow</math> Normalenvektor von Ebene E ausrechnen <br /><br />
<math> \vec u= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E} = \left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right)= \vec n</math><br /><br /><br />
<math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /><br />
<math>\left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right) = 0 \longrightarrow 102+73= 157 \ne 0</math><br /><br /><br />
Ergebnis ist ungleich 0, also das LGS lösen:<br />
<math>\begin{matrix}<br />
0-5r+2s= &3+2t \\<br />
0+3r+3s= &2+t \\<br />
-4-4r+13s= &1<br />
\end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix}<br />
-2t-5r+2s= &3 \\<br />
-t+3r+3s= &2 \\<br />
-4r+13s= &5<br />
\end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix}<br />
-2t-5r+2s= &3 \\<br />
-t+3r+3s= &2<br />
\end{matrix}</math><br />
<br />
==Aufgaben==<br />
====Nr. 1 Parallelität====<br />
Zeige, dass die Gerade h parallel zur Ebene E ist. <br /><br /><br />
<math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br/><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br/><br />
<popup name="Hinweis"><br />
<math>\left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math></popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
0=7 → keine Lösung, daher parallel!<br />
</popup><br /><br /><br />
====Nr. 2 Parallel, identisch oder Schnittpunkt====<br />
Untersuche ob Ebene E und Gerade g sich schneiden. Ist dies nicht der Fall, überprüfe ob g und E identisch sind oder parallel. <br /><br /><br />
a.)<br /><br />
<math>E: \vec x= 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-2\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<popup name="Hinweis 1"><br />
Setze Gerade g in Ebene E ein.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 2"><br />
<math>E: 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /><br />
<math>3(2+t)-2(0-2t)+7(0-t)=4</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
0=-10 → parallel<br />
</popup><br /><br />
<br /><br />
b.)<br /><br />
<math>E:\vec x=-2,5x_{1}-o,5x_{2}+2x_{3}=0</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<popup name="Hinweis 1"><br />
<math>-2,5(2+t)-0,5(0+t)+2(t)=0</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 2"><br />
Setze "t" in die Gerade g ein.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 3"><br />
t=-5 ; sie sind weder parallel noch identisch<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
S(-3/-5/-5)<br />
</popup><br /><br />
<br /><br />
c.)<br /><br />
<math>E: \vec x=-2,5x_{1}-0,5x_{2}+3x_{3}=-5</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<popup name="Hinweis 1"><br />
<math>-2,5(2+t)-0,5(t)+3(t)=-5</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
0=-10 → parallel<br />
</popup><br /><br />
<br /><br />
d.)<br /><br />
<math>E: \begin{bmatrix}<br />
\vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\2\\1 \end{matrix}\right) \\<br />
\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-1\\1 \end{matrix}\right) =0</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right)+\left( \begin{matrix} 2\\-2\\1 \end{matrix}\right) \cdot t </math><br /><br /><br />
<popup name="Hinweis 1"><br />
Stelle Ebene E als Koordinatenform um.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 2"><br />
Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot 3+(x_{2}-2) \cdot (-1)+(x_{3}-1) \cdot 1=0</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 3"><br />
<math>E: \vec x= 3x_{1}-x_{2}+x_{3}=5</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 4"><br />
Setze Gerade g in die Ebene E ein.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 5"><br />
t=0 ; → sie sind weder parallel noch identisch.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
S(1/0/2)<br />
</popup><br /><br />
<br /><br />
e.)<br /><br />
<math>E: \begin{bmatrix}<br />
\vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\4\\3 \end{matrix}\right) \\<br />
\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -2\\1\\2 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\6\\5 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<popup name="Hinweis 1"><br />
Stelle Ebene E als Koordinatenform um.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 2"><br />
Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot (-2)+(x_{2}-4) \cdot 1+(x_{3}-3) \cdot 2=0</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 3"><br />
<math>E: \vec x= 2x_{1}+x_{2}+2x_{3}=6</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 4"><br />
Setze Gerade g in die Ebene E ein.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
0=-12 → parallel<br />
</popup><br /><br />
<br /><br />
f.)<br /><br />
<math>E: \begin{bmatrix}<br />
\vec x & -\left( \begin{matrix} -2\\4\\-1 \end{matrix}\right) \\<br />
\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -3\\1\\0 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\6 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<popup name="Hinweis 3"><br />
<math>E: \vec x= -3x_{1}+x_{2}=10</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 4"><br />
Setze Gerade g in die Ebene E ein.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
0=13 → parallel<br />
</popup><br /><br />
<br /><br />
<br />
====Nr. 3 Schnittpunkt====<br />
Untersuche die gegenseitige Lage von Ebene E und Gerade g. <br /><br /><br />
<math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right) +r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\2 \end{matrix}\right) +s \cdot \left( \begin{matrix} 3\\0\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\1\\2 \end{matrix}\right) +t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\4\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<popup name="Hinweis 1"><br />
Skalarprodukt ausrechnen.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 2"><br />
<math> \vec n= \left( \begin{matrix} 1\\5\\-3 \end{matrix}\right)</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 3"><br />
10 ≠ 0 ; → sie sind entweder parallel oder identisch.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 4"><br />
LGS aufstellen und lösen.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 5"><br />
<math>t= - \frac{1}{2} ; r=0 ; s=1,5 </math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 6"><br />
Schnittpunkt ausrechnen.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
S(5,5/-1/0,5)<br />
</popup><br /><br />
<br /><br /><br />
[[Benutzer:MeJvzm-fsg|MeJvzm-fsg]] ([[Benutzer Diskussion:MeJvzm-fsg|Diskussion]]) 14:00, 18. Sep. 2016 (CET) M.Entenmann</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/Lagebeziehungen_zwischen_Gerade_und_EbeneLagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene2017-01-25T12:32:10Z<p>F.Bittermann: /* Beispeil Nr. 2 Parameterform: */</p>
<hr />
<div>==== Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene ====<br />
Gerade und Ebene können verschieden zueinander im dreidimensionalen Raum liegen. Dabei unterscheidet man zwischen diesen drei Möglichkeiten.<br /><br />
<br />
1. Möglichkeit: Gerade und Ebene <u>schneiden sich</u><br /><br />
<br />
2. Möglichkeit: Gerade und Ebene verlaufen <u>parallel</u><br /><br />
<br />
3. Möglichkeit: Gerade und Ebene sind <u>liegen ineinander</u><br /><br /><br />
<br />
Wie du die verschiedenen Fälle mit Hilfe eines LGS unterscheiden kannst, ist in der Tabelle genau aufgelistet. Schau sie dir deshalb gut an.<br /><br />
[[Bild:Gfs Lagebeziehungen Gerade Ebene.odt - OpenOffice Writer 21.11.2016 170233.bmp.jpg|Lagebeziehungen Gerade Ebene]]<br /><br />
<br /><br />
<br />
== Vorgehen ==<br />
Um die Lagebeziehung von Ebene und Gerade zu untersuchen, musst du unterschiedlich vorgehen - das hängt von der Art der Ebenendarstellung ab.<br />
==== Ebene in Parameterform ====<br />
<math>E: \vec x = \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E}</math><br /><br />
<math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot\vec R_{g}</math><br /><br />
<br /><br />
===== 1. Überprüfung "parallel": =====<br />
→ Skalarprodukt vom Normalenvektor der Ebene und Richtungsvektor der Gerade ausrechnen<br /><br />
<br />
<math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /><br /><br />
Der Normalenvektor der Ebene ist senkrecht zur Ebene. Ist der Richtungsvektor der Gerade senkrecht zum Normalenvektor der Ebene (Skalarprodukt gleich Null), dann ist die Gerade entweder parallel zur Ebene oder liegt in der Ebene.<br /><br />
Überprüfe dies durch den 2. Schritt.<br /><br />
<br />
''Anmerkung: Normalenvektor: <math> \vec n= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E}</math> ; das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene''<br /><br />
<br /><br />
<br />
===== 2. Überprüfung "identisch": =====<br />
→ Punktprobe durchführen <br /><br />
Entweder liegt der Punkt, du dem der Stützvektor der Gerade führt, in der Ebene, oder liegt der Punkt, zu dem der Stützvektor der Ebene führt, auf der Gerade.<br />
<br />
Punktprobe für den ersten Fall:<br /><br />
<br />
<math>\vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + r \cdot\vec R_{2E} = \vec S_{g}</math><br /><br />
<br />
Hat diese Gleichung eine Lösung? <br /><br />
* wenn ja, E und g sind identisch<br /> <br />
* wenn nein, E und g sind parallel. <br /><br />
<br /><br />
<br />
===== 3. Schnittpunkt berechnen: =====<br />
Ist die Gerade weder identisch noch parallel zur Ebene, dann muss die Gerade die Ebene schneiden.<br /><br />
Zur Berechnung des Schnittpunktes stelle ein komplettes LGS auf und löse dieses. <br /><br />
<br />
<math> \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E} = \vec S_{g} + u \cdot \vec R_{S}</math> <br /><br />
<br /><br />
'' Anmerkung: Löse nach u auf '' <br /><br />
<br /><br />
→ Setze u in die Gerade g ein und berechne die Koordinaten des Ortsvektors, der zum Schnittpunkt führt.<br />
<br /> <br /><br />
==== Ebene in Koordinatengleichung ====<br />
<math>E: a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a_{3}x_{3} = b </math><br /><br />
<math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot \vec R_{g}</math> <br /><br />
<br /><br />
Vorgehen:<br /><br />
Die Gerade g in Ebene E einsetzen. Dazu die Gerade g zeilenweise für x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub> in Gleichung der Ebene E einsetzen. Damit kannst du den Parameter t bestimmen. t in die Gleichung der Gerade einsetzen und den Ortsvektor des Schnittpunktes berechnen. <br /><br />
<br /><br />
[[Bild:Vorgehen bei verschiedenen Lösungen.jpg|thumb|none|350px|Schaubild für das Lösen der Koordinatenform bei Lagebeziehungen von Gerade und Ebene]]<br />
<br /><br />
<br /><br />
<br />
==Beispiele==<br />
====Beispiel Nr. 1 Koordinatenform:====<br />
<math>E: \vec x=-x_{1}+2x_{2}+x_{3}=5</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
Die Gerade g Zeilenweise für x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub> in Ebene E einsetzen <br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)\longrightarrow \begin{matrix}<br />
x_{1}= & -1+2t \\<br />
x_{2}= & 6-t \\<br />
x_{3}= & -6+3t<br />
\end{matrix}</math><br /><br /><br />
<math> E: \vec x= -(-1+2t) + 2 \cdot (6-t) + (-6-3t) = 5 </math><br /><br />
<math>1 - 2t + 12 - 2t - 6 + 3t= 5</math><br /><br />
<math>-2t - 2t + 3t + 7= 5 | -7</math><br /><br />
<math>-t = -2</math><br /><br />
<math>t = 2</math><br /><br /><br />
<math> t </math> in Gerade g einsetzen:<br /><br />
<math> g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right) + 2 \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 3\\4\\0 \end{matrix}\right) \longrightarrow S(3/4/0) </math><br /><br />
<br /><br />
<br />
====Beispeil Nr. 2 Parameterform:====<br />
<math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-4 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
Auf "Parallelität" überprüfen:<br /><br />
<math>\longrightarrow</math> Normalenvektor von Ebene E ausrechnen <br /><br />
<math> \vec u= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E} = \left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right)= \vec n</math><br /><br /><br />
<math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /><br />
<math>\left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right) = 0 \longrightarrow 102+73= 157 \ne 0</math><br /><br /><br />
Ergebnis ist ungleich 0, also das LGS lösen:<br />
<math>\begin{matrix}<br />
0-5r+2s= &3+2t \\<br />
0+3r+3s= &2+t \\<br />
-4-4r+13s= &1<br />
\end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix}<br />
-2t-5r+2s= &3 \\<br />
-t+3r+3s= &2 \\<br />
-4r+13s= &5<br />
\end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix}<br />
-2t-5r+2s= &3 \\<br />
-t+3r+3s= &2<br />
\end{matrix}</math><br />
<br />
==Aufgaben==<br />
====Nr. 1 Parallelität====<br />
Zeige, dass die Gerade h parallel zur Ebene E ist. <br /><br /><br />
<math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br/><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br/><br />
<popup name="Hinweis"><br />
<math>\left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math></popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
0=7 → keine Lösung, daher parallel!<br />
</popup><br /><br /><br />
====Nr. 2 Parallel, identisch oder Schnittpunkt====<br />
Untersuche ob Ebene E und Gerade g sich schneiden. Ist dies nicht der Fall, überprüfe ob g und E identisch sind oder parallel. <br /><br /><br />
a.)<br /><br />
<math>E: \vec x= 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-2\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<popup name="Hinweis 1"><br />
Setze Gerade g in Ebene E ein.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 2"><br />
<math>E: 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /><br />
<math>3(2+t)-2(0-2t)+7(0-t)=4</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
0=-10 → parallel<br />
</popup><br /><br />
<br /><br />
b.)<br /><br />
<math>E:\vec x=-2,5x_{1}-o,5x_{2}+2x_{3}=0</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br />br /><br />
<popup name="Hinweis 1"><br />
<math>-2,5(2+t)-0,5(0+t)+2(t)=0</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 2"><br />
Setze "t" in die Gerade g ein.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 3"><br />
t=-5 ; sie sind weder parallel noch identisch<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
S(-3/-5/-5)<br />
</popup><br /><br />
<br /><br />
c.)<br /><br />
<math>E: \vec x=-2,5x_{1}-0,5x_{2}+3x_{3}=-5</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<popup name="Hinweis 1"><br />
<math>-2,5(2+t)-0,5(t)+3(t)=-5</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
0=-10 → parallel<br />
</popup><br /><br />
<br /><br />
d.)<br /><br />
<math>E: \begin{bmatrix}<br />
\vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\2\\1 \end{matrix}\right) \\<br />
\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-1\\1 \end{matrix}\right) =0</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right)+\left( \begin{matrix} 2\\-2\\1 \end{matrix}\right) \cdot t </math><br /><br /><br />
<popup name="Hinweis 1"><br />
Stelle Ebene E als Koordinatenform um.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 2"><br />
Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot 3+(x_{2}-2) \cdot (-1)+(x_{3}-1) \cdot 1=0</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 3"><br />
<math>E: \vec x= 3x_{1}-x_{2}+x_{3}=5</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 4"><br />
Setze Gerade g in die Ebene E ein.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 5"><br />
t=0 ; → sie sind weder parallel noch identisch.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
S(1/0/2)<br />
</popup><br /><br />
<br /><br />
e.)<br /><br />
<math>E: \begin{bmatrix}<br />
\vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\4\\3 \end{matrix}\right) \\<br />
\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -2\\1\\2 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\6\\5 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<popup name="Hinweis 1"><br />
Stelle Ebene E als Koordinatenform um.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 2"><br />
Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot (-2)+(x_{2}-4) \cdot 1+(x_{3}-3) \cdot 2=0</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 3"><br />
<math>E: \vec x= 2x_{1}+x_{2}+2x_{3}=6</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 4"><br />
Setze Gerade g in die Ebene E ein.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
0=-12 → parallel<br />
</popup><br /><br />
<br /><br />
f.)<br /><br />
<math>E: \begin{bmatrix}<br />
\vec x & -\left( \begin{matrix} -2\\4\\-1 \end{matrix}\right) \\<br />
\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -3\\1\\0 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\6 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<popup name="Hinweis 3"><br />
<math>E: \vec x= -3x_{1}+x_{2}=10</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 4"><br />
Setze Gerade g in die Ebene E ein.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
0=13 → parallel<br />
</popup><br /><br />
<br /><br />
====Nr. 3 Schnittpunkt====<br />
Untersuche die gegenseitige Lage von Ebene E und Gerade g. <br /><br /><br />
<math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right) +r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\2 \end{matrix}\right) +s \cdot \left( \begin{matrix} 3\\0\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\1\\2 \end{matrix}\right) +t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\4\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<popup name="Hinweis 1"><br />
Skalarprodukt ausrechnen.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 2"><br />
<math> \vec n= \left( \begin{matrix} 1\\5\\-3 \end{matrix}\right)</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 3"><br />
10 ≠ 0 ; → sie sind entweder parallel oder identisch.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 4"><br />
LGS aufstellen und lösen.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 5"><br />
<math>t= - \frac{1}{2} ; r=0 ; s=1,5 </math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 6"><br />
Schnittpunkt ausrechnen.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
S(5,5/-1/0,5)<br />
</popup><br /><br />
<br /><br /><br />
[[Benutzer:MeJvzm-fsg|MeJvzm-fsg]] ([[Benutzer Diskussion:MeJvzm-fsg|Diskussion]]) 14:00, 18. Sep. 2016 (CET) M.Entenmann</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/Lagebeziehungen_zwischen_Gerade_und_EbeneLagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene2017-01-25T12:31:18Z<p>F.Bittermann: /* Ebene in Koordinatengleichung */</p>
<hr />
<div>==== Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene ====<br />
Gerade und Ebene können verschieden zueinander im dreidimensionalen Raum liegen. Dabei unterscheidet man zwischen diesen drei Möglichkeiten.<br /><br />
<br />
1. Möglichkeit: Gerade und Ebene <u>schneiden sich</u><br /><br />
<br />
2. Möglichkeit: Gerade und Ebene verlaufen <u>parallel</u><br /><br />
<br />
3. Möglichkeit: Gerade und Ebene sind <u>liegen ineinander</u><br /><br /><br />
<br />
Wie du die verschiedenen Fälle mit Hilfe eines LGS unterscheiden kannst, ist in der Tabelle genau aufgelistet. Schau sie dir deshalb gut an.<br /><br />
[[Bild:Gfs Lagebeziehungen Gerade Ebene.odt - OpenOffice Writer 21.11.2016 170233.bmp.jpg|Lagebeziehungen Gerade Ebene]]<br /><br />
<br /><br />
<br />
== Vorgehen ==<br />
Um die Lagebeziehung von Ebene und Gerade zu untersuchen, musst du unterschiedlich vorgehen - das hängt von der Art der Ebenendarstellung ab.<br />
==== Ebene in Parameterform ====<br />
<math>E: \vec x = \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E}</math><br /><br />
<math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot\vec R_{g}</math><br /><br />
<br /><br />
===== 1. Überprüfung "parallel": =====<br />
→ Skalarprodukt vom Normalenvektor der Ebene und Richtungsvektor der Gerade ausrechnen<br /><br />
<br />
<math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /><br /><br />
Der Normalenvektor der Ebene ist senkrecht zur Ebene. Ist der Richtungsvektor der Gerade senkrecht zum Normalenvektor der Ebene (Skalarprodukt gleich Null), dann ist die Gerade entweder parallel zur Ebene oder liegt in der Ebene.<br /><br />
Überprüfe dies durch den 2. Schritt.<br /><br />
<br />
''Anmerkung: Normalenvektor: <math> \vec n= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E}</math> ; das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene''<br /><br />
<br /><br />
<br />
===== 2. Überprüfung "identisch": =====<br />
→ Punktprobe durchführen <br /><br />
Entweder liegt der Punkt, du dem der Stützvektor der Gerade führt, in der Ebene, oder liegt der Punkt, zu dem der Stützvektor der Ebene führt, auf der Gerade.<br />
<br />
Punktprobe für den ersten Fall:<br /><br />
<br />
<math>\vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + r \cdot\vec R_{2E} = \vec S_{g}</math><br /><br />
<br />
Hat diese Gleichung eine Lösung? <br /><br />
* wenn ja, E und g sind identisch<br /> <br />
* wenn nein, E und g sind parallel. <br /><br />
<br /><br />
<br />
===== 3. Schnittpunkt berechnen: =====<br />
Ist die Gerade weder identisch noch parallel zur Ebene, dann muss die Gerade die Ebene schneiden.<br /><br />
Zur Berechnung des Schnittpunktes stelle ein komplettes LGS auf und löse dieses. <br /><br />
<br />
<math> \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E} = \vec S_{g} + u \cdot \vec R_{S}</math> <br /><br />
<br /><br />
'' Anmerkung: Löse nach u auf '' <br /><br />
<br /><br />
→ Setze u in die Gerade g ein und berechne die Koordinaten des Ortsvektors, der zum Schnittpunkt führt.<br />
<br /> <br /><br />
==== Ebene in Koordinatengleichung ====<br />
<math>E: a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a_{3}x_{3} = b </math><br /><br />
<math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot \vec R_{g}</math> <br /><br />
<br /><br />
Vorgehen:<br /><br />
Die Gerade g in Ebene E einsetzen. Dazu die Gerade g zeilenweise für x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub> in Gleichung der Ebene E einsetzen. Damit kannst du den Parameter t bestimmen. t in die Gleichung der Gerade einsetzen und den Ortsvektor des Schnittpunktes berechnen. <br /><br />
<br /><br />
[[Bild:Vorgehen bei verschiedenen Lösungen.jpg|thumb|none|350px|Schaubild für das Lösen der Koordinatenform bei Lagebeziehungen von Gerade und Ebene]]<br />
<br /><br />
<br /><br />
<br />
==Beispiele==<br />
====Beispiel Nr. 1 Koordinatenform:====<br />
<math>E: \vec x=-x_{1}+2x_{2}+x_{3}=5</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
Die Gerade g Zeilenweise für x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub> in Ebene E einsetzen <br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)\longrightarrow \begin{matrix}<br />
x_{1}= & -1+2t \\<br />
x_{2}= & 6-t \\<br />
x_{3}= & -6+3t<br />
\end{matrix}</math><br /><br /><br />
<math> E: \vec x= -(-1+2t) + 2 \cdot (6-t) + (-6-3t) = 5 </math><br /><br />
<math>1 - 2t + 12 - 2t - 6 + 3t= 5</math><br /><br />
<math>-2t - 2t + 3t + 7= 5 | -7</math><br /><br />
<math>-t = -2</math><br /><br />
<math>t = 2</math><br /><br /><br />
<math> t </math> in Gerade g einsetzen:<br /><br />
<math> g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right) + 2 \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 3\\4\\0 \end{matrix}\right) \longrightarrow S(3/4/0) </math><br /><br />
<br /><br />
<br />
====Beispeil Nr. 2 Parameterform:====<br />
<math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-4 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
Auf "parallelität" überprüfen:<br /><br />
<math>\longrightarrow</math> Normalenvektor von Ebene E ausrechnen <br /><br />
<math> \vec u= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E} = \left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right)= \vec n</math><br /><br /><br />
<math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /><br />
<math>\left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right) = 0 \longrightarrow 102+73= 157 \ne 0</math><br /><br /><br />
Ergebnis ist ungleich 0, also das LGS lösen:<br />
<math>\begin{matrix}<br />
0-5r+2s= &3+2t \\<br />
0+3r+3s= &2+t \\<br />
-4-4r+13s= &1<br />
\end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix}<br />
-2t-5r+2s= &3 \\<br />
-t+3r+3s= &2 \\<br />
-4r+13s= &5<br />
\end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix}<br />
-2t-5r+2s= &3 \\<br />
-t+3r+3s= &2<br />
\end{matrix}</math><br />
==Aufgaben==<br />
====Nr. 1 Parallelität====<br />
Zeige, dass die Gerade h parallel zur Ebene E ist. <br /><br /><br />
<math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br/><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br/><br />
<popup name="Hinweis"><br />
<math>\left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math></popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
0=7 → keine Lösung, daher parallel!<br />
</popup><br /><br /><br />
====Nr. 2 Parallel, identisch oder Schnittpunkt====<br />
Untersuche ob Ebene E und Gerade g sich schneiden. Ist dies nicht der Fall, überprüfe ob g und E identisch sind oder parallel. <br /><br /><br />
a.)<br /><br />
<math>E: \vec x= 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-2\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<popup name="Hinweis 1"><br />
Setze Gerade g in Ebene E ein.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 2"><br />
<math>E: 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /><br />
<math>3(2+t)-2(0-2t)+7(0-t)=4</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
0=-10 → parallel<br />
</popup><br /><br />
<br /><br />
b.)<br /><br />
<math>E:\vec x=-2,5x_{1}-o,5x_{2}+2x_{3}=0</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br />br /><br />
<popup name="Hinweis 1"><br />
<math>-2,5(2+t)-0,5(0+t)+2(t)=0</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 2"><br />
Setze "t" in die Gerade g ein.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 3"><br />
t=-5 ; sie sind weder parallel noch identisch<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
S(-3/-5/-5)<br />
</popup><br /><br />
<br /><br />
c.)<br /><br />
<math>E: \vec x=-2,5x_{1}-0,5x_{2}+3x_{3}=-5</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<popup name="Hinweis 1"><br />
<math>-2,5(2+t)-0,5(t)+3(t)=-5</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
0=-10 → parallel<br />
</popup><br /><br />
<br /><br />
d.)<br /><br />
<math>E: \begin{bmatrix}<br />
\vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\2\\1 \end{matrix}\right) \\<br />
\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-1\\1 \end{matrix}\right) =0</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right)+\left( \begin{matrix} 2\\-2\\1 \end{matrix}\right) \cdot t </math><br /><br /><br />
<popup name="Hinweis 1"><br />
Stelle Ebene E als Koordinatenform um.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 2"><br />
Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot 3+(x_{2}-2) \cdot (-1)+(x_{3}-1) \cdot 1=0</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 3"><br />
<math>E: \vec x= 3x_{1}-x_{2}+x_{3}=5</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 4"><br />
Setze Gerade g in die Ebene E ein.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 5"><br />
t=0 ; → sie sind weder parallel noch identisch.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
S(1/0/2)<br />
</popup><br /><br />
<br /><br />
e.)<br /><br />
<math>E: \begin{bmatrix}<br />
\vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\4\\3 \end{matrix}\right) \\<br />
\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -2\\1\\2 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\6\\5 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<popup name="Hinweis 1"><br />
Stelle Ebene E als Koordinatenform um.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 2"><br />
Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot (-2)+(x_{2}-4) \cdot 1+(x_{3}-3) \cdot 2=0</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 3"><br />
<math>E: \vec x= 2x_{1}+x_{2}+2x_{3}=6</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 4"><br />
Setze Gerade g in die Ebene E ein.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
0=-12 → parallel<br />
</popup><br /><br />
<br /><br />
f.)<br /><br />
<math>E: \begin{bmatrix}<br />
\vec x & -\left( \begin{matrix} -2\\4\\-1 \end{matrix}\right) \\<br />
\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -3\\1\\0 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\6 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<popup name="Hinweis 3"><br />
<math>E: \vec x= -3x_{1}+x_{2}=10</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 4"><br />
Setze Gerade g in die Ebene E ein.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
0=13 → parallel<br />
</popup><br /><br />
<br /><br />
====Nr. 3 Schnittpunkt====<br />
Untersuche die gegenseitige Lage von Ebene E und Gerade g. <br /><br /><br />
<math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right) +r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\2 \end{matrix}\right) +s \cdot \left( \begin{matrix} 3\\0\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\1\\2 \end{matrix}\right) +t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\4\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<popup name="Hinweis 1"><br />
Skalarprodukt ausrechnen.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 2"><br />
<math> \vec n= \left( \begin{matrix} 1\\5\\-3 \end{matrix}\right)</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 3"><br />
10 ≠ 0 ; → sie sind entweder parallel oder identisch.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 4"><br />
LGS aufstellen und lösen.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 5"><br />
<math>t= - \frac{1}{2} ; r=0 ; s=1,5 </math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 6"><br />
Schnittpunkt ausrechnen.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
S(5,5/-1/0,5)<br />
</popup><br /><br />
<br /><br /><br />
[[Benutzer:MeJvzm-fsg|MeJvzm-fsg]] ([[Benutzer Diskussion:MeJvzm-fsg|Diskussion]]) 14:00, 18. Sep. 2016 (CET) M.Entenmann</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/Lagebeziehungen_zwischen_Gerade_und_EbeneLagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene2017-01-25T12:30:11Z<p>F.Bittermann: /* Vorgehen */</p>
<hr />
<div>==== Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene ====<br />
Gerade und Ebene können verschieden zueinander im dreidimensionalen Raum liegen. Dabei unterscheidet man zwischen diesen drei Möglichkeiten.<br /><br />
<br />
1. Möglichkeit: Gerade und Ebene <u>schneiden sich</u><br /><br />
<br />
2. Möglichkeit: Gerade und Ebene verlaufen <u>parallel</u><br /><br />
<br />
3. Möglichkeit: Gerade und Ebene sind <u>liegen ineinander</u><br /><br /><br />
<br />
Wie du die verschiedenen Fälle mit Hilfe eines LGS unterscheiden kannst, ist in der Tabelle genau aufgelistet. Schau sie dir deshalb gut an.<br /><br />
[[Bild:Gfs Lagebeziehungen Gerade Ebene.odt - OpenOffice Writer 21.11.2016 170233.bmp.jpg|Lagebeziehungen Gerade Ebene]]<br /><br />
<br /><br />
<br />
== Vorgehen ==<br />
Um die Lagebeziehung von Ebene und Gerade zu untersuchen, musst du unterschiedlich vorgehen - das hängt von der Art der Ebenendarstellung ab.<br />
==== Ebene in Parameterform ====<br />
<math>E: \vec x = \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E}</math><br /><br />
<math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot\vec R_{g}</math><br /><br />
<br /><br />
===== 1. Überprüfung "parallel": =====<br />
→ Skalarprodukt vom Normalenvektor der Ebene und Richtungsvektor der Gerade ausrechnen<br /><br />
<br />
<math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /><br /><br />
Der Normalenvektor der Ebene ist senkrecht zur Ebene. Ist der Richtungsvektor der Gerade senkrecht zum Normalenvektor der Ebene (Skalarprodukt gleich Null), dann ist die Gerade entweder parallel zur Ebene oder liegt in der Ebene.<br /><br />
Überprüfe dies durch den 2. Schritt.<br /><br />
<br />
''Anmerkung: Normalenvektor: <math> \vec n= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E}</math> ; das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene''<br /><br />
<br /><br />
<br />
===== 2. Überprüfung "identisch": =====<br />
→ Punktprobe durchführen <br /><br />
Entweder liegt der Punkt, du dem der Stützvektor der Gerade führt, in der Ebene, oder liegt der Punkt, zu dem der Stützvektor der Ebene führt, auf der Gerade.<br />
<br />
Punktprobe für den ersten Fall:<br /><br />
<br />
<math>\vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + r \cdot\vec R_{2E} = \vec S_{g}</math><br /><br />
<br />
Hat diese Gleichung eine Lösung? <br /><br />
* wenn ja, E und g sind identisch<br /> <br />
* wenn nein, E und g sind parallel. <br /><br />
<br /><br />
<br />
===== 3. Schnittpunkt berechnen: =====<br />
Ist die Gerade weder identisch noch parallel zur Ebene, dann muss die Gerade die Ebene schneiden.<br /><br />
Zur Berechnung des Schnittpunktes stelle ein komplettes LGS auf und löse dieses. <br /><br />
<br />
<math> \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E} = \vec S_{g} + u \cdot \vec R_{S}</math> <br /><br />
<br /><br />
'' Anmerkung: Löse nach u auf '' <br /><br />
<br /><br />
→ Setze u in die Gerade g ein und berechne die Koordinaten des Ortsvektors, der zum Schnittpunkt führt.<br />
<br /> <br /><br />
==== Ebene in Koordinatengleichung ====<br />
<math>E: a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a_{3}x_{3} = b </math><br /><br />
<math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \vec R_{g}</math> <br /><br />
<br /><br />
Vorgehen:<br /><br />
Die Gerade g in Ebene E einsetzen. Dazu die Gerade g zeilenweise für x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub> in Gleichung der Ebene E einsetzen. Damit kannst du den Parameter t bestimmen. t in die Gleichung der Gerade einsetzen und den Ortsvektor des Schnittpunktes berechnen. <br /><br />
<br /><br />
[[Bild:Vorgehen bei verschiedenen Lösungen.jpg|thumb|none|350px|Schaubild für das Lösen der Koordinatenform bei Lagebeziehungen von Gerade und Ebene]]<br />
<br /><br />
<br /><br />
<br />
==Beispiele==<br />
====Beispiel Nr. 1 Koordinatenform:====<br />
<math>E: \vec x=-x_{1}+2x_{2}+x_{3}=5</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
Die Gerade g Zeilenweise für x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub> in Ebene E einsetzen <br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)\longrightarrow \begin{matrix}<br />
x_{1}= & -1+2t \\<br />
x_{2}= & 6-t \\<br />
x_{3}= & -6+3t<br />
\end{matrix}</math><br /><br /><br />
<math> E: \vec x= -(-1+2t) + 2 \cdot (6-t) + (-6-3t) = 5 </math><br /><br />
<math>1 - 2t + 12 - 2t - 6 + 3t= 5</math><br /><br />
<math>-2t - 2t + 3t + 7= 5 | -7</math><br /><br />
<math>-t = -2</math><br /><br />
<math>t = 2</math><br /><br /><br />
<math> t </math> in Gerade g einsetzen:<br /><br />
<math> g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right) + 2 \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 3\\4\\0 \end{matrix}\right) \longrightarrow S(3/4/0) </math><br /><br />
<br /><br />
<br />
====Beispeil Nr. 2 Parameterform:====<br />
<math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-4 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
Auf "parallelität" überprüfen:<br /><br />
<math>\longrightarrow</math> Normalenvektor von Ebene E ausrechnen <br /><br />
<math> \vec u= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E} = \left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right)= \vec n</math><br /><br /><br />
<math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /><br />
<math>\left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right) = 0 \longrightarrow 102+73= 157 \ne 0</math><br /><br /><br />
Ergebnis ist ungleich 0, also das LGS lösen:<br />
<math>\begin{matrix}<br />
0-5r+2s= &3+2t \\<br />
0+3r+3s= &2+t \\<br />
-4-4r+13s= &1<br />
\end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix}<br />
-2t-5r+2s= &3 \\<br />
-t+3r+3s= &2 \\<br />
-4r+13s= &5<br />
\end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix}<br />
-2t-5r+2s= &3 \\<br />
-t+3r+3s= &2<br />
\end{matrix}</math><br />
==Aufgaben==<br />
====Nr. 1 Parallelität====<br />
Zeige, dass die Gerade h parallel zur Ebene E ist. <br /><br /><br />
<math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br/><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br/><br />
<popup name="Hinweis"><br />
<math>\left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math></popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
0=7 → keine Lösung, daher parallel!<br />
</popup><br /><br /><br />
====Nr. 2 Parallel, identisch oder Schnittpunkt====<br />
Untersuche ob Ebene E und Gerade g sich schneiden. Ist dies nicht der Fall, überprüfe ob g und E identisch sind oder parallel. <br /><br /><br />
a.)<br /><br />
<math>E: \vec x= 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-2\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<popup name="Hinweis 1"><br />
Setze Gerade g in Ebene E ein.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 2"><br />
<math>E: 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /><br />
<math>3(2+t)-2(0-2t)+7(0-t)=4</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
0=-10 → parallel<br />
</popup><br /><br />
<br /><br />
b.)<br /><br />
<math>E:\vec x=-2,5x_{1}-o,5x_{2}+2x_{3}=0</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br />br /><br />
<popup name="Hinweis 1"><br />
<math>-2,5(2+t)-0,5(0+t)+2(t)=0</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 2"><br />
Setze "t" in die Gerade g ein.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 3"><br />
t=-5 ; sie sind weder parallel noch identisch<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
S(-3/-5/-5)<br />
</popup><br /><br />
<br /><br />
c.)<br /><br />
<math>E: \vec x=-2,5x_{1}-0,5x_{2}+3x_{3}=-5</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<popup name="Hinweis 1"><br />
<math>-2,5(2+t)-0,5(t)+3(t)=-5</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
0=-10 → parallel<br />
</popup><br /><br />
<br /><br />
d.)<br /><br />
<math>E: \begin{bmatrix}<br />
\vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\2\\1 \end{matrix}\right) \\<br />
\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-1\\1 \end{matrix}\right) =0</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right)+\left( \begin{matrix} 2\\-2\\1 \end{matrix}\right) \cdot t </math><br /><br /><br />
<popup name="Hinweis 1"><br />
Stelle Ebene E als Koordinatenform um.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 2"><br />
Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot 3+(x_{2}-2) \cdot (-1)+(x_{3}-1) \cdot 1=0</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 3"><br />
<math>E: \vec x= 3x_{1}-x_{2}+x_{3}=5</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 4"><br />
Setze Gerade g in die Ebene E ein.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 5"><br />
t=0 ; → sie sind weder parallel noch identisch.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
S(1/0/2)<br />
</popup><br /><br />
<br /><br />
e.)<br /><br />
<math>E: \begin{bmatrix}<br />
\vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\4\\3 \end{matrix}\right) \\<br />
\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -2\\1\\2 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\6\\5 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<popup name="Hinweis 1"><br />
Stelle Ebene E als Koordinatenform um.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 2"><br />
Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot (-2)+(x_{2}-4) \cdot 1+(x_{3}-3) \cdot 2=0</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 3"><br />
<math>E: \vec x= 2x_{1}+x_{2}+2x_{3}=6</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 4"><br />
Setze Gerade g in die Ebene E ein.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
0=-12 → parallel<br />
</popup><br /><br />
<br /><br />
f.)<br /><br />
<math>E: \begin{bmatrix}<br />
\vec x & -\left( \begin{matrix} -2\\4\\-1 \end{matrix}\right) \\<br />
\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -3\\1\\0 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\6 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<popup name="Hinweis 3"><br />
<math>E: \vec x= -3x_{1}+x_{2}=10</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 4"><br />
Setze Gerade g in die Ebene E ein.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
0=13 → parallel<br />
</popup><br /><br />
<br /><br />
====Nr. 3 Schnittpunkt====<br />
Untersuche die gegenseitige Lage von Ebene E und Gerade g. <br /><br /><br />
<math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right) +r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\2 \end{matrix}\right) +s \cdot \left( \begin{matrix} 3\\0\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\1\\2 \end{matrix}\right) +t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\4\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<popup name="Hinweis 1"><br />
Skalarprodukt ausrechnen.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 2"><br />
<math> \vec n= \left( \begin{matrix} 1\\5\\-3 \end{matrix}\right)</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 3"><br />
10 ≠ 0 ; → sie sind entweder parallel oder identisch.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 4"><br />
LGS aufstellen und lösen.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 5"><br />
<math>t= - \frac{1}{2} ; r=0 ; s=1,5 </math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 6"><br />
Schnittpunkt ausrechnen.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
S(5,5/-1/0,5)<br />
</popup><br /><br />
<br /><br /><br />
[[Benutzer:MeJvzm-fsg|MeJvzm-fsg]] ([[Benutzer Diskussion:MeJvzm-fsg|Diskussion]]) 14:00, 18. Sep. 2016 (CET) M.Entenmann</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/Lagebeziehungen_zwischen_Gerade_und_EbeneLagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene2017-01-25T12:07:01Z<p>F.Bittermann: /* Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene */</p>
<hr />
<div>==== Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene ====<br />
Gerade und Ebene können verschieden zueinander im dreidimensionalen Raum liegen. Dabei unterscheidet man zwischen diesen drei Möglichkeiten.<br /><br />
<br />
1. Möglichkeit: Gerade und Ebene <u>schneiden sich</u><br /><br />
<br />
2. Möglichkeit: Gerade und Ebene verlaufen <u>parallel</u><br /><br />
<br />
3. Möglichkeit: Gerade und Ebene sind <u>liegen ineinander</u><br /><br /><br />
<br />
Wie du die verschiedenen Fälle mit Hilfe eines LGS unterscheiden kannst, ist in der Tabelle genau aufgelistet. Schau sie dir deshalb gut an.<br /><br />
[[Bild:Gfs Lagebeziehungen Gerade Ebene.odt - OpenOffice Writer 21.11.2016 170233.bmp.jpg|Lagebeziehungen Gerade Ebene]]<br /><br />
<br /><br />
<br />
== Vorgehen ==<br />
==== Parameterform ====<br />
<math>E: \vec x = \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E}</math><br /><br />
<math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot\vec R_{g}</math><br /><br />
<br /><br />
===== 1. Überprüfung "parallel": =====<br />
→ Skalarprodukt ausrechnen<br /><br />
<math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /><br /><br />
<br />
''Anmerkung: Normalenvektor: <math> \vec n= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E}</math> ; das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene''<br /><br />
<br /><br />
wenn z.B. t = 5, dann haben die Gerade und Ebene einen Schnittpunkt. Setze nun nur noch t in die Gerade g ein <br /><br />
wenn z.B. 0 = x, dann ist die Gerade und Ebene entweder parallel zueinander oder identisch. Überprüfe dies durch den 2. Schritt<br /><br />
<br />
===== 2. Überprüfung "identisch": =====<br />
→ einfaches LGS erstellen <br /><br />
<math>S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + r \cdot\vec R_{2E} = S_{g}</math><br /><br />
gibt es eine Lösung? <br /><br />
wenn ja, E und g sind identisch. <br /> <br />
<br /><br />
wenn nein, E und g sind parallel. <br /><br />
→ ist dies der Fall, stelle ein komplettes LGS auf und löse dieses <br /><br />
<math> \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E} = \vec S<_{g} + u \cdot \vec R_{S}</math> <br /><br />
<br /><br />
'' Anmerkung: Löse nach u auf '' <br /><br />
<br /><br />
→ setze u in die Gerade g ein<br />
<br /> <br /><br />
==== Koordinatenform ====<br />
<math>E: \vec x = u_{1}x_{1} + u_{2}x_{2} + u_{3}x_{3} = b </math><br /><br />
<math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \vec R_{g}</math> <br /><br />
<br /><br />
Die Gerade g in Ebene E einsetzen:<br /><br />
Die Gerade g Zeilenweise für x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub> in Ebene E einsetzen <br /><br />
<br /><br />
[[Bild:Vorgehen bei verschiedenen Lösungen.jpg|thumb|none|350px|Schaubild für das Lösen der Koordinatenform bei Lagebeziehungen von Gerade und Ebene]]<br />
<br /><br />
<br /><br />
==Beispiele==<br />
====Beispiel Nr. 1 Koordinatenform:====<br />
<math>E: \vec x=-x_{1}+2x_{2}+x_{3}=5</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
Die Gerade g Zeilenweise für x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub> in Ebene E einsetzen <br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)\longrightarrow \begin{matrix}<br />
x_{1}= & -1+2t \\<br />
x_{2}= & 6-t \\<br />
x_{3}= & -6+3t<br />
\end{matrix}</math><br /><br /><br />
<math> E: \vec x= -(-1+2t) + 2 \cdot (6-t) + (-6-3t) = 5 </math><br /><br />
<math>1 - 2t + 12 - 2t - 6 + 3t= 5</math><br /><br />
<math>-2t - 2t + 3t + 7= 5 | -7</math><br /><br />
<math>-t = -2</math><br /><br />
<math>t = 2</math><br /><br /><br />
<math> t </math> in Gerade g einsetzen:<br /><br />
<math> g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right) + 2 \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 3\\4\\0 \end{matrix}\right) \longrightarrow S(3/4/0) </math><br /><br />
<br /><br />
<br />
====Beispeil Nr. 2 Parameterform:====<br />
<math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-4 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
Auf "parallelität" überprüfen:<br /><br />
<math>\longrightarrow</math> Normalenvektor von Ebene E ausrechnen <br /><br />
<math> \vec u= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E} = \left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right)= \vec n</math><br /><br /><br />
<math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /><br />
<math>\left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right) = 0 \longrightarrow 102+73= 157 \ne 0</math><br /><br /><br />
Ergebnis ist ungleich 0, also das LGS lösen:<br />
<math>\begin{matrix}<br />
0-5r+2s= &3+2t \\<br />
0+3r+3s= &2+t \\<br />
-4-4r+13s= &1<br />
\end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix}<br />
-2t-5r+2s= &3 \\<br />
-t+3r+3s= &2 \\<br />
-4r+13s= &5<br />
\end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix}<br />
-2t-5r+2s= &3 \\<br />
-t+3r+3s= &2<br />
\end{matrix}</math><br />
==Aufgaben==<br />
====Nr. 1 Parallelität====<br />
Zeige, dass die Gerade h parallel zur Ebene E ist. <br /><br /><br />
<math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br/><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br/><br />
<popup name="Hinweis"><br />
<math>\left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math></popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
0=7 → keine Lösung, daher parallel!<br />
</popup><br /><br /><br />
====Nr. 2 Parallel, identisch oder Schnittpunkt====<br />
Untersuche ob Ebene E und Gerade g sich schneiden. Ist dies nicht der Fall, überprüfe ob g und E identisch sind oder parallel. <br /><br /><br />
a.)<br /><br />
<math>E: \vec x= 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-2\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<popup name="Hinweis 1"><br />
Setze Gerade g in Ebene E ein.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 2"><br />
<math>E: 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /><br />
<math>3(2+t)-2(0-2t)+7(0-t)=4</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
0=-10 → parallel<br />
</popup><br /><br />
<br /><br />
b.)<br /><br />
<math>E:\vec x=-2,5x_{1}-o,5x_{2}+2x_{3}=0</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br />br /><br />
<popup name="Hinweis 1"><br />
<math>-2,5(2+t)-0,5(0+t)+2(t)=0</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 2"><br />
Setze "t" in die Gerade g ein.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 3"><br />
t=-5 ; sie sind weder parallel noch identisch<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
S(-3/-5/-5)<br />
</popup><br /><br />
<br /><br />
c.)<br /><br />
<math>E: \vec x=-2,5x_{1}-0,5x_{2}+3x_{3}=-5</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<popup name="Hinweis 1"><br />
<math>-2,5(2+t)-0,5(t)+3(t)=-5</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
0=-10 → parallel<br />
</popup><br /><br />
<br /><br />
d.)<br /><br />
<math>E: \begin{bmatrix}<br />
\vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\2\\1 \end{matrix}\right) \\<br />
\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-1\\1 \end{matrix}\right) =0</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right)+\left( \begin{matrix} 2\\-2\\1 \end{matrix}\right) \cdot t </math><br /><br /><br />
<popup name="Hinweis 1"><br />
Stelle Ebene E als Koordinatenform um.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 2"><br />
Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot 3+(x_{2}-2) \cdot (-1)+(x_{3}-1) \cdot 1=0</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 3"><br />
<math>E: \vec x= 3x_{1}-x_{2}+x_{3}=5</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 4"><br />
Setze Gerade g in die Ebene E ein.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 5"><br />
t=0 ; → sie sind weder parallel noch identisch.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
S(1/0/2)<br />
</popup><br /><br />
<br /><br />
e.)<br /><br />
<math>E: \begin{bmatrix}<br />
\vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\4\\3 \end{matrix}\right) \\<br />
\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -2\\1\\2 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\6\\5 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<popup name="Hinweis 1"><br />
Stelle Ebene E als Koordinatenform um.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 2"><br />
Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot (-2)+(x_{2}-4) \cdot 1+(x_{3}-3) \cdot 2=0</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 3"><br />
<math>E: \vec x= 2x_{1}+x_{2}+2x_{3}=6</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 4"><br />
Setze Gerade g in die Ebene E ein.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
0=-12 → parallel<br />
</popup><br /><br />
<br /><br />
f.)<br /><br />
<math>E: \begin{bmatrix}<br />
\vec x & -\left( \begin{matrix} -2\\4\\-1 \end{matrix}\right) \\<br />
\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -3\\1\\0 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\6 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<popup name="Hinweis 3"><br />
<math>E: \vec x= -3x_{1}+x_{2}=10</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 4"><br />
Setze Gerade g in die Ebene E ein.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
0=13 → parallel<br />
</popup><br /><br />
<br /><br />
====Nr. 3 Schnittpunkt====<br />
Untersuche die gegenseitige Lage von Ebene E und Gerade g. <br /><br /><br />
<math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right) +r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\2 \end{matrix}\right) +s \cdot \left( \begin{matrix} 3\\0\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\1\\2 \end{matrix}\right) +t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\4\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /><br />
<popup name="Hinweis 1"><br />
Skalarprodukt ausrechnen.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 2"><br />
<math> \vec n= \left( \begin{matrix} 1\\5\\-3 \end{matrix}\right)</math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 3"><br />
10 ≠ 0 ; → sie sind entweder parallel oder identisch.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 4"><br />
LGS aufstellen und lösen.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 5"><br />
<math>t= - \frac{1}{2} ; r=0 ; s=1,5 </math><br />
</popup><br /><br />
<popup name="Hinweis 6"><br />
Schnittpunkt ausrechnen.<br />
</popup><br /><br />
<popup name="Lösung"><br />
S(5,5/-1/0,5)<br />
</popup><br /><br />
<br /><br /><br />
[[Benutzer:MeJvzm-fsg|MeJvzm-fsg]] ([[Benutzer Diskussion:MeJvzm-fsg|Diskussion]]) 14:00, 18. Sep. 2016 (CET) M.Entenmann</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/MathematikMathematik2016-12-08T10:57:30Z<p>F.Bittermann: /* Themen der Oberstufe */</p>
<hr />
<div>__NOTOC__<br />
== Themen der Oberstufe ==<br />
=== Folgen und Grenzwerte ===<br />
<br />
=== Fortführung der Differenzialrechnung ===<br />
[[Ableitungsregeln]]<br />
<br />
[[Kurvendiskussion]]<br />
<br />
[[Winkelfunktionen]]<br />
<br />
[[Tangentenprobleme]]<br />
<br />
[[Extremwertprobleme]]<br />
<br />
[[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]]<br />
<br />
[[Gauß-Algorithmus]]<br />
<br />
[[Kurvenanpassung]]<br />
<br />
=== Einführung in die Integralrechnung ===<br />
<br />
[[Das Integral]]<br />
<br />
[[Die Integralfunktion]]<br />
<br />
[[Die Stammfunktion]]<br />
<br />
[[Flächenberechnung mit Hilfe des Integrals]]<br />
<br />
[[Rotationskörper]]<br />
<br />
[[Mittelwertsatz]]<br />
<br />
=== Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge ===<br />
<br />
[[lineares Wachstum]]<br />
<br />
[[exponentielles Wachstum]]<br />
<br />
[[Beschränktes Wachstum]]<br />
<br />
[[Differenzialgleichungen bei Wachstum]]<br />
<br />
<br />
<br />
=== Ebenen ===<br />
[[Punkte, Vektoren und Geraden]]<br />
<br />
[[Lineare Unabhängigkeit von Vektoren]]<br />
<br />
[[Ebenengleichungen]]<br />
<br />
[[Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene]]<br />
<br />
[[Lagebeziehungen zwischen Ebene und Ebene]]<br />
<br />
=== Skalarprodukt und seine Anwendungen ===<br />
<br />
[[Definition und Winkel zwischen Vektoren]]<br />
<br />
[[Winkelberechnungen zwischen Geraden und Ebenen]]<br />
<br />
=== Abstandsberechnungen ===<br />
<br />
[[Abstand zwischen zwei Punkten]]<br />
<br />
[[Abstandsberechnungen Punkt-Gerade und Punkt-Ebene]]<br />
<br />
[[Abstand zweier windschiefer Geraden]]<br />
<br />
[[Spiegelungen]]<br />
<br />
=== Beweisen mit Hilfe von Vektoren ===<br />
<br /><br />
<br />
=== Wiederholung Wahrscheinlichkeitsrechnung ===<br />
[[Zufallsexperiment]]<br /><br />
[[Laplace Experiment und Laplace Regel]]<br /><br />
[[Bernoulli Experiment und Bernoulli Kette]]<br /><br />
[[Ereignisbaum]]<br /><br />
[[Relative und absolute Häufigkeit]]<br /><br />
[[Mittelwert]]<br /><br />
[[Median]]<br /><br />
[[Permutation]]<br /><br />
[[Binomialverteilung]]<br />
<br />
=== Testen von Hypothesen ===<br />
<br />
[[linkseitiger Test]]<br />
<br />
[[rechtsseitiger Test]]<br />
<br />
=== Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen ===<br />
<br />
<br />
<br />
<br /><br />
<br />
== Hilfen zum mathematischen Textsatz ==<br />
[http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/de Benutzerhandbuch: mathematische Formeln]</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/MathematikMathematik2016-09-29T11:08:10Z<p>F.Bittermann: /* Themen der Oberstufe */</p>
<hr />
<div>__NOTOC__<br />
== Themen der Oberstufe ==<br />
=== Folgen und Grenzwerte ===<br />
<br />
=== Fortführung der Differenzialrechnung ===<br />
[[Ableitungsregeln]]<br />
<br />
[[Tangentenprobleme]]<br />
<br />
[[Kurvendiskussion]]<br />
<br />
[[Winkelfunktionen]]<br />
<br />
[[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]]<br />
<br />
[[Gauß-Algorithmus]]<br />
<br />
[[Kurvenanpassung]]<br />
<br />
=== Einführung in die Integralrechnung ===<br />
<br />
[[Das Integral]]<br />
<br />
[[Die Integralfunktion]]<br />
<br />
[[Die Stammfunktion]]<br />
<br />
[[Flächenberechnung mit Hilfe des Integrals]]<br />
<br />
[[Rotationskörper]]<br />
<br />
[[Mittelwertsatz]]<br />
<br />
=== Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge ===<br />
<br />
[[lineares Wachstum]]<br />
<br />
[[exponentielles Wachstum]]<br />
<br />
[[Beschränktes Wachstum]]<br />
<br />
[[Differenzialgleichungen bei Wachstum]]<br />
<br />
<br />
<br />
=== Ebenen ===<br />
[[Punkte, Vektoren und Geraden]]<br />
<br />
[[Lineare Unabhängigkeit von Vektoren]]<br />
<br />
[[Ebenengleichungen]]<br />
<br />
[[Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene]]<br />
<br />
[[Lagebeziehungen zwischen Ebene und Ebene]]<br />
<br />
=== Skalarprodukt und seine Anwendungen ===<br />
<br />
[[Definition und Winkel zwischen Vektoren]]<br />
<br />
[[Winkelberechnungen zwischen Geraden und Ebenen]]<br />
<br />
=== Abstandsberechnungen ===<br />
<br />
[[Abstand zwischen zwei Punkten]]<br />
<br />
[[Abstandsberechnungen Punkt-Gerade und Punkt-Ebene]]<br />
<br />
[[Abstand zweier windschiefer Geraden]]<br />
<br />
[[Spiegelungen]]<br />
<br />
=== Beweisen mit Hilfe von Vektoren ===<br />
<br /><br />
<br />
=== Wiederholung Wahrscheinlichkeitsrechnung ===<br />
[[Zufallsexperiment]]<br /><br />
[[Laplace Experiment und Laplace Regel]]<br /><br />
[[Bernoulli Experiment und Bernoulli Kette]]<br /><br />
[[Ereignisbaum]]<br /><br />
[[Relative und absolute Häufigkeit]]<br /><br />
[[Mittelwert]]<br /><br />
[[Median]]<br /><br />
[[Permutation]]<br /><br />
<br />
=== Testen von Hypothesen ===<br />
<br />
[[linkseitiger Test]]<br />
<br />
[[rechtsseitiger Test]]<br />
<br />
=== Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen ===<br />
<br />
<br />
<br />
<br /><br />
<br />
== Hilfen zum mathematischen Textsatz ==<br />
[http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/de Benutzerhandbuch: mathematische Formeln]</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/MathematikMathematik2016-09-29T11:07:40Z<p>F.Bittermann: /* Themen der Oberstufe */</p>
<hr />
<div>__NOTOC__<br />
== Themen der Oberstufe ==<br />
=== Folgen und Grenzwerte ===<br />
<br />
=== Fortführung der Differenzialrechnung ===<br />
[[Ableitungsregeln]]<br />
<br />
[[Tangentenprobleme]]<br />
<br />
[[Kurvendiskussion]]<br />
<br />
[[Winkelfunktionen]]<br />
<br />
[[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]]<br />
<br />
[[Gauß-Algorithmus]]<br />
<br />
[[Kurvenanpassung]]<br />
<br />
=== Einführung in die Integralrechnung ===<br />
<br />
[[Das Integral]]<br />
<br />
[[Die Integralfunktion]]<br />
<br />
[[Die Stammfunktion]]<br />
<br />
[[Flächenberechnung mit Hilfe des Integrals]]<br />
<br />
[[Rotationskörper]]<br />
<br />
[[Mittelwertsatz]]<br />
<br />
=== Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge ===<br />
<br />
[[lineares Wachstum]]<br />
<br />
[[exponentielles Wachstum]]<br />
<br />
[[Beschränktes Wachstum]]<br />
<br />
[[Differenzialgleichungen bei Wachstum]]<br />
<br />
<br />
<br />
=== Ebenen ===<br />
[[Punkte, Vektoren und Geraden]]<br />
<br />
[[Lineare Unabhängigkeit von Vektoren]]<br />
<br />
[[Ebenengleichungen]]<br />
<br />
[[Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene]]<br />
<br />
[[Lagebeziehungen zwischen Ebene und Ebene]]<br />
<br />
=== Skalarprodukt und seine Anwendungen ===<br />
<br />
[[Definition und Winkel zwischen Vektoren]]<br />
<br />
[[Winkelberechnungen zwischen Geraden und Ebenen]]<br />
<br />
=== Abstandsberechnungen ===<br />
<br />
[[Abstand zwischen zwei Punkten]]<br />
<br />
[[Abstandsberechnungen Punkt-Gerade und Punkt-Ebene]]<br />
<br />
[[Abstand zweier windschiefer Geraden]]<br />
<br />
[[Spiegelungen]]<br />
<br />
=== Beweisen mit Hilfe von Vektoren ===<br />
<br /><br />
<br />
<br />
=== Wiederholung Wahrscheinlichkeitsrechnung ===<br />
[[Zufallsexperiment]]<br /><br />
[[Laplace Experiment und Laplace Regel]]<br /><br />
[[Bernoulli Experiment und Bernoulli Kette]]<br /><br />
[[Ereignisbaum]]<br /><br />
[[Relative und absolute Häufigkeit]]<br /><br />
[[Mittelwert]]<br /><br />
[[Median]]<br /><br />
[[Permutation]]<br /><br />
<br />
=== Testen von Hypothesen ===<br />
<br />
[[linkseitiger Test]]<br />
<br />
[[rechtsseitiger Test]]<br />
<br />
=== Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen ===<br />
<br />
<br />
<br />
<br /><br />
<br />
== Hilfen zum mathematischen Textsatz ==<br />
[http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/de Benutzerhandbuch: mathematische Formeln]</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/MathematikMathematik2016-09-29T11:04:29Z<p>F.Bittermann: /* Themen der Oberstufe */</p>
<hr />
<div>__NOTOC__<br />
== Themen der Oberstufe ==<br />
=== Folgen und Grenzwerte ===<br />
<br />
=== Fortführung der Differenzialrechnung ===<br />
[[Ableitungsregeln]]<br />
<br />
[[Tangentenprobleme]]<br />
<br />
[[Kurvendiskussion]]<br />
<br />
[[Winkelfunktionen]]<br />
<br />
[[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]]<br />
<br />
[[Gauß-Algorithmus]]<br />
<br />
[[Kurvenanpassung]]<br />
<br />
=== Einführung in die Integralrechnung ===<br />
<br />
[[Das Integral]]<br />
<br />
[[Die Integralfunktion]]<br />
<br />
[[Die Stammfunktion]]<br />
<br />
[[Flächenberechnung mit Hilfe des Integrals]]<br />
<br />
[[Rotationskörper]]<br />
<br />
[[Mittelwertsatz]]<br />
<br />
=== Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge ===<br />
<br />
[[lineares Wachstum]]<br />
<br />
[[exponentielles Wachstum]]<br />
<br />
[[Beschränktes Wachstum]]<br />
<br />
[[Differenzialgleichungen bei Wachstum]]<br />
<br />
<br />
<br />
=== Ebenen ===<br />
[[Punkte, Vektoren und Geraden]]<br />
<br />
[[Lineare Unabhängigkeit von Vektoren]]<br />
<br />
[[Ebenengleichungen]]<br />
<br />
[[Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene]]<br />
<br />
[[Lagebeziehungen zwischen Ebene und Ebene]]<br />
<br />
=== Skalarprodukt und seine Anwendungen ===<br />
<br />
[[Definition und Winkel zwischen Vektoren]]<br />
<br />
[[Winkelberechnungen zwischen Geraden und Ebenen]]<br />
<br />
=== Abstandsberechnungen ===<br />
<br />
[[Abstand zwischen zwei Punkten]]<br />
<br />
[[Abstandsberechnungen Punkt-Gerade und Punkt-Ebene]]<br />
<br />
[[Abstand zweier windschiefer Geraden]]<br />
<br />
[[Spiegelungen]]<br />
<br />
=== Beweisen mit Hilfe von Vektoren ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Wiederholung Wahrscheinlichkeitsrechnung ===<br />
[[Zufallsexperiment]]<br /><br />
[[Laplace Experiment und Laplace Regel]]<br /><br />
[[Bernoulli Experiment und Bernoulli Kette]]<br /><br />
[[Ereignisbaum]]<br /><br />
[[Relative und absolute Häufigkeit]]<br /><br />
[[Mittelwert]]<br /><br />
[[Median]]<br /><br />
[[Permutation]]<br /><br />
<br />
=== Testen von Hypothesen ===<br />
<br />
[[linkseitiger Test]]<br />
<br />
[[rechtsseitiger Test]]<br />
<br />
=== Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen ===<br />
<br />
<br />
<br />
<br /><br />
<br />
== Hilfen zum mathematischen Textsatz ==<br />
[http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/de Benutzerhandbuch: mathematische Formeln]</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/MathematikMathematik2016-09-29T11:03:35Z<p>F.Bittermann: /* Themen der Oberstufe */</p>
<hr />
<div>__NOTOC__<br />
== Themen der Oberstufe ==<br />
=== Folgen und Grenzwerte ===<br />
<br />
=== Fortführung der Differenzialrechnung ===<br />
[[Ableitungsregeln]]<br />
<br />
[[Tangentenprobleme]]<br />
<br />
[[Kurvendiskussion]]<br />
<br />
[[Winkelfunktionen]]<br />
<br />
[[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]]<br />
<br />
[[Gauß-Algorithmus]]<br />
<br />
[[Kurvenanpassung]]<br />
<br />
=== Einführung in die Integralrechnung ===<br />
<br />
[[Das Integral]]<br />
<br />
[[Die Integralfunktion]]<br />
<br />
[[Die Stammfunktion]]<br />
<br />
[[Flächenberechnung mit Hilfe des Integrals]]<br />
<br />
[[Rotationskörper]]<br />
<br />
[[Mittelwertsatz]]<br />
<br />
=== Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge ===<br />
<br />
[[lineares Wachstum]]<br />
<br />
[[exponentielles Wachstum]]<br />
<br />
[[Beschränktes Wachstum]]<br />
<br />
[[Differenzialgleichungen bei Wachstum]]<br />
<br />
<br />
<br />
=== Ebenen ===<br />
[[Punkte, Vektoren und Geraden]]<br />
<br />
[[Lineare Unabhängigkeit von Vektoren]]<br />
<br />
[[Ebenengleichungen]]<br />
<br />
[[Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene]]<br />
<br />
[[Lagebeziehungen zwischen Ebene und Ebene]]<br />
<br />
=== Skalarprodukt und seine Anwendungen ===<br />
<br />
[[Definition und Winkel zwischen Vektoren]]<br />
<br />
[[Winkelberechnungen zwischen Geraden und Ebenen]]<br />
<br />
=== Abstandsberechnungen ===<br />
<br />
[[Abstand zwischen zwei Punkten]]<br />
<br />
[[Abstandsberechnungen Punkt-Gerade und Punkt-Ebene]]<br />
<br />
[[Abstand zweier windschiefer Geraden]]<br />
<br />
[[Spiegelungen]]<br />
<br />
=== Beweisen mit Hilfe von Vektoren ===<br />
<br />
=== Wiederholung Wahrscheinlichkeitsrechnung ===<br />
[[Zufallsexperiment]]<br /><br />
[[Laplace Experiment und Laplace Regel]]<br /><br />
[[Bernoulli Experiment und Bernoulli Kette]]<br /><br />
[[Ereignisbaum]]<br /><br />
[[Relative und absolute Häufigkeit]]<br /><br />
[[Mittelwert]]<br /><br />
[[Median]]<br /><br />
[[Permutation]]<br /><br />
<br />
=== Testen von Hypothesen ===<br />
<br />
[[linkseitiger Test]]<br />
<br />
[[rechtsseitiger Test]]<br />
<br />
=== Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen ===<br />
<br />
<br />
<br />
<br /><br />
<br />
== Hilfen zum mathematischen Textsatz ==<br />
[http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/de Benutzerhandbuch: mathematische Formeln]</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/MathematikMathematik2016-09-29T10:59:56Z<p>F.Bittermann: /* Themen der Oberstufe */</p>
<hr />
<div>__NOTOC__<br />
== Themen der Oberstufe ==<br />
=== Folgen und Grenzwerte ===<br />
<br />
=== Fortführung der Differenzialrechnung ===<br />
[[Ableitungsregeln]]<br />
<br />
[[Tangentenprobleme]]<br />
<br />
[[Kurvendiskussion]]<br />
<br />
[[Winkelfunktionen]]<br />
<br />
[[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]]<br />
<br />
[[Gauß-Algorithmus]]<br />
<br />
[[Kurvenanpassung]]<br />
<br />
=== Ebenen ===<br />
[[Punkte, Vektoren und Geraden]]<br />
<br />
[[Lineare Unabhängigkeit von Vektoren]]<br />
<br />
[[Ebenengleichungen]]<br />
<br />
[[Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene]]<br />
<br />
[[Lagebeziehungen zwischen Ebene und Ebene]]<br />
<br />
=== Skalarprodukt und seine Anwendungen ===<br />
<br />
[[Definition und Winkel zwischen Vektoren]]<br />
<br />
[[Winkelberechnungen zwischen Geraden und Ebenen]]<br />
<br />
=== Einführung in die Integralrechnung ===<br />
<br />
[[Das Integral]]<br />
<br />
[[Die Integralfunktion]]<br />
<br />
[[Die Stammfunktion]]<br />
<br />
[[Flächenberechnung mit Hilfe des Integrals]]<br />
<br />
[[Rotationskörper]]<br />
<br />
[[Mittelwertsatz]]<br />
<br />
=== Wiederholung Wahrscheinlichkeitsrechnung ===<br />
[[Zufallsexperiment]]<br /><br />
[[Laplace Experiment und Laplace Regel]]<br /><br />
[[Bernoulli Experiment und Bernoulli Kette]]<br /><br />
[[Ereignisbaum]]<br /><br />
[[Relative und absolute Häufigkeit]]<br /><br />
[[Mittelwert]]<br /><br />
[[Median]]<br /><br />
[[Permutation]]<br /><br />
<br />
=== Testen von Hypothesen ===<br />
<br />
[[linkseitiger Test]]<br />
<br />
[[rechtsseitiger Test]]<br />
<br />
=== Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen ===<br />
<br />
=== Abstandsberechnungen ===<br />
<br />
[[Abstand zwischen zwei Punkten]]<br />
<br />
[[Abstandsberechnungen Punkt-Gerade und Punkt-Ebene]]<br />
<br />
[[Abstand zweier windschiefer Geraden]]<br />
<br />
=== Beweisen mit Hilfe von Vektoren ===<br />
<br />
=== Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge ===<br />
<br />
[[lineares Wachstum]]<br />
<br />
[[exponentielles Wachstum]]<br />
<br />
[[Beschränktes Wachstum]]<br />
<br />
[[Differenzialgleichungen bei Wachstum]]<br />
<br />
<br />
<br /><br />
<br />
== Hilfen zum mathematischen Textsatz ==<br />
[http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/de Benutzerhandbuch: mathematische Formeln]</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/KurvendiskussionKurvendiskussion2015-12-04T08:52:33Z<p>F.Bittermann: Die Seite wurde neu angelegt: „== Kriterien für Extremstellen == == Kriterien für Wendestellen == == vollständige Kurvendiskussion ==“</p>
<hr />
<div>== Kriterien für Extremstellen ==<br />
<br />
<br />
== Kriterien für Wendestellen ==<br />
<br />
<br />
== vollständige Kurvendiskussion ==</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/MathematikMathematik2015-12-04T08:00:40Z<p>F.Bittermann: /* Fortführung der Differenzialrechnung */</p>
<hr />
<div>__NOTOC__<br />
== Themen der Oberstufe ==<br />
=== Folgen und Grenzwerte ===<br />
<br />
=== Fortführung der Differenzialrechnung ===<br />
[[Ableitungsregeln]]<br />
<br />
[[Tangentenprobleme]]<br />
<br />
[[Kurvendiskussion]]<br />
<br />
[[Winkelfunktionen]]<br />
<br />
[[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]]<br />
<br />
[[Gauß-Algorithmus]]<br />
<br />
[[Kurvenanpassung]]<br />
<br />
=== Ebenen ===<br />
[[Punkte, Vektoren und Geraden]]<br />
<br />
[[Lineare Unabhängigkeit von Vektoren]]<br />
<br />
[[Ebenengleichungen]]<br />
<br />
[[Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene]]<br />
<br />
[[Lagebeziehungen zwischen Ebene und Ebene]]<br />
<br />
=== Skalarprodukt und seine Anwendungen ===<br />
<br />
[[Definition und Winkel zwischen Vektoren]]<br />
<br />
[[Winkelberechnungen zwischen Geraden und Ebenen]]<br />
<br />
=== Einführung in die Integralrechnung ===<br />
<br />
[[Das Integral]]<br />
<br />
[[Die Integralfunktion]]<br />
<br />
[[Die Stammfunktion]]<br />
<br />
[[Flächenberechnung mit Hilfe des Integrals]]<br />
<br />
=== Wiederholung Wahrscheinlichkeitsrechnung ===<br />
[[Zufallsexperiment]]<br /><br />
[[Laplace Experiment und Laplace Regel]]<br /><br />
[[Bernoulli Experiment und Bernoulli Kette]]<br /><br />
[[Ereignisbaum]]<br /><br />
[[Relative und absolute Häufigkeit]]<br /><br />
[[Mittelwert]]<br /><br />
[[Median]]<br /><br />
[[Permutation]]<br /><br />
<br />
=== Testen von Hypothesen ===<br />
<br />
=== Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen ===<br />
<br />
=== Abstandsberechnungen ===<br />
<br />
[[Abstand zwischen zwei Punkten]]<br />
<br />
[[Abstandsberechnungen Punkt-Gerade und Punkt-Ebene]]<br />
<br />
[[Abstand zweier windschiefer Geraden]]<br />
<br />
=== Beweisen mit Hilfe von Vektoren ===<br />
<br />
=== Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge ===<br />
<br />
<br /><br />
<br />
== Hilfen zum mathematischen Textsatz ==<br />
[http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/de Benutzerhandbuch: mathematische Formeln]</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/Fl%C3%A4chenberechnung_mit_Hilfe_des_IntegralsFlächenberechnung mit Hilfe des Integrals2015-05-21T08:26:16Z<p>F.Bittermann: </p>
<hr />
<div>=== Einleitung ===<br />
<br />
Warum lässt sich ein Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen?<br />
Da das Integral den Grenzwert von Ober- und Untersumme angibt lässt sich der Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen. <br />
Dabei muss man beachten, dass man nicht immer einfach von der unteren Grenze <math>a</math> zur oberen Grenze <math>b</math> integrieren darf, wenn man den richtigen Flächeninhalt berechnen will.<br />
<br />
<br />
=== Die verschiedenen Fälle der Flächenberechnung: === <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==== Fläche oberhalb der x-Achse ==== <br />
<br />
[[Datei:fall1.jpg|rahmenlos|rechts]]<br />
Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse, so gilt die Formel <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==== Fläche unterhalb der x-Achse ====<br />
<br />
[[Datei:fall2.jpg|rahmenlos|rechts]]<br />
Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> unterhalb der <math>x</math>-Achse, so ist der Wert des Integrals negativ. <br />
<br />
Es gilt: <math>A= -\int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ''oder'' <math>A= \left|\int_{a}^{b} f(x)\, dx\right| </math><br />
<br />
Da das Ergebnis negativ wäre schreibt man vor das Integral ein Minus. Flächeninhalte sind immer positiv.<br />
Mit dem Betrag wird das gleiche bewirkt. <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
==== Fläche ober- und unterhalb der x-Achse ==== <br />
<br />
[[Datei:fall_3.jpg|rahmenlos|rechts]]<br />
Die Fläche liegt im Intervall <math>[a;b]</math> sowohl oberhalb als auch unterhalb der <math>x</math>-Achse (Der Graph <math>f</math> hat im Intervall <math>[a;b]</math> Nullstellen)<br />
<br />
Das Integral von <math>a</math> nach <math>b</math> muss in zwei Integrale unterteilt werden. Die Teilflächen müssen also getrennt berechnet werden. Die Nullstellen geben hierbei jeweils die Grenzen an.<br />
<br />
Es gilt: <math>A= \left|\int_{a}^{c} f(x)\, dx\right| +\left|\int_{c}^{b} f(x)\, dx\right| </math><br />
<br />
Die negativen Werte für einen Teilbereich des Integrals werden mit dem Betrag positiv gemacht. Hierbei ist darauf zu achten, dass man für jeden Summanden einen extra Betrag setzt. Zum Schluss werden alle Werte addiert.<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
==== Fläche zwischen zwei Graphen ====<br />
<br />
[[Datei:Fall4.jpg|rahmenlos|rechts]]<br />
Die Fläche wird von den Graphen zweier Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt. Im Intervall <math>[a;b]</math> liegt sie über der <math>x</math>-Achse.<br />
Voraussetzung hierfür ist, dass <math>f(x)\ge g(x)</math> gilt.<br />
<br />
<br />
Es gilt: <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx - \int_{a}^{b} g(x)\, dx</math> <br />
<br />
Kurzform: <math>A= \int_{a}^{b} (f(x)-g(x))\, dx </math><br />
<br />
<br />
Wenn sich die Graphen von <math>f</math> und <math>g</math> nicht schneiden gilt für den Flächeninhalt <math>A</math> zwischen den Graphen: <br />
<br />
<math>A= \int_{a}^{b} (obere Funktion - untere Funktion)\, dx </math><br />
<br />
Man bestimmt also zunächst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninhalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen der Funktion <math>g</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Es wird also wie oben beschrieben der Flächeninhalt der oberen Funktion minus dem Flächeninhalt der unteren Funktion gerechnet.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
==== Fläche zwischen zwei Graphen mit positiven und negativen Funktionswerten ====<br />
<br />
[[Datei:fall5.jpg|rahmenlos|rechts]]<br />
Eine Fläche, die von zwei Graphen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt wird. Ein Graph nimmt sowohl positive wie auch negative Funktionswerte an.<br />
<br />
Hier geht man genauso vor wie beim Fall 4. <br />
Begründung: Der Flächeninhalt bleibt immer gleich groß, egal in welchem Quadrant/welchen Quadranten die Fläche liegt. Man darf die Graphen beliebig weit nach oben verschieben.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
==== Flächenberechnung bei sich schneidenden Graphen ====<br />
<br />
[[Datei:Fall6.jpg|rahmenlos|rechts]]<br />
Zwei Graphen schneiden sich im Intervall <math>[a;b]</math><br />
<br />
Teilweise gilt <math>f(x)\ge g(x)</math> und teilweise <math>g(x)\ge f(x)</math><br />
Die Intervalle müssen getrennt berechnet werden.<br />
<br />
<br />
Vorgehensweise:<br />
<br />
1. Schnittpunkt <math>z</math> der Graphen bestimmen<br />
<br />
2. Bestimmen, in welchem Intervall <math>f(x)\ge g(x)</math> und in welchem <math>g(x)\ge f(x)</math> gilt<br />
<br />
3. Berechnung des Flächeninhalts<br />
<br />
Es gilt: <br />
<br />
<math>A= \int_{a}^{z} (g(x)-f(x))\, dx + \int_{z}^{b} (f(x)-g(x))\, dx</math><br />
<br />
Man geht also ähnlich wie beim Fall 4 vor. Auch hier nimmt man zuerst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der oberen Funktion <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der Funktion <math>g(x)</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Im nächsten Schritt geht man genauso vor, nur dass nun <math>g(x)</math> die obere Funktion und <math>f(x)</math> die untere Funktion ist.<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Flächenberechnung mit dem GTR (TI-84 Plus) ===<br />
''(Anleitung mit aktueller Softwareversion)''<br />
<br />
<br />
Am Beispiel <math>f(x)=x^2-2x</math><br />
<br />
Da die Funktion auch negative Werte animmt verwendet man den Betrag der Funktion <math>f(x)</math><br />
<br />
<br />
'''Anleitung (mit Zeichnung)'''<br />
<br />
1. <math>y</math>- Editor<br />
<br />
2. MATH - NUM: 1<br />
<br />
3. Funktion eingeben und zeichenen lassen<br />
<br />
4. 2nd CALC: 7<br />
<br />
5. Grenzen eingeben<br />
<br />
<br />
'''Alternativer Weg (ohne Zeichung):'''<br />
<br />
1. MATH: 9<br />
<br />
2. Grenzen eingeben<br />
<br />
3. MATH - NUM: 1<br />
<br />
4. Funktion eingeben und berechnen lassen</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/W%C3%BCrfeWürfe2014-06-05T07:55:53Z<p>F.Bittermann: /* waagerechter Wurf */</p>
<hr />
<div>== waagerechter Wurf ==<br />
<br />
Bewegung in x-Richtung: <br /><br />
<math> s_x=v \cdot t +v_0</math><br />
<br />
== senkrechter Wurf ==</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/W%C3%BCrfeWürfe2014-06-05T07:54:53Z<p>F.Bittermann: /* waagerechter Wurf */</p>
<hr />
<div>== waagerechter Wurf ==<br />
<br />
Bewegung in x-Richtung: <br /><br />
<math> s_x=v \cdot t +v_0</math><br />
<br />
[[Bild:Bild.jpg]]<br />
<br />
== senkrechter Wurf ==</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/W%C3%BCrfeWürfe2014-06-05T07:54:19Z<p>F.Bittermann: /* waagerechter Wurf */</p>
<hr />
<div>== waagerechter Wurf ==<br />
<br />
Bewegung in x-Richtung: <br /><br />
<math> s_x=v \cdot t +v_0</math><br />
<br />
[[Bild.jpg]]<br />
<br />
== senkrechter Wurf ==</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/W%C3%BCrfeWürfe2014-06-05T07:38:54Z<p>F.Bittermann: Die Seite wurde neu angelegt: „== waagerechter Wurf == == senkrechter Wurf ==“</p>
<hr />
<div>== waagerechter Wurf ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== senkrechter Wurf ==</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/Klasse_10Klasse 102014-06-05T07:33:35Z<p>F.Bittermann: </p>
<hr />
<div><imagemap><br />
Bild:Mechanik Klasse 10.jpg|992px|Mindmap<br />
rect 517 68 734 97 [[geradlinige Bewegung]]<br />
rect 757 37 860 73 [[geradlinige Bewegung#geradlinig gleichförmige Bewegung|gleichförmige Bewegung]]<br />
rect 757 78 868 128 [[geradlinige Bewegung#geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung|gleichmäßig beschleunigte Bewegung]]<br />
rect 890 81 951 97 [[geradlinige Bewegung#freier Fall|freier Fall]]<br />
rect 528 249 704 296 [[Bewegung in zwei Dimensionen]]<br />
rect 727 229 871 249 [[Bewegung in zwei Dimensionen|Skalare und Vektoren]]<br />
rect 231 256 394 286 [[Kreisbewegung]]<br />
rect 198 170 337 218 [[Newtonsche Grundgesetze]]<br />
rect 40 158 175 179 [[Newtonsche Grundgesetze|erstes Newtonsches Grundgesetz]]<br />
rect 40 184 175 205 [[Newtonsche Grundgesetze|zweites Newtonsches Grundgesetz]]<br />
rect 40 210 175 230 [[Newtonsche Grundgesetze|drittes Newtonsches Grundgesetz]]<br />
rect 287 68 370 98 [[Energie]]<br />
</imagemap><br />
<br />
Klicke direkt im Bild auf ein (grau unterlegtes) Hauptthema.<br />
<br />
[[Würfe]]</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/FunktionenscharenFunktionenscharen2014-02-21T10:03:40Z<p>F.Bittermann: /* Funktionenscharen */</p>
<hr />
<div>Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt.<br />
<br />
{{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/><br />
<math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math><br />
}}<br />
<br />
== Funktionenscharen ==<br />
'''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /><br />
<math><br />
\begin{matrix}<br />
f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\<br />
<br />
f'(x)&=& 2x^3-2dx \\<br />
f''(x)&=& 6x^2-2d <br />
\end{matrix}<br />
</math><br />
<br />
<br /><br />
<br />
<math><br />
\begin{matrix}<br />
2x^3-2dx&=& 0 & \\<br />
2x^3&=& 2dx &\\<br />
x^3 &=& dx & x_1 = 0\\<br />
x^2&=& d &\\<br />
x_2&=& \sqrt d &\\<br />
x_3&=& - \sqrt d & d \not< 0<br />
\end{matrix}<br />
</math><br />
<br />
<br /><br />
<br />
<math><br />
\begin{matrix}<br />
f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\<br />
f''(x) &<& 0 \rightarrow HP <br />
\end{matrix}<br />
</math><br />
<br />
<br />
<math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math><br /><br />
<math>f''(-\sqrt d)= 6 (-\sqrt d) ^2-2d=6d-2d=4d</math> <br /><br />
<math> 4d > 0 \rightarrow TP </math> für beide Extrempunkte <br /><br />
für <math> d = 0 </math> liegt kein Tiefpunkt vor!<br />
<br />
<br />
<math>f''( 0) = -2d</math><br /><br />
<math> -2d < 0 \rightarrow HP </math> , für <math> d = 0 </math> liegt kein Hochpunkt vor!<br />
<br />
== Ortskurven ==<br />
'''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /><br />
<br />
Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte.<br />
<br />
'''Bestimmen von Ortskurven'''<br />
<br />
Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( \sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -\sqrt d | - 0,5 d^2) </math><br />
<br />
<br />
Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: <br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
x&=\sqrt d \\<br />
y&= f( \sqrt d ) = - 0,5 d^2<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
<br />
x - Koordinate nach Parameter auflösen: <br />
<br />
<math>d= x^2 </math><br />
<br />
<br />
Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <br />
<br />
<math>y= -0,5x^4 </math><br />
<br />
<br />
Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte:<br />
<br />
<math>y= -0,5 x^4 </math><br />
<br />
<br />
<!-- Bitte unbedingt stehen lassen und nicht verändern - das ist die Grafik!!! --><br />
<ggb_applet width="754" height="631" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /></div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/FunktionenscharenFunktionenscharen2014-02-21T09:13:15Z<p>F.Bittermann: /* Funktionenscharen */</p>
<hr />
<div>Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt.<br />
<br />
{{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/><br />
<math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math><br />
}}<br />
<br />
== Funktionenscharen ==<br />
'''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /><br />
<math><br />
\begin{matrix}<br />
f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\<br />
<br />
f'(x)&=& 2x^3-2dx \\<br />
f''(x)&=& 6x^2-2d <br />
\end{matrix}<br />
</math><br />
<br />
<br /><br />
<br />
<math><br />
\begin{matrix}<br />
2x^3-2dx&=& 0 & \\<br />
2x^3&=& 2dx &\\<br />
x^3 &=& dx & x_1 = 0\\<br />
x^2&=& d &\\<br />
x_2&=& \sqrt d &\\<br />
x_3&=& - \sqrt d & d \not< 0<br />
\end{matrix}<br />
</math><br />
<br />
<br /><br />
<br />
<math><br />
\begin{matrix}<br />
f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\<br />
f''(x) &<& 0 \rightarrow HP <br />
\end{matrix}<br />
</math><br />
<br />
<br />
<math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math><br /><br />
<math>f''(-\sqrt d)= 6 (-\sqrt d) ^2-2d=6d-2d=4d</math><br />
<math> d < 0 \rightarrow HP </math><br />
<br />
<math> d > 0 \rightarrow TP </math><br />
<br />
== Ortskurven ==<br />
'''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /><br />
<br />
Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte.<br />
<br />
'''Bestimmen von Ortskurven'''<br />
<br />
Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( \sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -\sqrt d | - 0,5 d^2) </math><br />
<br />
<br />
Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: <br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
x&=\sqrt d \\<br />
y&= f( \sqrt d ) = - 0,5 d^2<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
<br />
x - Koordinate nach Parameter auflösen: <br />
<br />
<math>d= x^2 </math><br />
<br />
<br />
Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <br />
<br />
<math>y= -0,5x^4 </math><br />
<br />
<br />
Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte:<br />
<br />
<math>y= -0,5 x^4 </math><br />
<br />
<br />
<!-- Bitte unbedingt stehen lassen und nicht verändern - das ist die Grafik!!! --><br />
<ggb_applet width="754" height="631" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /></div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/FunktionenscharenFunktionenscharen2014-02-21T09:12:37Z<p>F.Bittermann: /* Funktionenscharen */</p>
<hr />
<div>Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt.<br />
<br />
{{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/><br />
<math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math><br />
}}<br />
<br />
== Funktionenscharen ==<br />
'''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /><br />
<math><br />
\begin{matrix}<br />
f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\<br />
<br />
f'(x)&=& 2x^3-2dx \\<br />
f''(x)&=& 6x^2-2d <br />
\end{matrix}<br />
</math><br />
<br />
<br /><br />
<br />
<math><br />
\begin{matrix}<br />
2x^3-2dx&=& 0 & \\<br />
2x^3&=& 2dx &\\<br />
x^3 &=& dx & x_1 = 0\\<br />
x^2&=& d &\\<br />
x_2&=& \sqrt d &\\<br />
x_3&=& - \sqrt d & d \not< 0<br />
\end{matrix}<br />
</math><br />
<br />
<br /><br />
<br />
<math><br />
\begin{matrix}<br />
f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\<br />
f''(x) &<& 0 \rightarrow HP <br />
\end{matrix}<br />
</math><br />
<br />
<br />
<math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math><br /><br />
<math>f''(-\sqrt d)= 6 (-\sqrt d) ^2-2d=6d-2d=4d</math><br />
<math> d < 0 \rightarrow HP </math><br />
<br />
<span style="color: red">''Vorsicht: Kann <math>d<0</math> nun doch gelten? [Btm]''</span><br /><br />
<br />
<br />
<br />
<math> d > 0 \rightarrow TP </math><br />
<br />
== Ortskurven ==<br />
'''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /><br />
<br />
Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte.<br />
<br />
'''Bestimmen von Ortskurven'''<br />
<br />
Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( \sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -\sqrt d | - 0,5 d^2) </math><br />
<br />
<br />
Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: <br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
x&=\sqrt d \\<br />
y&= f( \sqrt d ) = - 0,5 d^2<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
<br />
x - Koordinate nach Parameter auflösen: <br />
<br />
<math>d= x^2 </math><br />
<br />
<br />
Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <br />
<br />
<math>y= -0,5x^4 </math><br />
<br />
<br />
Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte:<br />
<br />
<math>y= -0,5 x^4 </math><br />
<br />
<br />
<!-- Bitte unbedingt stehen lassen und nicht verändern - das ist die Grafik!!! --><br />
<ggb_applet width="754" height="631" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /></div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/FunktionenscharenFunktionenscharen2014-02-21T08:42:31Z<p>F.Bittermann: /* Ortskurven */</p>
<hr />
<div>Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt.<br />
<br />
{{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/><br />
<math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math><br />
}}<br />
<br />
== Funktionenscharen ==<br />
'''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /><br />
<math><br />
\begin{matrix}<br />
f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\<br />
<br />
f'(x)&=& 2x^3-2dx \\<br />
f''(x)&=& 6x^2-2d <br />
\end{matrix}<br />
</math><br />
<br />
<br /><br />
<br />
<math><br />
\begin{matrix}<br />
2x^3-2dx&=& 0 \\<br />
2x^3&=& 2dx \\<br />
x^3 &=& dx \\<br />
x^2&=& d \\<br />
x_1&=& \sqrt d \\<br />
x_2&=& - \sqrt d<br />
\end{matrix}<br />
</math><br />
<br />
&rarr; d kann nicht negativ werden<br />
<br />
<span style="color: red">''Vorsicht - hier ist ein Fehler. Es gibt drei Lösungen, nicht nur eine! [Btm]''</span><br />
<br />
<br /><br />
<br />
<math><br />
\begin{matrix}<br />
f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\<br />
f''(x) &<& 0 \rightarrow HP <br />
\end{matrix}<br />
</math><br />
<br />
<br />
<math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math><br /><br />
<math>f''(-\sqrt d)= 6 (-\sqrt d) ^2-2d=6d-2d=4d</math><br />
<math> d < 0 \rightarrow HP </math><br />
<br />
<span style="color: red">''Vorsicht: Kann <math>d<0</math> nun doch gelten? [Btm]''</span><br /><br />
<br />
<br />
<br />
<math> d > 0 \rightarrow TP </math><br />
<br />
== Ortskurven ==<br />
'''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /><br />
<br />
Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte.<br />
<br />
'''Bestimmen von Ortskurven'''<br />
<br />
Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( \sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -\sqrt d | - 0,5 d^2) </math><br />
<br />
<br />
Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: <br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
x&=\sqrt d \\<br />
y&= f( \sqrt d ) = - 0,5 d^2<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
<br />
x - Koordinate nach Parameter auflösen: <br />
<br />
<math>d= x^2 </math><br />
<br />
<br />
Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <br />
<br />
<math>y= -0,5x^4 </math><br />
<br />
<br />
Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte:<br />
<br />
<math>y= -0,5 x^4 </math><br />
<br />
<br />
<!-- Bitte unbedingt stehen lassen und nicht verändern - das ist die Grafik!!! --><br />
<ggb_applet width="754" height="631" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /></div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/FunktionenscharenFunktionenscharen2014-02-21T08:40:37Z<p>F.Bittermann: /* Funktionenscharen */</p>
<hr />
<div>Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt.<br />
<br />
{{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/><br />
<math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math><br />
}}<br />
<br />
== Funktionenscharen ==<br />
'''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /><br />
<math><br />
\begin{matrix}<br />
f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\<br />
<br />
f'(x)&=& 2x^3-2dx \\<br />
f''(x)&=& 6x^2-2d <br />
\end{matrix}<br />
</math><br />
<br />
<br /><br />
<br />
<math><br />
\begin{matrix}<br />
2x^3-2dx&=& 0 \\<br />
2x^3&=& 2dx \\<br />
x^3 &=& dx \\<br />
x^2&=& d \\<br />
x_1&=& \sqrt d \\<br />
x_2&=& - \sqrt d<br />
\end{matrix}<br />
</math><br />
<br />
&rarr; d kann nicht negativ werden<br />
<br />
<span style="color: red">''Vorsicht - hier ist ein Fehler. Es gibt drei Lösungen, nicht nur eine! [Btm]''</span><br />
<br />
<br /><br />
<br />
<math><br />
\begin{matrix}<br />
f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\<br />
f''(x) &<& 0 \rightarrow HP <br />
\end{matrix}<br />
</math><br />
<br />
<br />
<math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math><br /><br />
<math>f''(-\sqrt d)= 6 (-\sqrt d) ^2-2d=6d-2d=4d</math><br />
<math> d < 0 \rightarrow HP </math><br />
<br />
<span style="color: red">''Vorsicht: Kann <math>d<0</math> nun doch gelten? [Btm]''</span><br /><br />
<br />
<br />
<br />
<math> d > 0 \rightarrow TP </math><br />
<br />
== Ortskurven ==<br />
'''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /><br />
<br />
Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte.<br />
<br />
'''Bestimmen von Ortskurven'''<br />
<br />
Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -sqrt d | - 0,5 d^2) </math><br />
<br />
<br />
Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: <br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
x&=sqrt d \\<br />
y&= f( sqrt d ) = - 0,5 d^2<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
<br />
x - Koordinate nach Parameter auflösen: <br />
<br />
<math>d= x^2 </math><br />
<br />
<br />
Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <br />
<br />
<math>y= -0,5x^4 </math><br />
<br />
<br />
Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte:<br />
<br />
<math>y= -0,5 x^4 </math><br />
<br />
<br />
<!-- Bitte unbedingt stehen lassen und nicht verändern - das ist die Grafik!!! --><br />
<ggb_applet width="754" height="631" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /></div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/TangentenproblemeTangentenprobleme2013-11-22T09:58:41Z<p>F.Bittermann: /* Tangente - Definition und Tangentengleichung */</p>
<hr />
<div>__notoc__<br />
<br />
== Tangente - Definition und Tangentengleichung ==<br />
<br />
<br /><br />
{{Definition|1=<br />
Gegeben ist ein Punkt <math>P(x_P|f(x_P))</math> auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit <math>f'(x_P)</math> als Steigung.<br />
}}<br />
<br />
<br />Allgemeine Tangentengleichungen:<br /><br />
<br />
<math>y=f'(x_0) \cdot (x-x_0)+f(x_0)</math><br /><br />
<br /><br />
P(x|y) ist ein Punkt der Tangente.<br /><br /><br />
<math>P(x_0|y_0)</math> ist ein Berührpunkt der Tangente mit dem Schaubild der Funktion von F.<br /><br />
<br />
{{Übung|1=<br />
Gegeben ist eine Funktion f mit <math>f(x)=-\frac{x^2}{4} \cdot (x-6)</math> und ein Punkt P(6;0), der nicht zu f gehört.<br /><br />
Finde die Tangente von P an f, ohne den Berührpunkt zu kennen.<br />
}}<br />
<br />
<br /><br />
allgemeine Tangentengleichung:<br /><br />
<math>y=f'(x_0) \cdot (x-x_0)+f(x_0)</math><br /><br />
<math>P(x|y), P(6|0)</math> ---> Punkte der Tangente<br /><br />
<math>P_0(x_0|y_0)</math> ---> unbekannter Berührpunkt der Tangente<br /><br />
<math>0=-\frac{2x}{4} \cdot (x-6)-\frac{x_0^2}{4} \cdot 1 \cdot (6-x_0)+\left( -\frac{x_0^2}{4} \cdot (x_0-6) \right)</math><br /><br />
Gleichung in GTR eingeben und lösen:<br /><br />
Berührstellen:<br /><br />
<math>x_1=0</math><br /><br />
<math>x_2=6</math><br /><br />
<br />
Eingesetzt <math>x_1=0</math> in die allgemeine Tangentengleichung:<br /><br />
---> <math>y=(-\frac{2 \cdot 0}{4} \cdot (0-6)-\frac{0^2}{4} \cdot 1 \cdot (x-0)+0)</math><br /><br />
<br />
Tangentengleichung: <math>y=0 \cdot x+0</math><br /><br />
<br />
<br />
Eingesetzt <math>x_2=6</math> in die allgemeine Tangentengleichung:<br /><br />
---> <math>y=(-\frac{2 \cdot 6}{4} \cdot (6-6)-\frac{6^2}{4} \cdot 1 \cdot (x-6)+0)</math><br /><br />
<br />
Tangentengleichung: <math>y=-9 \cdot x+54</math><br /><br />
<br />
== Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt ==<br />
<br />
{{Aufgabe|1=<br />
Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> an der Stelle <math>x_0=3</math> angelegt werden kann.<br />
}}<br />
<br />
<math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math><br />
<br />
<math>f'(x)={1 \over 3} x^2 -1</math><br />
<br />
<math>f(3)=0</math><br />
<br />
<math>f'(3)=2</math><br />
<br />
== Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt ==<br />
<br />
{{Aufgabe| 1=<br />
Gegeben ist die Funktion f mit <math>f(x)=2x^2-18x+9</math>. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung <math>-2</math> an, die an das Schaubild von f gelegt werden können.<br />
}}<br />
<br />
Lösung:<br />
<br />
Wir setzen die Steigung <math>m=-2</math> in die Ableitung der Funktion als <math>f'(x)</math> ein.<br />
<br />
<math>f'(x)=4x-18</math><br />
<br />
<math>-2=4x-18</math><br />
<br />
<math>x=4</math><br />
<br />
4 ist die Berührstelle. Um den Y-Wert des Berührpunkts herauszufinden, setzten wir 4 in die ursprüngliche Funktion <math>f(x)</math> ein.<br />
<br />
<math>f(x)=2\cdot4^2-18\cdot4+9</math><br />
<br />
== Tangente an Schaubild, Berührpunkt unbekannt ==<br />
<br />
{{Aufgabe|1=<br />
Vom Punkt <math>P(0|5)</math> aus werden Tangenten an das Schaubild von <math>f(x)={1 \over 8}x^3 - {3 \over 4}x^2 +4</math> gelegt. Bestimme die Gleichungen dieser Tangenten und die Koordinaten der Berührpunkte. <br />
}}</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/TangentenproblemeTangentenprobleme2013-11-15T11:24:42Z<p>F.Bittermann: /* Tangente - Definition und Tangentengleichung */</p>
<hr />
<div>__notoc__<br />
<br />
== Tangente - Definition und Tangentengleichung ==<br />
<br />
<br /><br />
{{Definition|1=<br />
Gegeben ist ein Punkt <math>P(x_P|f(x_P))</math> auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit <math>f'(x_P)</math> als Steigung.<br />
}}<br />
<br />
<br />Allgemeine Tangentengleichungen:<br /><br />
<br />
<math>y=f'(x_0) \cdot (x-x_0)+f(x_0)</math><br /><br />
<br /><br />
P(x|y) ist ein Punkt der Tangente.<br /><br /><br />
<math>P(x_0|y_0)</math> ist ein Berührpunkt der Tangente mit dem Schaubild der Funktion von F.<br /><br />
<br />
{{Übung|1=<br />
Gegeben ist eine Funktion f mit <math>f(x)=-\frac{x^2}{4} \cdot (x-6)</math> und ein Punkt P(6;0), der nicht zu f gehört.<br /><br />
Finde die Tangente von P an f, ohne den Berührpunkt zu kennen.<br />
}}<br />
<br />
<br /><br />
allgemeine Tangentengleichung:<br /><br />
<math>y=f'(x_0) \cdot (x-x_0)+f(x_0)</math><br /><br />
<math>P(x|y), P(6|0)</math> ---> Punkte der Tangente<br /><br />
<math>P_0(x_0|y_0)</math> ---> unbekannter Berührpunkt der Tangente<br /><br />
<math>0=\frac{-2x}{4} \cdot (x-6)-\frac{x_0^2}{4} \cdot 1 \cdot (6-x_0)+\left( -\frac{x_0^2}{4} \cdot (x_0-6) \right)</math><br /><br />
Gleichung in GTR eingeben:<br /><br />
Berührpunkte:<br /><br />
<math>x_1=0</math><br /><br />
<math>x_2=0</math><br /><br />
Einsetzt <math>x_2=0</math> in die allgemeine Tangentengleichung:<br /><br />
---> <math>y=(-\frac{2 \cdot 0}{4} \cdot (0-6)-\frac{0^2}{4} \cdot 1 \cdot (x-0)+0)</math><br /><br />
Tangentengleichung: <math>y=0 \cdot x+0</math><br /><br />
Das Ergebnis für x=6: y=0<br />
<br />
== Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt ==<br />
<br />
{{Aufgabe|1=<br />
Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> an der Stelle <math>x_0=3</math> angelegt werden kann.<br />
}}<br />
<br />
== Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt ==<br />
<br />
{{Aufgabe| 1=<br />
Gegeben ist die Funktion f mit <math>f(x)=2x^2-18x+9</math>. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung <math>-2</math> an, die an das Schaubild von f gelegt werden können.<br />
}}<br />
<br />
== Tangente an Schaubild, Berührpunkt unbekannt ==<br />
<br />
{{Aufgabe|1=<br />
Vom Punkt <math>P(0|5)</math> aus werden Tangenten an das Schaubild von <math>f(x)={1 \over 8}x^3 - {3 \over 4}x^2 +4</math> gelegt. Bestimme die Gleichungen dieser Tangenten und die Koordinaten der Berührpunkte. <br />
}}</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/TangentenproblemeTangentenprobleme2013-11-15T11:14:59Z<p>F.Bittermann: /* Tangente - Definition und Tangentengleichung */</p>
<hr />
<div>__notoc__<br />
<br />
== Tangente - Definition und Tangentengleichung ==<br />
<br />
<br /><br />
{{Definition|1=<br />
Gegeben ist ein Punkt <math>P(x_P|f(x_P))</math> auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit <math>f'(x_P)</math> als Steigung.<br />
}}<br />
<br />
<br />Allgemeine Tangentengleichungen:<br /><br />
<br />
<math>y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)</math><br /><br />
<br /><br />
P(x|y) ist ein Punkt der Tangente.<br /><br /><br />
<math>P(x_0|y_0)</math> ist ein Berührpunkt der Tangente mit dem Schaubild der Funktion von F.<br /><br />
<br />
{{Übung|1=<br />
Gegeben ist eine Funktion f und ein Punkt P, der nicht zu f gehört.<br /><br />
Finde die Tangente von P an f, ohne den Berührpunkt zu kennen.<br /><br />
<br />
<math>f(x)=-\frac{x^2}{4}(x-6)</math> ; P(6|0)<br />
>}}<br />
<br />
allgemeine Tangentengleichung:<br /><br />
<math>y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)</math><br /><br />
<math>P(x|y) P(6|0)</math> ---> Punkte der Tangente<br /><br />
<math>P_0(x_0|y_0)</math>= unbekannter Berühpunkt der Tangente<br /><br />
<math>0=\frac{-2x}{4}(x-6)-\frac{x_0^2}{4}*1*(6-x_0)+(-\frac{x_0^2}{4} (x_0-6))</math><br /><br />
Gleichung in GTR eingeben:<br /><br />
Berührpunkte:<br /><br />
<math>x_1=0</math><br /><br />
<math>x_2=0</math><br /><br />
Einsetzt <math>x_2=0</math> in die allgemeine Tangentengleichung:<br /><br />
---> <math>y=(-\frac{2*0}{4}(0-6)-\frac{0^2}{4}*1*(x-0)+0)</math><br /><br />
Tangentengleichung: <math>y=0*x+0</math><br /><br />
Das Ergebnis für x=6: y=0<br />
<br />
== Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt ==<br />
<br />
{{Aufgabe|1=<br />
Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> an der Stelle <math>x_0=3</math> angelegt werden kann.<br />
}}<br />
<br />
== Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt ==<br />
<br />
{{Aufgabe| 1=<br />
Gegeben ist die Funktion f mit <math>f(x)=2x^2-18x+9</math>. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung <math>-2</math> an, die an das Schaubild von f gelegt werden können.<br />
}}<br />
<br />
== Tangente an Schaubild, Berührpunkt unbekannt ==<br />
<br />
{{Aufgabe|1=<br />
Vom Punkt <math>P(0|5)</math> aus werden Tangenten an das Schaubild von <math>f(x)={1 \over 8}x^3 - {3 \over 4}x^2 +4</math> gelegt. Bestimme die Gleichungen dieser Tangenten und die Koordinaten der Berührpunkte. <br />
}}</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/TangentenproblemeTangentenprobleme2013-11-15T11:13:30Z<p>F.Bittermann: /* Tangente - Definition und Tangentengleichung */</p>
<hr />
<div>__notoc__<br />
<br />
== Tangente - Definition und Tangentengleichung ==<br />
<br />
<br /><br />
{{Definition|1=<br />
Gegeben ist ein Punkt <math>P(x_P|f(x_P))</math> auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit <math>f'(x_P)</math> als Steigung.<br />
}}<br />
<br />
<br />Allgemeine Tangentengleichungen:<br /><br />
<br />
<math>y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)</math><br /><br />
<br /><br />
P(x|y) ist ein Punkt der Tangente.<br /><br /><br />
<math>P(x_0|y_0)</math> ist ein Berührpunkt der Tangente mit dem Schaubild der Funktion von F.<br /><br />
<br />
{{Übung|<br />
Gegeben ist eine Funktion f und ein Punkt P, der nicht zu f gehört.<br /><br />
Finde die Tangente von P an f, ohne den Berührpunkt zu kennen.<br /><br />
<br />
<math>f(x)=-\frac{x^2}{4}(x-6)</math> ; P(6|0)<br /><br />
>}}<br />
<br />
allgemeine Tangentengleichung:<br /><br />
<math>y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)</math><br /><br />
<math>P(x|y) P(6|0)</math> ---> Punkte der Tangente<br /><br />
<math>P_0(x_0|y_0)</math>= unbekannter Berühpunkt der Tangente<br /><br />
<math>0=\frac{-2x}{4}(x-6)-\frac{x_0^2}{4}*1*(6-x_0)+(-\frac{x_0^2}{4} (x_0-6))</math><br /><br />
Gleichung in GTR eingeben:<br /><br />
Berührpunkte:<br /><br />
<math>x_1=0</math><br /><br />
<math>x_2=0</math><br /><br />
Einsetzt <math>x_2=0</math> in die allgemeine Tangentengleichung:<br /><br />
---> <math>y=(-\frac{2*0}{4}(0-6)-\frac{0^2}{4}*1*(x-0)+0)</math><br /><br />
Tangentengleichung: <math>y=0*x+0</math><br /><br />
Das Ergebnis für x=6: y=0<br />
<br />
== Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt ==<br />
<br />
{{Aufgabe|1=<br />
Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> an der Stelle <math>x_0=3</math> angelegt werden kann.<br />
}}<br />
<br />
== Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt ==<br />
<br />
{{Aufgabe| 1=<br />
Gegeben ist die Funktion f mit <math>f(x)=2x^2-18x+9</math>. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung <math>-2</math> an, die an das Schaubild von f gelegt werden können.<br />
}}<br />
<br />
== Tangente an Schaubild, Berührpunkt unbekannt ==<br />
<br />
{{Aufgabe|1=<br />
Vom Punkt <math>P(0|5)</math> aus werden Tangenten an das Schaubild von <math>f(x)={1 \over 8}x^3 - {3 \over 4}x^2 +4</math> gelegt. Bestimme die Gleichungen dieser Tangenten und die Koordinaten der Berührpunkte. <br />
}}</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/TangentenproblemeTangentenprobleme2013-11-15T11:13:18Z<p>F.Bittermann: /* Tangente - Definition und Tangentengleichung */</p>
<hr />
<div>__notoc__<br />
<br />
== Tangente - Definition und Tangentengleichung ==<br />
<br />
<br /><br />
{{Definition|1=<br />
Gegeben ist ein Punkt <math>P(x_P|f(x_P))</math> auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit <math>f'(x_P)</math> als Steigung.<br />
}}<br />
<br />
<br />Allgemeine Tangentengleichungen:<br /><br />
<br />
<math>y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)</math><br /><br />
<br /><br />
P(x|y) ist ein Punkt der Tangente.<br /><br /><br />
<math>P(x_0|y_0)</math> ist ein Berührpunkt der Tangente mit dem Schaubild der Funktion von F.<br /><br />
<br />
{{Übung|<<br />
Gegeben ist eine Funktion f und ein Punkt P, der nicht zu f gehört.<br /><br />
Finde die Tangente von P an f, ohne den Berührpunkt zu kennen.<br /><br />
<br />
<math>f(x)=-\frac{x^2}{4}(x-6)</math> ; P(6|0)<br /><br />
>}}<br />
<br />
allgemeine Tangentengleichung:<br /><br />
<math>y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)</math><br /><br />
<math>P(x|y) P(6|0)</math> ---> Punkte der Tangente<br /><br />
<math>P_0(x_0|y_0)</math>= unbekannter Berühpunkt der Tangente<br /><br />
<math>0=\frac{-2x}{4}(x-6)-\frac{x_0^2}{4}*1*(6-x_0)+(-\frac{x_0^2}{4} (x_0-6))</math><br /><br />
Gleichung in GTR eingeben:<br /><br />
Berührpunkte:<br /><br />
<math>x_1=0</math><br /><br />
<math>x_2=0</math><br /><br />
Einsetzt <math>x_2=0</math> in die allgemeine Tangentengleichung:<br /><br />
---> <math>y=(-\frac{2*0}{4}(0-6)-\frac{0^2}{4}*1*(x-0)+0)</math><br /><br />
Tangentengleichung: <math>y=0*x+0</math><br /><br />
Das Ergebnis für x=6: y=0<br />
<br />
== Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt ==<br />
<br />
{{Aufgabe|1=<br />
Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> an der Stelle <math>x_0=3</math> angelegt werden kann.<br />
}}<br />
<br />
== Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt ==<br />
<br />
{{Aufgabe| 1=<br />
Gegeben ist die Funktion f mit <math>f(x)=2x^2-18x+9</math>. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung <math>-2</math> an, die an das Schaubild von f gelegt werden können.<br />
}}<br />
<br />
== Tangente an Schaubild, Berührpunkt unbekannt ==<br />
<br />
{{Aufgabe|1=<br />
Vom Punkt <math>P(0|5)</math> aus werden Tangenten an das Schaubild von <math>f(x)={1 \over 8}x^3 - {3 \over 4}x^2 +4</math> gelegt. Bestimme die Gleichungen dieser Tangenten und die Koordinaten der Berührpunkte. <br />
}}</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/AbleitungsregelnAbleitungsregeln2013-11-15T11:05:07Z<p>F.Bittermann: /* Kettenregel */</p>
<hr />
<div>== Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 ==<br />
<br />
=== Potenzregel ===<br />
Allgemeine Formel:<br /><br />
<br /><br />
<math>f(x)=x^n</math><br /><br />
<math>f'(x)=n \cdot x^{n-1} </math><br /><br />
<br /><br />
Beispiel:<br /><br />
<br /><br />
<math>f(x)=x^3+x^2-x</math><br /><br />
<math>f'(x)=3x^2+2x-1</math><br /><br />
<br />
=== Summenregel ===<br />
Allgemeine Formel:<br /><br />
<br /><br />
<math>\begin{align}<br />
f(x)&=u(x)+v(x) \\<br />
f'(x)&=u'(x) + v'(x)<br />
\end{align}</math><br />
<br />
=== Faktorregel ===<br />
Allgemeine Formel:<br /><br />
<br /><br />
<math>f(x)=ax^n</math><br /><br />
<math>f'(x)=a \cdot n \cdot x^{n-1}</math><br /><br />
<br /><br />
Beispiel:<br /><br />
<br /><br />
<math>f(x)=2x^3+4x^2+5x</math><br /><br />
<math>f'(x)=6x^2+8x+5</math><br /><br />
<br />
== Neue Ableitungsregeln ==<br />
<br />
=== Produktregel ===<br />
Allgemeine Formel:<br /><br />
<br /><br />
<math>f(x)=u(x) \cdot v(x)</math><br /><br />
<br />
<math>f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)</math><br /><br />
<br /><br />
Kurzform: <math>f'=u'v+uv'</math><br /><br />
<br /><br />
<br /><br />
Rechenbeispiel:<br /><br />
<math>f(x)=(5x^2) \cdot x^{1 \over 2}</math><br /><br />
<math>f'(x)=(10x) \cdot (x^{1 \over 2})+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math><br /><br />
<math>f'(x)=10x \cdot sqrt{x}+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math><br />
<br />
<span style="color: red">''Kann man das noch weiter umschreiben? [Btm]''</span><br />
<br />
=== Quotientenregel ===<br />
<math><br />
f(x)= {u(x)\over v(x)}</math><br /><br />
<math>f'(x)= {{u'(x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v'(x)} \over (v(x))^2}<br />
</math><br />
<br />
Kurzform: <br /><br />
<math> f'= {{u' \cdot v- u \cdot v' } \over {v^2}} </math><br />
<br /><br />
<br />
Anwendungsbeispiel:<br /><br />
<math> f(x)= {{5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2} \over {x^2}} </math><br />
<br />
<math> f'= {{(15 \cdot x^2 + 4 \cdot x)\cdot x^2 }-{( 5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2) \cdot 2 \cdot x } \over {x^4}} </math><br />
<br />
<math> f'= {{(15 \cdot x^2 + 4 \cdot x^3 ) - {( 10 \cdot x^4 + 4 \cdot x^3)} \over { x^4}} </math><br />
<br />
<math> f'= {{ 5\cdot x^4} \over {x^4}} </math><br />
<br />
<math> f'={{ 5 \cdot x^4} \cdot {1 \over {x^4}} = {5} </math><br />
<br />
Quotienten lösen mit Hilfe der Produktregel:<br />
Trick: Quotienten in ein Produkt umschreiben und dann die Produktregel anwenden<br />
<br />
<math> f(x)= {{5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2} \over {x^2}} </math><br />
<br />
als Produkt: <math> f(x)= {{5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2} \cdot {x^-2}} </math><br />
<br />
<math> f'= {{(15 \cdot x^2 + 4 \cdot x) \cdot x^-2 + {( 5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2)} \cdot (-2 \cdot x^-3)}} </math><br />
<br />
<math> f'= {{x \cdot( 15 \cdot x +4 ) \over x^2} + {5 \cdot x + 2 \cdot (-2) \over x^2 } \cdot {x^2}} = {{15 \cdot x +4 \over x} - { 10 \cdot x - 4 \over x}} = {{ 5 \cdot x \over x }} = {5} </math><br />
<br />
=== Kettenregel ===<br />
Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /><br />
<br /><br />
<math>f(x)=u(v(x))</math><br /><br />
<br /><br />
<math>f'(x)=u'(v) \cdot v'(x)</math><br /><br />
<br /><br />
Die Ableitung einer verketteten Funktion ist die Ableitung <br /><br />
der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion.<br />
<br /><br />
<br /><br />
Beispiel:<br /><br />
<br /><br />
<math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /><br />
<br /><br />
äußere Funktion: <math>u=v^3</math><br />
<br /><br />
innere Funktion: <math>v=2x-x^2</math><br /><br />
<br /><br />
<math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /><br />
<br /><br />
<math>f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)</math><br /></div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/Newtonsche_GrundgesetzeNewtonsche Grundgesetze2013-03-19T16:51:57Z<p>F.Bittermann: /* drittes Newtonsches Grundgesetz */</p>
<hr />
<div>== Erstes Newtonsche Gesetz ==<br />
<br />
<br />
Das Erste Newtonsche Gesetz, auch das Trägheitsgesetz genannt, wurde, nicht wie angenommen zuerst von Newton, sondern von Galileo Galilei formuliert. <br />
<br />
Dieses Gesetz beinhaltet die Aussage:<br />
Dass ein Körper seine Bewegungsform nicht ändert, solange keine anderen Kräfte, die ihn zu einer Änderung des Bewegungszustandes führen, auf ihn einwirken.<br />
<br />
Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit v eines Körpers immer konstant bleibt, wenn keine ändernde Kraft auf ihn einwirkt.<br />
Die Änderung des Bewegungszustandes kann nur durch eine ausreichend starke, von außen einwirkende Kraft geschehen.<br />
<br />
Sind zwei Kräfte gleich null (F<sub>1</sub> – F<sub>2</sub> = 0) bleibt der Körper in seinem Zustand, dies verdeutlichtet das Bild (zum Vergrößern anklicken):<br />
<br />
[[Datei:Newton 1.GG.jpg|rahmenlos|500 px|1. Newtonsches Grundgesetz]]<br />
<br />
== Zweites Newtonsches Grundgesetz ==<br />
<br />
Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt."<br />
<br />
In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung.<br />
<br />
<math>F=m \cdot a</math><br />
<br />
An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in <math>m \over s^2</math>) ist. Man misst die Kraft F in <math>1N=1kg \cdot {m \over s^2}</math>. Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit <math>1 kg \cdot {m \over s^2}</math> mit 1 Newton (kurz 1 N) ab.<br />
<br />
=== Versuche ===<br />
<br />
==== Beschreibung ====<br />
In diesem Versuch wird ein Wagen von einem Gewicht über dieselbe Fahrbahn gezogen. Dabei wurden die Gewichte immer verändert und die Zeit gemessen.<br />
<br />
* Versuch 1: Gewicht: 20g {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}}<br />
<br />
* Versuch 2: Gewicht: 60g {{#ev:youtube|f61BLSQ0LtM}}<br />
<br />
* Versuch 3: Gewicht: 20g; Bei diesem Versuch wurde zusätzlich ein Gewicht von 500g auf dem Wagen befestigt.{{#ev:youtube|Fsej6_NGMmk}}<br />
<br />
Versuchsergenbisse:<br />
* Versuch 1: m=20g t= 2,46 s<br />
* Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s<br />
* Versuch 3: m(auf dem Wagen)= 500g t= 3,21 s<br />
<br />
==== Auswertung ====<br />
Diese Versuche bestätigen die Aussage des 2. Newtonschen Grundgesetzes <br />
--> Je größer die einwirkende Kraft (Masse des angehängten Gewichts), desto größer auch die Beschleunigung. In diesem Fall wird der Wagen durch ein schwereres Gewicht, dass den Wagen zieht, schneller und bei dem Versuch, bei dem das Gewicht auf dem Wagen befestigt wird, dementsprechend langsamer.<br />
<br />
== drittes Newtonsches Grundgesetz ==<br />
Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“<br />
<br />
In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt.<br />
<br />
<math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math><br />
<br />
<br />
Beispielvideo:<br />
{{#ev:youtube|VloOVI7vVVw}}<br />
<br />
<br />
In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer an der gleichen Stelle treffen.<br />
Person 1 (links) zieht mit einer Kraft an Person 2. Es wirkt eine gleichgroße Gegenkraft auf Person 2, die diese zu Person 1 zieht.<br />
Person 2 bewegt sich langsamer was aus einer größeren Masse derselben resultiert.</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/Newtonsche_GrundgesetzeNewtonsche Grundgesetze2013-03-19T16:49:36Z<p>F.Bittermann: /* Zweites Newtonsches Grundgesetz */</p>
<hr />
<div>== Erstes Newtonsche Gesetz ==<br />
<br />
<br />
Das Erste Newtonsche Gesetz, auch das Trägheitsgesetz genannt, wurde, nicht wie angenommen zuerst von Newton, sondern von Galileo Galilei formuliert. <br />
<br />
Dieses Gesetz beinhaltet die Aussage:<br />
Dass ein Körper seine Bewegungsform nicht ändert, solange keine anderen Kräfte, die ihn zu einer Änderung des Bewegungszustandes führen, auf ihn einwirken.<br />
<br />
Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit v eines Körpers immer konstant bleibt, wenn keine ändernde Kraft auf ihn einwirkt.<br />
Die Änderung des Bewegungszustandes kann nur durch eine ausreichend starke, von außen einwirkende Kraft geschehen.<br />
<br />
Sind zwei Kräfte gleich null (F<sub>1</sub> – F<sub>2</sub> = 0) bleibt der Körper in seinem Zustand, dies verdeutlichtet das Bild (zum Vergrößern anklicken):<br />
<br />
[[Datei:Newton 1.GG.jpg|rahmenlos|500 px|1. Newtonsches Grundgesetz]]<br />
<br />
== Zweites Newtonsches Grundgesetz ==<br />
<br />
Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt."<br />
<br />
In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung.<br />
<br />
<math>F=m \cdot a</math><br />
<br />
An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in <math>m \over s^2</math>) ist. Man misst die Kraft F in <math>1N=1kg \cdot {m \over s^2}</math>. Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit <math>1 kg \cdot {m \over s^2}</math> mit 1 Newton (kurz 1 N) ab.<br />
<br />
=== Versuche ===<br />
<br />
==== Beschreibung ====<br />
In diesem Versuch wird ein Wagen von einem Gewicht über dieselbe Fahrbahn gezogen. Dabei wurden die Gewichte immer verändert und die Zeit gemessen.<br />
<br />
* Versuch 1: Gewicht: 20g {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}}<br />
<br />
* Versuch 2: Gewicht: 60g {{#ev:youtube|f61BLSQ0LtM}}<br />
<br />
* Versuch 3: Gewicht: 20g; Bei diesem Versuch wurde zusätzlich ein Gewicht von 500g auf dem Wagen befestigt.{{#ev:youtube|Fsej6_NGMmk}}<br />
<br />
Versuchsergenbisse:<br />
* Versuch 1: m=20g t= 2,46 s<br />
* Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s<br />
* Versuch 3: m(auf dem Wagen)= 500g t= 3,21 s<br />
<br />
==== Auswertung ====<br />
Diese Versuche bestätigen die Aussage des 2. Newtonschen Grundgesetzes <br />
--> Je größer die einwirkende Kraft (Masse des angehängten Gewichts), desto größer auch die Beschleunigung. In diesem Fall wird der Wagen durch ein schwereres Gewicht, dass den Wagen zieht, schneller und bei dem Versuch, bei dem das Gewicht auf dem Wagen befestigt wird, dementsprechend langsamer.<br />
<br />
== drittes Newtonsches Grundgesetz ==<br />
Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“<br />
<br />
In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt.<br />
<br />
<math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math><br />
<br />
<br />
Beispielvideo:<br />
{{#ev:youtube|VloOVI7vVVw}}<br />
<br />
<br />
In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer an der gleichen Stelle treffen.<br />
Person 1(links) zieht mit einer Kraft an Person 2. Es wirkt eine Gleichgroße Gegenkraft auf Person 2, die diese zu Person 1 zieht.<br />
Person 2 bewegt sich langsamer was aus einer größeren Masse derselben resultiert.</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/Newtonsche_GrundgesetzeNewtonsche Grundgesetze2013-03-19T16:42:33Z<p>F.Bittermann: </p>
<hr />
<div>== Erstes Newtonsche Gesetz ==<br />
<br />
<br />
Das Erste Newtonsche Gesetz, auch das Trägheitsgesetz genannt, wurde, nicht wie angenommen zuerst von Newton, sondern von Galileo Galilei formuliert. <br />
<br />
Dieses Gesetz beinhaltet die Aussage:<br />
Dass ein Körper seine Bewegungsform nicht ändert, solange keine anderen Kräfte, die ihn zu einer Änderung des Bewegungszustandes führen, auf ihn einwirken.<br />
<br />
Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit v eines Körpers immer konstant bleibt, wenn keine ändernde Kraft auf ihn einwirkt.<br />
Die Änderung des Bewegungszustandes kann nur durch eine ausreichend starke, von außen einwirkende Kraft geschehen.<br />
<br />
Sind zwei Kräfte gleich null (F<sub>1</sub> – F<sub>2</sub> = 0) bleibt der Körper in seinem Zustand, dies verdeutlichtet das Bild (zum Vergrößern anklicken):<br />
<br />
[[Datei:Newton 1.GG.jpg|rahmenlos|500 px|1. Newtonsches Grundgesetz]]<br />
<br />
== Zweites Newtonsches Grundgesetz ==<br />
<br />
Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt."<br />
<br />
In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung.<br />
<br />
<math>F=m*a</math><br />
<br />
An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab.<br />
<br />
=== Versuche ===<br />
<br />
==== Beschreibung ====<br />
In diesem Versuch wird ein Wagen von einem Gewicht über dieselbe Fahrbahn gezogen. Dabei wurden die Gewichte immer verändert und die Zeit gemessen.<br />
<br />
* Versuch 1: Gewicht: 20g {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}}<br />
<br />
* Versuch 2: Gewicht: 60g {{#ev:youtube|f61BLSQ0LtM}}<br />
<br />
* Versuch 3: Gewicht: 20g; Bei diesem Versuch wurde zusätzlich ein Gewicht von 500g auf dem Wagen befestigt.{{#ev:youtube|Fsej6_NGMmk}}<br />
<br />
Versuchsergenbisse:<br />
* Versuch 1: m=20g t= 2,46 s<br />
* Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s<br />
* Versuch 3: m(auf dem Wagen)= 500g t= 3,21 s<br />
<br />
==== Auswertung ====<br />
Diese Versuche bestätigen die Aussage des 2. Newtonschen Grundgesetzes <br />
--> Je größer die einwirkende Kraft (Masse des angehängten Gewichts), desto größer auch die Beschleunigung. In diesem Fall wird der Wagen durch ein schwereres Gewicht, dass den Wagen zieht, schneller und bei dem Versuch, bei dem das Gewicht auf dem Wagen befestigt wird, dementsprechend langsamer.<br />
<br />
== drittes Newtonsches Grundgesetz ==<br />
Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“<br />
<br />
In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt.<br />
<br />
<math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math><br />
<br />
<br />
Beispielvideo:<br />
{{#ev:youtube|VloOVI7vVVw}}<br />
<br />
<br />
In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer an der gleichen Stelle treffen.<br />
Person 1(links) zieht mit einer Kraft an Person 2. Es wirkt eine Gleichgroße Gegenkraft auf Person 2, die diese zu Person 1 zieht.<br />
Person 2 bewegt sich langsamer was aus einer größeren Masse derselben resultiert.</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/Newtonsche_GrundgesetzeNewtonsche Grundgesetze2013-03-19T16:41:15Z<p>F.Bittermann: </p>
<hr />
<div>== Erstes Newtonsche Gesetz ==<br />
<br />
<br />
Das Erste Newtonsche Gesetz, auch das Trägheitsgesetz genannt, wurde, nicht wie angenommen zuerst von Newton, sondern von Galileo Galilei formuliert. <br />
<br />
Dieses Gesetz beinhaltet die Aussage:<br />
Dass ein Körper seine Bewegungsform nicht ändert, solange keine anderen Kräfte, die ihn zu einer Änderung des Bewegungszustandes führen, auf ihn einwirken.<br />
<br />
Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit v eines Körpers immer konstant bleibt, wenn keine ändernde Kraft auf ihn einwirkt.<br />
Die Änderung des Bewegungszustandes kann nur durch eine ausreichend starke, von außen einwirkende Kraft geschehen.<br />
<br />
Sind zwei Kräfte gleich null (F<sub>1</sub> – F<sub>2</sub> = 0) bleibt der Körper in seinem Zustand, dies verdeutlichtet das Bild:<br />
<br />
[[Datei:Newton 1.GG.jpg|rahmenlos|500 px|1. Newtonsches Grundgesetz]]<br />
<br />
== Zweites Newtonsches Grundgesetz ==<br />
<br />
Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt."<br />
<br />
In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung.<br />
<br />
<math>F=m*a</math><br />
<br />
An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab.<br />
<br />
=== Versuche ===<br />
<br />
==== Beschreibung ====<br />
In diesem Versuch wird ein Wagen von einem Gewicht über dieselbe Fahrbahn gezogen. Dabei wurden die Gewichte immer verändert und die Zeit gemessen.<br />
<br />
* Versuch 1: Gewicht: 20g {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}}<br />
<br />
* Versuch 2: Gewicht: 60g {{#ev:youtube|f61BLSQ0LtM}}<br />
<br />
* Versuch 3: Gewicht: 20g; Bei diesem Versuch wurde zusätzlich ein Gewicht von 500g auf dem Wagen befestigt.{{#ev:youtube|Fsej6_NGMmk}}<br />
<br />
Versuchsergenbisse:<br />
* Versuch 1: m=20g t= 2,46 s<br />
* Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s<br />
* Versuch 3: m(auf dem Wagen)= 500g t= 3,21 s<br />
<br />
==== Auswertung ====<br />
Diese Versuche bestätigen die Aussage des 2. Newtonschen Grundgesetzes <br />
--> Je größer die einwirkende Kraft (Masse des angehängten Gewichts), desto größer auch die Beschleunigung. In diesem Fall wird der Wagen durch ein schwereres Gewicht, dass den Wagen zieht, schneller und bei dem Versuch, bei dem das Gewicht auf dem Wagen befestigt wird, dementsprechend langsamer.<br />
<br />
== drittes Newtonsches Grundgesetz ==<br />
Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“<br />
<br />
In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt.<br />
<br />
<math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math><br />
<br />
<br />
Beispielvideo:<br />
{{#ev:youtube|VloOVI7vVVw}}<br />
<br />
<br />
In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer an der gleichen Stelle treffen.<br />
Person 1(links) zieht mit einer Kraft an Person 2. Es wirkt eine Gleichgroße Gegenkraft auf Person 2, die diese zu Person 1 zieht.<br />
Person 2 bewegt sich langsamer was aus einer größeren Masse derselben resultiert.</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/Newtonsche_GrundgesetzeNewtonsche Grundgesetze2013-03-19T16:40:50Z<p>F.Bittermann: /* Erstes Newtonsche Gesetz */</p>
<hr />
<div>== Erstes Newtonsche Gesetz ==<br />
<br />
<br />
Das Erste Newtonsche Gesetz, auch das Trägheitsgesetz genannt, wurde, nicht wie angenommen zuerst von Newton, sondern von Galileo Galilei formuliert. <br />
<br />
Dieses Gesetz beinhaltet die Aussage:<br />
Dass ein Körper seine Bewegungsform nicht ändert, solange keine anderen Kräfte, die ihn zu einer Änderung des Bewegungszustandes führen, auf ihn einwirken.<br />
<br />
Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit v eines Körpers immer konstant bleibt, wenn keine ändernde Kraft auf ihn einwirkt.<br />
Die Änderung des Bewegungszustandes kann nur durch eine ausreichend starke, von außen einwirkende Kraft geschehen.<br />
<br />
Sind zwei Kräfte gleich null (F<sub>1</sub> – F<sub>2</sub> = 0) bleibt der Körper in seinem Zustand, dies verdeutlichtet das Bild:<br />
<br />
[[Datei:Newton 1.GG.jpg|rahmenlos|200 px|1. Newtonsches Grundgesetz]]<br />
<br />
== Zweites Newtonsches Grundgesetz ==<br />
<br />
Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt."<br />
<br />
In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung.<br />
<br />
<math>F=m*a</math><br />
<br />
An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab.<br />
<br />
=== Versuche ===<br />
<br />
==== Beschreibung ====<br />
In diesem Versuch wird ein Wagen von einem Gewicht über dieselbe Fahrbahn gezogen. Dabei wurden die Gewichte immer verändert und die Zeit gemessen.<br />
<br />
* Versuch 1: Gewicht: 20g {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}}<br />
<br />
* Versuch 2: Gewicht: 60g {{#ev:youtube|f61BLSQ0LtM}}<br />
<br />
* Versuch 3: Gewicht: 20g; Bei diesem Versuch wurde zusätzlich ein Gewicht von 500g auf dem Wagen befestigt.{{#ev:youtube|Fsej6_NGMmk}}<br />
<br />
Versuchsergenbisse:<br />
* Versuch 1: m=20g t= 2,46 s<br />
* Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s<br />
* Versuch 3: m(auf dem Wagen)= 500g t= 3,21 s<br />
<br />
==== Auswertung ====<br />
Diese Versuche bestätigen die Aussage des 2. Newtonschen Grundgesetzes <br />
--> Je größer die einwirkende Kraft (Masse des angehängten Gewichts), desto größer auch die Beschleunigung. In diesem Fall wird der Wagen durch ein schwereres Gewicht, dass den Wagen zieht, schneller und bei dem Versuch, bei dem das Gewicht auf dem Wagen befestigt wird, dementsprechend langsamer.<br />
<br />
== drittes Newtonsches Grundgesetz ==<br />
Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“<br />
<br />
In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt.<br />
<br />
<math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math><br />
<br />
<br />
Beispielvideo:<br />
{{#ev:youtube|VloOVI7vVVw}}<br />
<br />
<br />
In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer an der gleichen Stelle treffen.<br />
Person 1(links) zieht mit einer Kraft an Person 2. Es wirkt eine Gleichgroße Gegenkraft auf Person 2, die diese zu Person 1 zieht.<br />
Person 2 bewegt sich langsamer was aus einer größeren Masse derselben resultiert.</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/Newtonsche_GrundgesetzeNewtonsche Grundgesetze2013-03-19T16:38:20Z<p>F.Bittermann: /* Erstes Newtonsche Gesetz */</p>
<hr />
<div>== Erstes Newtonsche Gesetz ==<br />
<br />
<br />
Das Erste Newtonsche Gesetz, auch das Trägheitsgesetz genannt, wurde, nicht wie angenommen zuerst von Newton, sondern von Galileo Galilei formuliert. <br />
<br />
Dieses Gesetz beinhaltet die Aussage:<br />
Dass ein Körper seine Bewegungsform nicht ändert, solange keine anderen Kräfte, die ihn zu einer Änderung des Bewegungszustandes führen, auf ihn einwirken.<br />
<br />
Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit v eines Körpers immer konstant bleibt, wenn keine ändernde Kraft auf ihn einwirkt.<br />
Die Änderung des Bewegungszustandes kann nur durch eine ausreichend starke, von außen einwirkende Kraft geschehen.<br />
<br />
Sind zwei Kräfte gleich null (F<sub>1</sub> – F<sub>2</sub> = 0) bleibt der Körper in seinem Zustand, dies verdeutlichtet das Bild:<br />
<br />
[[Datei:Newton 1.GG.jpg|rahmenlos|1. Newtonsches Grundgesetz]]<br />
<br />
== Zweites Newtonsches Grundgesetz ==<br />
<br />
Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt."<br />
<br />
In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung.<br />
<br />
<math>F=m*a</math><br />
<br />
An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab.<br />
<br />
=== Versuche ===<br />
<br />
==== Beschreibung ====<br />
In diesem Versuch wird ein Wagen von einem Gewicht über dieselbe Fahrbahn gezogen. Dabei wurden die Gewichte immer verändert und die Zeit gemessen.<br />
<br />
* Versuch 1: Gewicht: 20g {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}}<br />
<br />
* Versuch 2: Gewicht: 60g {{#ev:youtube|f61BLSQ0LtM}}<br />
<br />
* Versuch 3: Gewicht: 20g; Bei diesem Versuch wurde zusätzlich ein Gewicht von 500g auf dem Wagen befestigt.{{#ev:youtube|Fsej6_NGMmk}}<br />
<br />
Versuchsergenbisse:<br />
* Versuch 1: m=20g t= 2,46 s<br />
* Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s<br />
* Versuch 3: m(auf dem Wagen)= 500g t= 3,21 s<br />
<br />
==== Auswertung ====<br />
Diese Versuche bestätigen die Aussage des 2. Newtonschen Grundgesetzes <br />
--> Je größer die einwirkende Kraft (Masse des angehängten Gewichts), desto größer auch die Beschleunigung. In diesem Fall wird der Wagen durch ein schwereres Gewicht, dass den Wagen zieht, schneller und bei dem Versuch, bei dem das Gewicht auf dem Wagen befestigt wird, dementsprechend langsamer.<br />
<br />
== drittes Newtonsches Grundgesetz ==<br />
Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“<br />
<br />
In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt.<br />
<br />
<math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math><br />
<br />
<br />
Beispielvideo:<br />
{{#ev:youtube|VloOVI7vVVw}}<br />
<br />
<br />
In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer an der gleichen Stelle treffen.<br />
Person 1(links) zieht mit einer Kraft an Person 2. Es wirkt eine Gleichgroße Gegenkraft auf Person 2, die diese zu Person 1 zieht.<br />
Person 2 bewegt sich langsamer was aus einer größeren Masse derselben resultiert.</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/Datei:Newton_1.GG.jpgDatei:Newton 1.GG.jpg2013-03-19T16:35:28Z<p>F.Bittermann: {{Information
|Beschreibung = Fälle für das erste Newtonsche Grundgesetz
|Quelle = selbst erstellt
|Urheber = Mona Kahl
|Datum = 19.3.2013
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}</p>
<hr />
<div>== Beschreibung ==<br />
{{Information_ohne_UploadWizard<br />
|Beschreibung = Fälle für das erste Newtonsche Grundgesetz<br />
|Quelle = selbst erstellt<br />
|Urheber = Mona Kahl<br />
|Datum = 19.3.2013<br />
|Genehmigung = <br />
|Andere Versionen = <br />
|Anmerkungen = <br />
}}<br />
== Lizenz ==<br />
{{Bild-CC-by-sa/3.0/de}}</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/Newtonsche_GrundgesetzeNewtonsche Grundgesetze2013-03-19T16:33:24Z<p>F.Bittermann: /* Erstes Newtonsche Gesetz */</p>
<hr />
<div>== Erstes Newtonsche Gesetz ==<br />
<br />
<br />
Das Erste Newtonsche Gesetz, auch das Trägheitsgesetz genannt, wurde, nicht wie angenommen zuerst von Newton, sondern von Galileo Galilei formuliert. <br />
<br />
Dieses Gesetz beinhaltet die Aussage:<br />
Dass ein Körper seine Bewegungsform nicht ändert, solange keine anderen Kräfte, die ihn zu einer Änderung des Bewegungszustandes führen, auf ihn einwirken.<br />
<br />
Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit v eines Körpers immer konstant bleibt, wenn keine ändernde Kraft auf ihn einwirkt.<br />
Die Änderung des Bewegungszustandes kann nur durch eine ausreichend starke, von außen einwirkende Kraft geschehen.<br />
<br />
Sind zwei Kräfte gleich null (F<sub>1</sub> – F<sub>2</sub> = 0) bleibt der Körper in seinem Zustand, dies verdeutlichtet das Bild:<br />
<br />
[[Datei:Newton 1.GG.jpg]]<br />
<br />
== Zweites Newtonsches Grundgesetz ==<br />
<br />
Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt."<br />
<br />
In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung.<br />
<br />
<math>F=m*a</math><br />
<br />
An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab.<br />
<br />
=== Versuche ===<br />
<br />
==== Beschreibung ====<br />
In diesem Versuch wird ein Wagen von einem Gewicht über dieselbe Fahrbahn gezogen. Dabei wurden die Gewichte immer verändert und die Zeit gemessen.<br />
<br />
* Versuch 1: Gewicht: 20g {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}}<br />
<br />
* Versuch 2: Gewicht: 60g {{#ev:youtube|f61BLSQ0LtM}}<br />
<br />
* Versuch 3: Gewicht: 20g; Bei diesem Versuch wurde zusätzlich ein Gewicht von 500g auf dem Wagen befestigt.{{#ev:youtube|Fsej6_NGMmk}}<br />
<br />
Versuchsergenbisse:<br />
* Versuch 1: m=20g t= 2,46 s<br />
* Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s<br />
* Versuch 3: m(auf dem Wagen)= 500g t= 3,21 s<br />
<br />
==== Auswertung ====<br />
Diese Versuche bestätigen die Aussage des 2. Newtonschen Grundgesetzes <br />
--> Je größer die einwirkende Kraft (Masse des angehängten Gewichts), desto größer auch die Beschleunigung. In diesem Fall wird der Wagen durch ein schwereres Gewicht, dass den Wagen zieht, schneller und bei dem Versuch, bei dem das Gewicht auf dem Wagen befestigt wird, dementsprechend langsamer.<br />
<br />
== drittes Newtonsches Grundgesetz ==<br />
Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“<br />
<br />
In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt.<br />
<br />
<math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math><br />
<br />
<br />
Beispielvideo:<br />
{{#ev:youtube|VloOVI7vVVw}}<br />
<br />
<br />
In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer an der gleichen Stelle treffen.<br />
Person 1(links) zieht mit einer Kraft an Person 2. Es wirkt eine Gleichgroße Gegenkraft auf Person 2, die diese zu Person 1 zieht.<br />
Person 2 bewegt sich langsamer was aus einer größeren Masse derselben resultiert.</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/Newtonsche_GrundgesetzeNewtonsche Grundgesetze2013-03-19T14:46:58Z<p>F.Bittermann: </p>
<hr />
<div>== erstes Newtonsches Grundgesetz ==<br />
<br />
<span style="color: red">Wo ist der Wiki-Eintrag?</span><br />
<br />
== zweites Newtonsches Grundgesetz ==<br />
<br />
Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt."<br />
<br />
In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung.<br />
<br />
<math>F=m*a</math><br />
<br />
An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab.<br />
<br />
=== Versuche ===<br />
<br />
<span style="color: red">Die Versuche kurz erklären: Was wird zu welchem Zweck für ein Experiment durch geführt? Welche Ergebnisse gibt es?</span><br />
<br />
* Versuch 1: {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}}<br />
<br />
* Versuch 2: {{#ev:youtube|f61BLSQ0LtM}}<br />
<br />
* Versuch 3: {{#ev:youtube|Fsej6_NGMmk}}<br />
<br />
Versuchsergenbisse:<br />
Versuch 1: m=20g t= 2,46 s<br />
Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s<br />
Versuch 3: m= 500g t= 3,21 s<br />
<br />
== drittes Newtonsches Grundgesetz ==<br />
Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“<br />
<br />
In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt.<br />
<br />
<math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math><br />
<br />
Beispielvideo:<br />
<br />
<br />
(VIDEO)<br />
<br />
<br />
In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer in der Mitte treffen.<br />
<br />
<span style="color: red">Genauer erklären: Wo ist die Kraft, auf welchen Körper wirkt sie? Wo ist die GEgenktraft und auf welchen Körper wirk diese?</span></div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/Newtonsche_GrundgesetzeNewtonsche Grundgesetze2013-03-18T09:58:25Z<p>F.Bittermann: /* drittes Newtonsches Grundgesetz */</p>
<hr />
<div>== erstes Newtonsches Grundgesetz ==<br />
<br />
<span style="color: red">Wo ist der Wiki-Eintrag?</span><br />
<br />
== zweites Newtonsches Grundgesetz ==<br />
<br />
Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt."<br />
<br />
In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung.<br />
<br />
<math>F=m*a</math><br />
<br />
An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab.<br />
<br />
=== Versuche ===<br />
<br />
<span style="color: red">Die Versuche kurz erklären: Was wird zu welchem Zweck für ein Experiment durch geführt? Welche Ergebnisse gibt es?</span><br />
<br />
* Versuch 1: {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}}<br />
<br />
* Versuch 2: [[http://www.youtube.com/watch?v=f61BLSQ0LtM]]<br />
<br />
* Versuch 3: [[http://www.youtube.com/watch?v=Fsej6_NGMmk]]<br />
<br />
Versuchsergenbisse:<br />
Versuch 1: m=20g t= 2,46 s<br />
Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s<br />
Versuch 3: m= 500g t= 3,21 s<br />
<br />
== drittes Newtonsches Grundgesetz ==<br />
Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“<br />
<br />
In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt.<br />
<br />
<math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math><br />
<br />
Beispielvideo:<br />
<br />
<br />
(VIDEO)<br />
<br />
<br />
In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer in der Mitte treffen.<br />
<br />
<span style="color: red">Genauer erklären: Wo ist die Kraft, auf welchen Körper wirkt sie? Wo ist die GEgenktraft und auf welchen Körper wirk diese?</span></div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/Newtonsche_GrundgesetzeNewtonsche Grundgesetze2013-03-18T09:57:19Z<p>F.Bittermann: /* Versuche */</p>
<hr />
<div>== erstes Newtonsches Grundgesetz ==<br />
<br />
<span style="color: red">Wo ist der Wiki-Eintrag?</span><br />
<br />
== zweites Newtonsches Grundgesetz ==<br />
<br />
Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt."<br />
<br />
In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung.<br />
<br />
<math>F=m*a</math><br />
<br />
An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab.<br />
<br />
=== Versuche ===<br />
<br />
<span style="color: red">Die Versuche kurz erklären: Was wird zu welchem Zweck für ein Experiment durch geführt? Welche Ergebnisse gibt es?</span><br />
<br />
* Versuch 1: {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}}<br />
<br />
* Versuch 2: [[http://www.youtube.com/watch?v=f61BLSQ0LtM]]<br />
<br />
* Versuch 3: [[http://www.youtube.com/watch?v=Fsej6_NGMmk]]<br />
<br />
Versuchsergenbisse:<br />
Versuch 1: m=20g t= 2,46 s<br />
Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s<br />
Versuch 3: m= 500g t= 3,21 s<br />
<br />
== drittes Newtonsches Grundgesetz ==<br />
Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“<br />
<br />
In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt.<br />
<br />
<math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math><br />
<br />
Beispielvideo:<br />
<br />
<br />
(VIDEO)<br />
<br />
<br />
In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer in der Mitte treffen.</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/Newtonsche_GrundgesetzeNewtonsche Grundgesetze2013-03-18T09:56:45Z<p>F.Bittermann: /* Versuche */</p>
<hr />
<div>== erstes Newtonsches Grundgesetz ==<br />
<br />
<span style="color: red">Wo ist der Wiki-Eintrag?</span><br />
<br />
== zweites Newtonsches Grundgesetz ==<br />
<br />
Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt."<br />
<br />
In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung.<br />
<br />
<math>F=m*a</math><br />
<br />
An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab.<br />
<br />
=== Versuche ===<br />
<br />
Die Versuche kurz erklären: Was wird zu welchem Zweck für ein Experiment durch geführt? Welche Ergebnisse gibt es?<br />
<br />
* Versuch 1: {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}}<br />
<br />
* Versuch 2: [[http://www.youtube.com/watch?v=f61BLSQ0LtM]]<br />
<br />
* Versuch 3: [[http://www.youtube.com/watch?v=Fsej6_NGMmk]]<br />
<br />
Versuchsergenbisse:<br />
Versuch 1: m=20g t= 2,46 s<br />
Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s<br />
Versuch 3: m= 500g t= 3,21 s<br />
<br />
== drittes Newtonsches Grundgesetz ==<br />
Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“<br />
<br />
In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt.<br />
<br />
<math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math><br />
<br />
Beispielvideo:<br />
<br />
<br />
(VIDEO)<br />
<br />
<br />
In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer in der Mitte treffen.</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/Newtonsche_GrundgesetzeNewtonsche Grundgesetze2013-03-18T09:55:21Z<p>F.Bittermann: /* erstes Newtonsches Grundgesetz */</p>
<hr />
<div>== erstes Newtonsches Grundgesetz ==<br />
<br />
<span style="color: red">Wo ist der Wiki-Eintrag?</span><br />
<br />
== zweites Newtonsches Grundgesetz ==<br />
<br />
Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt."<br />
<br />
In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung.<br />
<br />
<math>F=m*a</math><br />
<br />
An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab.<br />
<br />
=== Versuche ===<br />
<br />
* Versuch 1: {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}}<br />
<br />
* Versuch 2: [[http://www.youtube.com/watch?v=f61BLSQ0LtM]]<br />
<br />
* Versuch 3: [[http://www.youtube.com/watch?v=Fsej6_NGMmk]]<br />
<br />
Versuchsergenbisse:<br />
Versuch 1: m=20g t= 2,46 s<br />
Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s<br />
Versuch 3: m= 500g t= 3,21 s<br />
<br />
== drittes Newtonsches Grundgesetz ==<br />
Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“<br />
<br />
In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt.<br />
<br />
<math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math><br />
<br />
Beispielvideo:<br />
<br />
<br />
(VIDEO)<br />
<br />
<br />
In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer in der Mitte treffen.</div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/Bewegung_in_zwei_DimensionenBewegung in zwei Dimensionen2013-03-18T09:54:14Z<p>F.Bittermann: /* Vektor Addition */</p>
<hr />
<div>== Skalare und Vektoren ==<br />
<br />
===Skalare===<br />
<br />
Skalare sind physikalische Größen, deren Angabe nur durch ihre Größe beschrieben werden. Sie werden durch ihre Menge und Einheit angegeben.<br />
<br />
z.B. Energie (E in J/s)<br />
Volumen (V in cm³)<br />
Masse (m in kg)<br />
Leistung. (P in W)<br />
Temperatur (T in °C)<br />
<br />
===Vektoren===<br />
Ein Vektor ist eine physikalische Größe die nicht vollständig durch Angabe ihrer Größe beschrieben wird, sondern zusätzlich zu der Größenangabe noch eine Richtungsangabe hat. Diese Richtungsangabe kennzeichnet man durch einen Pfeil über dem Formelzeichen.<br />
<br />
Beispiele:<br />
<br />
* Geschwindigkeit <math>\vec v</math> in m/s; km/h<br />
* Impuls <math>\vec p</math> in N<br />
* Beschleunigung <math>\vec a</math> in m/s<sup>2</sup><br />
<br />
====Vektor Addition====<br />
<br />
1. Vektoren die entlang einer Linie wirken:<br />
[[Datei:J.Stirm_Vektoren_Addition.png|rahmenlos|left|Vektoren, die entlang einer Linie wirken]]<br />
<br />
<br />
Vektoren die entlang einer Linie wirken und nicht in Verschiedene Richtungen kann man addieren bzw. subtrahieren.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2. Vektoren die in verschiedene Richtungen wirken:<br />
[[Datei:Vektoren1.JPG|rahmenlos|right|Vektoren, die in verschiedene Richtungen wirken]] Vektoren die in verschiedene Richtungen wirken kann man nicht einfach addieren, sondern muss man aufzeichnen und die Enden mit einer Diagonale verbinden.<br />
<br />
<span style="color: red">Die Regel der Vektoraddition genau erklären!</span></div>F.Bittermannhttp://fsg.zum.de/wiki/Klasse_10Klasse 102013-02-19T12:04:02Z<p>F.Bittermann: </p>
<hr />
<div><imagemap><br />
Bild:Mechanik Klasse 10.jpg|992px|Mindmap<br />
rect 517 68 734 97 [[geradlinige Bewegung]]<br />
rect 757 37 860 73 [[geradlinige Bewegung#geradlinig gleichförmige Bewegung|gleichförmige Bewegung]]<br />
rect 757 78 868 128 [[geradlinige Bewegung#geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung|gleichmäßig beschleunigte Bewegung]]<br />
rect 890 81 951 97 [[geradlinige Bewegung#freier Fall|freier Fall]]<br />
rect 528 249 704 296 [[Bewegung in zwei Dimensionen]]<br />
rect 727 229 871 249 [[Bewegung in zwei Dimensionen|Skalare und Vektoren]]<br />
rect 231 256 394 286 [[Kreisbewegung]]<br />
rect 198 170 337 218 [[Newtonsche Grundgesetze]]<br />
rect 40 158 175 179 [[Newtonsche Grundgesetze|erstes Newtonsches Grundgesetz]]<br />
rect 40 184 175 205 [[Newtonsche Grundgesetze|zweites Newtonsches Grundgesetz]]<br />
rect 40 210 175 230 [[Newtonsche Grundgesetze|drittes Newtonsches Grundgesetz]]<br />
rect 287 68 370 98 [[Energie]]<br />
</imagemap><br />
<br />
Klicke direkt im Bild auf ein (grau unterlegtes) Hauptthema.</div>F.Bittermann