Winkelberechnungen zwischen Geraden und Ebenen: Unterschied zwischen den Versionen

Aus Friedrich-Schiller-Gymnasium
Wechseln zu: Navigation, Suche
Zeile 3: Zeile 3:
 
Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen vier Winkel, zwei mit <math>\alpha</math>(<math>\alpha</math> <math>\le</math> 90°)und zwei mit 180°-<math>\alpha</math>.
 
Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen vier Winkel, zwei mit <math>\alpha</math>(<math>\alpha</math> <math>\le</math> 90°)und zwei mit 180°-<math>\alpha</math>.
 
Der Schnittwinkel der beiden Geraden ist der Winkel, der kleiner oder gleich 90° ist. Wenn <math> \vec u</math> und <math>\vec v</math> <u>Richtungsvektoren</u> sind, kann man den Schnittwinkel <math>\alpha</math> mit der folgenden Formel berechnen: cos(<math>\alpha</math>)= <math>\dfrac{|\vec u*\vec v|}{|\vec u|*|\vec v|}</math>  
 
Der Schnittwinkel der beiden Geraden ist der Winkel, der kleiner oder gleich 90° ist. Wenn <math> \vec u</math> und <math>\vec v</math> <u>Richtungsvektoren</u> sind, kann man den Schnittwinkel <math>\alpha</math> mit der folgenden Formel berechnen: cos(<math>\alpha</math>)= <math>\dfrac{|\vec u*\vec v|}{|\vec u|*|\vec v|}</math>  
−
 
+
[[Datei:gerade gerade.gif|miniatur]]
  
 
Beispielaufgabe:  
 
Beispielaufgabe:  

Version vom 3. Juni 2016, 10:07 Uhr

Schnittwinkel zwischen zwei Geraden

Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen vier Winkel, zwei mit \alpha(\alpha \le 90°)und zwei mit 180°-\alpha. Der Schnittwinkel der beiden Geraden ist der Winkel, der kleiner oder gleich 90° ist. Wenn \vec u und \vec v Richtungsvektoren sind, kann man den Schnittwinkel \alpha mit der folgenden Formel berechnen: cos(\alpha)= \dfrac{|\vec u*\vec v|}{|\vec u|*|\vec v|}

Gerade gerade.gif

Beispielaufgabe: Gegeben:

g:{\vec x}= \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}
h:{\vec x}= \begin{pmatrix}5\\3\\0\end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}

Gesucht: Schnittwinkel \alpha

cos \alpha = \dfrac{|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2}*\sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{14}*\sqrt{6}}
Schnittwinkel \alpha= 70,9°



Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen

Der Schnittwinkel \alpha zwischen zwei Ebenen ist der Schnittwinkel zweier Geraden g und h, die in einer der beiden Ebenen liegen und orthogonal zu der Schnittgeraden s der Ebenen sind. Der Schnittwinkel \alpha wird mit der folgenden Formel berechnet, da dieser Winkel dem Winkel zwischen den Normalvektoren \vec n1  und \vec n2 der Ebene gleich ist. cos(\alpha)= \dfrac{|\vec n1*\vec n2|}{|\vec n1|*|\vec n2|}

Beispielaufgabe: Geg.: E_{1}: 2x_{1}+x_{2}-x_{3}=12 

     E_{2}: [{\vec x}-\begin{pmatrix}1\\5\\5\end{pmatrix}]*\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}=0

Ges.: Schnittwinkel \alpha 

     cos(\alpha)=\dfrac{|\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}*\sqrt{(-3)^2+1^2+1^2}} = \dfrac{6}{\sqrt{6}*\sqrt{11}}   Schnittwinkel \alpha= 42,4°



Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene

Wenn man das Lot einer Geraden g auf die Ebene E fällt, erhält man in der Ebenen eine Gerade g'.Der Winkel der zwischen der Geraden g und g' gibt den Schnittwinkel \alpha der Geraden g und der Ebene E an. Der Winkel \beta zwischen dem Normalenvektor \vec n der Ebene E und dem Richtungsvektor \vec u der Geraden g ergänzt den Schnittwinkel \alpha zu 90°. sin(\alpha)= \dfrac{|\vec u*\vec n|}{|\vec u|*|\vec n|}

Beispielaufgabe: Geg.: g:{\vec x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix} 

     E_{1}:2x_{1}+x_{2}-x_{3}=12

Ges.: Schnittwinkel \alpha 

     sin(\alpha)=\dfrac{|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2}*\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{14}*\sqrt{6}}   Schnittwinkel \alpha= 19,1°



Abstand zwischen windschiefen Geraden

Der Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden ist die kleinste Entfernung zwischen den Punkten von den Geraden g und h. Wenn G bzw. H Punkte auf den Geraden g:{\vec x}={\vec p}+s*{\vec u} bzw. h:{\vec x}={\vec q}+t*{\vec v} sind, dann gilt: (1){\vec GH}*{\vec u}=0 und (2){\vec GH}*{\vec v}=0, dann ist {|\vec GH|} der Abstand der beiden Geraden g und h.

Von „http://fsg.zum.de/index.php?title=Winkelberechnungen_zwischen_Geraden_und_Ebenen&oldid=1659“