Quelltext der Seite Definition und Winkel zwischen Vektoren

<big><u>'''Winkelberechnung zweier Vektoren mithilfe des Skalarprodukts'''</u></big>

<u>'''Vektoren:'''</u>

'''allgemein:'''

<math> \mathbb{R}^3 \qquad \vec a</math> = <math>\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}</math>  <math>\vec b</math> = <math>\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}</math>

'''am Beispiel:'''

<math>\vec a</math> = <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>  <math>\vec b</math> = <math>\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}</math>

<u>'''Berechnung des Skalars:'''</u>

'''allgemein:'''

<math>\vec a</math> <math>\cdot</math> <math>\vec b</math> = <math>\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}</math> <math>\cdot</math> <math>\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}</math> = (a<sub>1</sub> <math>\cdot</math> b<sub>1</sub> + a<sub>2</sub> <math>\cdot</math> b<sub>2</sub> + a<sub>3</sub> <math>\cdot</math> b<sub>3</sub>) 

'''am Beispiel:''' 

<math>\vec a</math> <math>\cdot</math> <math>\vec b</math> = <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math> <math>\cdot</math> <math>\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}</math> = <math> 1 \cdot 6 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 = 28 </math>

<u>'''Formel zur Winkelberechnung:'''</u>

<span style="color: red">''Welcher Winkel wird berechnet? Welche Bedingung muss erfüllt sein, um den "richtigen" Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen? [Btm]''</span>

<math>\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cdot cos \alpha </math>

<math>cos \alpha = {\vec a \cdot \vec b \over \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|} \qquad </math> (in Formelsammlung angegeben)

Errechnen von <math> \left| \vec a \right| </math> und <math> \left| \vec b \right| </math>anhand des Beispiels:

<math> \left| \vec a \right| </math> = <math> \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} </math>

<math> \left| \vec b \right| </math> = <math> \sqrt{6^2 + 5^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 25 + 16} = \sqrt{77} </math>

<u>'''Einsetzen der Zwischenergebnisse in die Formel:'''</u>

<math> cos \alpha = { 28 \over \sqrt{14} \cdot \sqrt{77}} </math>

<u>'''Errechnen mit Hilfe des GTRs:'''</u>

<math> cos \alpha = 0,85 </math>

<math> \alpha = 31,8^\circ </math>

<u>'''Ausnahme:'''</u>

Die Ausnahme gilt, wenn das Skalarprodukt 0 ergibt. In diesem Fall weiß man, dass der Winkel zwischen den beiden Vektoren <math> \alpha = 90^\circ </math> ist.

(Die weiteren Schritte müssen nicht gemacht werden!)

'''Beispiel:'''

<math>\vec a</math> = <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}</math> <math>\vec b</math> = <math>\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}</math>

<math>\vec a</math> <math>\cdot</math> <math>\vec b</math> = <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}</math> <math>\cdot</math> <math>\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}</math> = <math> (-3) \cdot 5 + 0 \cdot 2 + (-5) \cdot (-3) = 0 </math>

<math> Skalarprodukt = 0 

\rightarrow  \alpha = 90^\circ </math> 



<big><u>'''Aufgabe:'''</u></big>

Berechne den Winkel <math> \alpha </math> zwischen den Vektoren <math>\vec a</math> = <math>\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math> = <math>\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}</math>

'''Berechnen des Skalarprodukts''' (für die Lösung "anzeigen" klicken)

<popup><math>\vec a</math> <math>\cdot</math> <math>\vec b</math> = <math>\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}</math> <math>\cdot</math> <math>\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}</math> = <math> 7 \cdot (-2) + 2 \cdot 2 + 6 \cdot 5 = 20 </math></popup>

'''Ausrechnen von <math> \left| \vec a \right| </math> und <math> \left| \vec b \right| </math>''' (für die Lösung "anzeigen" klicken)

<popup>Ausrechnen von <math> \left| \vec a \right| </math> und <math> \left| \vec b \right| </math>

<math> \left| \vec a \right| </math> = <math> \sqrt{7^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{49 + 4 + 36} = \sqrt{89} </math>

<math> \left| \vec b \right| </math> = <math> \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 4 + 25} = \sqrt{33} </math></popup>

'''Einsetzen in die Formel''' (für die Lösung "anzeigen" klicken)

<popup><math> cos \alpha = { 20 \over \sqrt{89} \cdot \sqrt{33}} </math></popup>

'''Lösung''' (für die Lösung "anzeigen" klicken)

<popup> '''GTR:'''

<math> cos \alpha \approx 0.369</math>

<math>\rightarrow \alpha \approx \underline{68.34^\circ} </math></popup>






Quellen:<popup> http://www.youtube.com/watch?v=pRsIUubHtCM am 30.12.2012</popup>

<small> von Philipp Ballmann </small>