Quelltext der Seite Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene

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==== Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene ====
Gerade und Ebene können verschieden zueinander im dreidimensionalen Raum liegen. Dabei unterscheidet man zwischen diesen drei Möglichkeiten.<br />

1. Möglichkeit: Gerade und Ebene <u>schneiden sich</u><br />

2. Möglichkeit: Gerade und Ebene verlaufen <u>parallel</u><br />

3. Möglichkeit: Gerade und Ebene sind <u>identisch</u><br /><br />

Die Unterschiede der verschiedenen Fälle sind in der Tabelle genau aufgelistet, schau sie dir deshalb gut an.<br />
[[Datei:Unbenannt 1 - OpenOffice Writer 14.09.2016 174830|miniatur]]<br />
<br />
== Vorgehen ==
====  Parameterform ====
<math>E: \vec x = \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E}</math><br />
<math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot\vec R_{g}</math><br />
<br />
===== 1. Überprüfung "parallel": =====
→ Skalarprodukt ausrechnen<br />
<math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /><br />

''Anmerkung: Normalenvektor: <math> \vec n= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E}</math> ; das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene''<br />
<br />
wenn z.B. t = 5, dann haben die Gerade und Ebene einen Schnittpunkt. Setze nun nur noch t in die Gerade g ein <br />
wenn z.B. 0 = x, dann ist die Gerade und Ebene entweder parallel zueinander oder identisch. Überprüfe dies durch den 2. Schritt<br />

===== 2. Überprüfung "identisch": =====
→ einfaches LGS erstellen <br />
<math>S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + r \cdot\vec R_{2E} = S_{g}</math><br />
gibt es eine Lösung? <br />
wenn ja, E und g sind identisch. <br /> 
<br />
wenn nein, E und g sind parallel. <br />
→ ist dies der Fall, stelle ein komplettes LGS auf und löse dieses <br />
<math> \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E} = \vec S<_{g} + u \cdot \vec R_{S}</math> <br />
<br />
'' Anmerkung: Löse nach u auf '' <br />
<br />
→ setze u in die Gerade g ein
<br /> <br />
==== Koordinatenform ====
<math>E: \vec x = u_{1}x_{1} + u_{2}x_{2} + u_{3}x_{3} = b </math><br />
<math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \vec R_{g}</math> <br />
<br />
Die Gerade g in Ebene E einsetzen:<br />
Die Gerade g Zeilenweise für x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub> in Ebene E einsetzen <br />
<br />Schaubild Baum<br />
<br />
==Beispiele==
====Beispiel Nr. 1 Koordinatenform:====
<math>E: \vec x=-x_{1}+2x_{2}+x_{3}=5</math><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br />
Die Gerade g Zeilenweise für x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub> in Ebene E einsetzen <br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)\longrightarrow \begin{matrix}
x_{1}= & -1+2t \\
x_{2}= & 6-t \\
x_{3}= & -6+3t
\end{matrix}</math><br /><br />
<math> E: \vec x= -(-1+2t) + 2 \cdot (6-t) + (-6-3t) = 5 </math><br />
         <math>  1 - 2t + 12 - 2t - 6 + 3t        = 5</math><br />
         <math>     -2t - 2t + 3t + 7             = 5    | -7</math><br />
         <math>                                -t = -2   </math><br />
         <math>                                 t = 2</math><br />
<math> t </math> in Gerade g einsetzen:<br />
<math> g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right) + 2 \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 3\\4\\0 \end{matrix}\right) \longrightarrow S(3/4/0) </math><br />
<br />

====Beispeil Nr. 2 Parameterform:====
<math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-4 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right)</math><br /><br />
Auf "parallelität" überprüfen:<br />
<math>\longrightarrow</math> Normalenvektor von Ebene E ausrechnen <br />
<math> \vec u= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E} = \left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right)= \vec n</math><br /><br />
<math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br />
<math>\left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right) = 0 \longrightarrow 102+73= 157 \ne 0</math><br /><br />
Ergebnis ist ungleich 0, also das LGS lösen:
<math>\begin{matrix}
0-5r+2s= &3+2t \\
0+3r+3s= &2+t \\
-4-4r+13s= &1
\end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix}
-2t-5r+2s= &3 \\
-t+3r+3s= &2 \\
-4r+13s= &5
\end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix}
-2t-5r+2s= &3 \\
-t+3r+3s= &2
\end{matrix}</math>
==Aufgaben==
====Nr. 1 Parallelität====
Zeige, dass die Gerade h parallel zur Ebene E ist. <br /><br />
<math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br/>
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br/>
<popup name="Hinweis">
<math>\left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math></popup><br />
<popup name="Lösung">
0=7 → keine Lösung, daher parallel!
</popup><br /><br />
====Nr. 2 Parallel, identisch oder Schnittpunkt====
Untersuche ob Ebene E und Gerade g sich schneiden. Ist dies nicht der Fall, überprüfe ob g und E identisch sind oder parallel. <br /><br />
a.)<br />
<math>E: \vec x= 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-2\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br />
<popup name="Hinweis 1">
Setze Gerade g in Ebene E ein.
</popup><br />
<popup name="Hinweis 2">
<math>E: 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br />
<math>3(2+t)-2(0-2t)+7(0-t)=4</math>
</popup><br />
<popup name="Lösung">
0=-10 → parallel
</popup><br />
<br />
b.)<br />
<math>E:\vec x=-2,5x_{1}-o,5x_{2}+2x_{3}=0</math><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br />br />
<popup name="Hinweis 1">
<math>-2,5(2+t)-0,5(0+t)+2(t)=0</math>
</popup><br />
<popup name="Hinweis 2">
Setze "t" in die Gerade g ein.
</popup><br />
<popup name="Hinweis 3">
t=-5 ; sie sind weder parallel noch identisch
</popup><br />
<popup name="Lösung">
S(-3/-5/-5)
</popup><br />
<br />
c.)<br />
<math>E: \vec x=-2,5x_{1}-0,5x_{2}+3x_{3}=-5</math><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br />
<popup name="Hinweis 1">
<math>-2,5(2+t)-0,5(t)+3(t)=-5</math>
</popup><br />
<popup name="Lösung">
0=-10 → parallel
</popup><br />
<br />
d.)<br />
<math>E: \begin{bmatrix}
\vec x      & -\left( \begin{matrix} 2\\2\\1 \end{matrix}\right)      \\
\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-1\\1 \end{matrix}\right) =0</math><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right)+\left( \begin{matrix} 2\\-2\\1 \end{matrix}\right) \cdot t </math><br /><br />
<popup name="Hinweis 1">
Stelle Ebene E als Koordinatenform um.
</popup><br />
<popup name="Hinweis 2">
Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot 3+(x_{2}-2) \cdot (-1)+(x_{3}-1) \cdot 1=0</math>
</popup><br />
<popup name="Hinweis 3">
<math>E: \vec x= 3x_{1}-x_{2}+x_{3}=5</math>
</popup><br />
<popup name="Hinweis 4">
Setze Gerade g in die Ebene E ein.
</popup><br />
<popup name="Hinweis 5">
t=0 ; → sie sind weder parallel noch identisch.
</popup><br />
<popup name="Lösung">
S(1/0/2)
</popup><br />
<br />
e.)<br />
<math>E: \begin{bmatrix}
\vec x      & -\left( \begin{matrix} 2\\4\\3 \end{matrix}\right)      \\
\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -2\\1\\2 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\6\\5 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br />
<popup name="Hinweis 1">
Stelle Ebene E als Koordinatenform um.
</popup><br />
<popup name="Hinweis 2">
Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot (-2)+(x_{2}-4) \cdot 1+(x_{3}-3) \cdot 2=0</math>
</popup><br />
<popup name="Hinweis 3">
<math>E: \vec x= 2x_{1}+x_{2}+2x_{3}=6</math>
</popup><br />
<popup name="Hinweis 4">
Setze Gerade g in die Ebene E ein.
</popup><br />
<popup name="Lösung">
0=-12 → parallel
</popup><br />
<br />
f.)<br />
<math>E: \begin{bmatrix}
\vec x      & -\left( \begin{matrix} -2\\4\\-1 \end{matrix}\right)      \\
\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -3\\1\\0 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\6 \end{matrix}\right)</math><br /><br />
<popup name="Hinweis 3">
<math>E: \vec x= -3x_{1}+x_{2}=10</math>
</popup><br />
<popup name="Hinweis 4">
Setze Gerade g in die Ebene E ein.
</popup><br />
<popup name="Lösung">
0=13 → parallel
</popup><br />
<br />
====Nr. 3 Schnittpunkt====
Untersuche die gegenseitige Lage von Ebene E und Gerade g. <br /><br />
<math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right) +r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\2 \end{matrix}\right) +s \cdot \left( \begin{matrix} 3\\0\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br />
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\1\\2 \end{matrix}\right) +t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\4\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br />
<popup name="Hinweis 1">
Skalarprodukt ausrechnen.
</popup><br />
<popup name="Hinweis 2">
<math> \vec n= \left( \begin{matrix} 1\\5\\-3 \end{matrix}\right)</math>
</popup><br />
<popup name="Hinweis 3">
10 ≠ 0 ; → sie sind entweder parallel oder identisch.
</popup><br />
<popup name="Hinweis 4">
LGS aufstellen und lösen.
</popup><br />
<popup name="Hinweis 5">
<math>t= - \frac{1}{2} ; r=0 ; s=1,5 </math>
</popup><br />
<popup name="Hinweis 6">
Schnittpunkt ausrechnen.
</popup><br />
<popup name="Lösung">
S(5,5/-1/0,5)
</popup><br />