Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene

Aus Friedrich-Schiller-Gymnasium
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Inhaltsverzeichnis

Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene

Gerade und Ebene können verschieden zueinander im dreidimensionalen Raum liegen. Dabei unterscheidet man zwischen diesen drei Möglichkeiten.

1. Möglichkeit: Gerade und Ebene schneiden sich

2. Möglichkeit: Gerade und Ebene verlaufen parallel

3. Möglichkeit: Gerade und Ebene sind liegen ineinander

Wie du die verschiedenen Fälle mit Hilfe eines LGS unterscheiden kannst, ist in der Tabelle genau aufgelistet. Schau sie dir deshalb gut an.
Lagebeziehungen Gerade Ebene

Vorgehen

Um die Lagebeziehung von Ebene und Gerade zu untersuchen, musst du unterschiedlich vorgehen - das hängt von der Art der Ebenendarstellung ab.

Ebene in Parameterform

E: \vec x = \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E}
g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot\vec R_{g}

1. Überprüfung "parallel":

→ Skalarprodukt vom Normalenvektor der Ebene und Richtungsvektor der Gerade ausrechnen

\vec n \cdot \vec R_{g}= 0

Der Normalenvektor der Ebene ist senkrecht zur Ebene. Ist der Richtungsvektor der Gerade senkrecht zum Normalenvektor der Ebene (Skalarprodukt gleich Null), dann ist die Gerade entweder parallel zur Ebene oder liegt in der Ebene.
Überprüfe dies durch den 2. Schritt.

Anmerkung: Normalenvektor: \vec n= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E} ; das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene

2. Überprüfung "identisch":

→ Punktprobe durchführen
Entweder liegt der Punkt, du dem der Stützvektor der Gerade führt, in der Ebene, oder liegt der Punkt, zu dem der Stützvektor der Ebene führt, auf der Gerade.

Punktprobe für den ersten Fall:

\vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + r \cdot\vec R_{2E} = \vec S_{g}

Hat diese Gleichung eine Lösung?

  • wenn ja, E und g sind identisch
  • wenn nein, E und g sind parallel.


3. Schnittpunkt berechnen:

Ist die Gerade weder identisch noch parallel zur Ebene, dann muss die Gerade die Ebene schneiden.
Zur Berechnung des Schnittpunktes stelle ein komplettes LGS auf und löse dieses.

\vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E} = \vec S_{g} + u \cdot \vec R_{S}

Anmerkung: Löse nach u auf

→ Setze u in die Gerade g ein und berechne die Koordinaten des Ortsvektors, der zum Schnittpunkt führt.

Ebene in Koordinatengleichung

E: a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a_{3}x_{3} = b
g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot \vec R_{g}

Vorgehen:
Die Gerade g in Ebene E einsetzen. Dazu die Gerade g zeilenweise für x1, x2, x3 in Gleichung der Ebene E einsetzen. Damit kannst du den Parameter t bestimmen. t in die Gleichung der Gerade einsetzen und den Ortsvektor des Schnittpunktes berechnen.

Schaubild für das Lösen der Koordinatenform bei Lagebeziehungen von Gerade und Ebene



Beispiele

Beispiel Nr. 1 Koordinatenform:

E: \vec x=-x_{1}+2x_{2}+x_{3}=5

g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)

Die Gerade g Zeilenweise für x1, x2, x3 in Ebene E einsetzen

g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)\longrightarrow \begin{matrix} x_{1}= & -1+2t \\ x_{2}= & 6-t \\ x_{3}= & -6+3t \end{matrix}

E: \vec x= -(-1+2t) + 2 \cdot (6-t) + (-6-3t) = 5
             1 - 2t + 12 - 2t - 6 + 3t= 5
                  -2t - 2t + 3t + 7= 5 | -7
                           -t = -2
                            t = 2

t in Gerade g einsetzen:
g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right) + 2 \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 3\\4\\0 \end{matrix}\right) \longrightarrow S(3/4/0)

Beispeil Nr. 2 Parameterform:

E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-4 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)

g: \vec x= \left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right)

Auf "Parallelität" überprüfen:
\longrightarrow Normalenvektor von Ebene E ausrechnen
\vec u= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E} = \left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right)= \vec n

\vec n \cdot \vec R_{g}= 0
\left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right) = 0 \longrightarrow 102+73= 157 \ne 0

Ergebnis ist ungleich 0, also das LGS lösen: \begin{matrix} 0-5r+2s= &3+2t \\ 0+3r+3s= &2+t \\ -4-4r+13s= &1 \end{matrix}.............. \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \\ -4r+13s= &5 \end{matrix}.............. \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \end{matrix}

Aufgaben

Nr. 1 Parallelität

Zeige, dass die Gerade h parallel zur Ebene E ist.

E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)

g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)




Nr. 2 Parallel, identisch oder Schnittpunkt

Untersuche ob Ebene E und Gerade g sich schneiden. Ist dies nicht der Fall, überprüfe ob g und E identisch sind oder parallel.

a.)
E: \vec x= 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4

g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-2\\-1 \end{matrix}\right)





b.)
E:\vec x=-2,5x_{1}-o,5x_{2}+2x_{3}=0

g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)






c.)
E: \vec x=-2,5x_{1}-0,5x_{2}+3x_{3}=-5

g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)




d.)
E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\2\\1 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-1\\1 \end{matrix}\right) =0

g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right)+\left( \begin{matrix} 2\\-2\\1 \end{matrix}\right) \cdot t








e.)
E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\4\\3 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -2\\1\\2 \end{matrix}\right)=0

g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\6\\5 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\-1 \end{matrix}\right)







f.)
E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} -2\\4\\-1 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -3\\1\\0 \end{matrix}\right)=0

g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\6 \end{matrix}\right)





Nr. 3 Schnittpunkt

Untersuche die gegenseitige Lage von Ebene E und Gerade g.

E: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right) +r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\2 \end{matrix}\right) +s \cdot \left( \begin{matrix} 3\\0\\1 \end{matrix}\right)

g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\1\\2 \end{matrix}\right) +t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\4\\3 \end{matrix}\right)










MeJvzm-fsg (Diskussion) 14:00, 18. Sep. 2016 (CET) M.Entenmann

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