Tangentenprobleme

Tangente - Definition und Tangentengleichung

Definition

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Gegeben ist ein Punkt $P(x_P|f(x_P))$ auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit $f'(x_P)$ als Steigung.

Allgemeine Tangentengleichungen:

$y=f'(x_0) \cdot (x-x_0)+f(x_0)$

P(x|y) ist ein Punkt der Tangente.

$P(x_0|y_0)$ ist ein Berührpunkt der Tangente mit dem Schaubild der Funktion von F.

Übung Gegeben ist eine Funktion f mit $f(x)=-\frac{x^2}{4} \cdot (x-6)$ und ein Punkt P(6;0), der nicht zu f gehört. Finde die Tangente von P an f, ohne den Berührpunkt zu kennen.

allgemeine Tangentengleichung:
$y=f'(x_0) \cdot (x-x_0)+f(x_0)$
$P(x|y), P(6|0)$ ---> Punkte der Tangente
$P_0(x_0|y_0)$ ---> unbekannter Berührpunkt der Tangente
$0=-\frac{2x}{4} \cdot (x-6)-\frac{x_0^2}{4} \cdot 1 \cdot (6-x_0)+\left( -\frac{x_0^2}{4} \cdot (x_0-6) \right)$
Gleichung in GTR eingeben und lösen:
Berührstellen:
$x_1=0$
$x_2=6$

Eingesetzt $x_1=0$ in die allgemeine Tangentengleichung:
---> $y=(-\frac{2 \cdot 0}{4} \cdot (0-6)-\frac{0^2}{4} \cdot 1 \cdot (x-0)+0)$

Tangentengleichung: $y=0 \cdot x+0$

Eingesetzt $x_2=6$ in die allgemeine Tangentengleichung:
---> $y=(-\frac{2 \cdot 6}{4} \cdot (6-6)-\frac{6^2}{4} \cdot 1 \cdot (x-6)+0)$

Tangentengleichung: $y=-9 \cdot x+54$

Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt

30px   Aufgabe Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion $f(x)={1 \over 9} x^3 -x$ an der Stelle $x_0=3$ angelegt werden kann.

$f(x)={1 \over 9} x^3 -x$

$f'(x)={1 \over 3} x^2 -1$

$f(3)=0$

$f'(3)=2$

Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt

30px   Aufgabe Gegeben ist die Funktion f mit $f(x)=2x^2-18x+9$. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung $-2$ an, die an das Schaubild von f gelegt werden können.

Lösung:

Wir setzen die Steigung $m=-2$ in die Ableitung der Funktion als $f'(x)$ ein.

$f'(x)=4x-18$

$-2=4x-18$

$x=4$

4 ist die Berührstelle. Um den Y-Wert des Berührpunkts herauszufinden, setzten wir 4 in die ursprüngliche Funktion $f(x)$ ein.

$f(x)=2\cdot4^2-18\cdot4+9$

Tangente an Schaubild, Berührpunkt unbekannt

30px   Aufgabe Vom Punkt $P(0|5)$ aus werden Tangenten an das Schaubild von $f(x)={1 \over 8}x^3 - {3 \over 4}x^2 +4$ gelegt. Bestimme die Gleichungen dieser Tangenten und die Koordinaten der Berührpunkte.